精彩来自不断的探究
李 斌
江苏省如东县先民中学 (226405)
美国数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现”.在数学教学活动中，如果没有探究，就不可能有学生的主动参与，不可能有学生的思考与相互之间的思维碰撞而迸发出智慧的火花，学生的创新能力就得不到真正的磨炼和提高.如何引导学生在探究中学习，在探究中成功，在探究中创新，本文根据自己的教学实践，谈谈自己的一些做法和认识.
一、引导学生探究数学应用
新课标明确指出：数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生学习、交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳等活动加以探究和解决.只有让学生体会到数学源于生活，用于现实，即“生活即数学”，才能提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，掌握基本的数学知识和技能，培养创新的意识.
如在教学正方形时，我设计了这样的问题：
例1 有一块正方形的土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计几种不同的修筑方案.(在所给的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤)
图1、图2的方法学生较容易想到，学生很快画出了图形并给予了解答，对于图3的画法学生难以想到，我适时的给予引导：图1、图2中所画的两条直线都经过哪一点?它们的位置关系 如何?然后让他们讨论探究，引出图3：过正方形的中心O任作两条互相垂直的直线，将正方形分成4块，运用正方形的性质，可以证明四部分的面积相等，符合题目要求.
这样的问题是实际生活中的问题，从中学生“问题解决”的能力得到了充分的展示和发展， 也使学生养成用数学观点和数学方法去观察问题、分析问题、解决问题的自觉意识和思维习惯，从而培养学生的创新意识.
二、引导学生探究开放问题
在教学中适当引入开放探索性问题，给学生创造思维的空间.传统的封闭题条件完备、答案唯一、有固定的套路，学生通过模仿就可以掌握，不能完全满足对学生数学思维能力的训练.而开放探索性问题的特征是题目的条件不充分或没有确定的思路、结论，所以其解题策略往往也是多样的.它为学生提供了更多的交流、合作与探究的机会，充分发挥学生主体作用，有利于培养学生的数学创新思维.
例如在学习工程问题时，为提高学生根据已有知识和经验建构新知识的能力，我引入这样的一道开放题：
例2 课外活动时，老师来教室布置作业，有一道题只写了：“学校需制作一块广告牌，请来甲乙两名工人.已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天……”，就因临时有事暂时离开教室，留下的残缺你能帮他补齐吗?学生通过讨论，总结了几种问题的类型.如①两人合作需几天完成?②甲先做一天再和乙合作，共需几天完成?③两人先合作一天后甲离开，还需几天完成?④若乙先做一天，然后甲乙合作一天，由于甲有事离开，剩下的由乙完成，还需几天?⑤若乙先做一天，然后甲乙两人合作完成，制作费共500元，问每人各得报酬多少元?问题由浅入深，充分反映了不同层次学生的认识水平，使每一位学生都有获得一份成功的喜悦.
这样的题目可使不同层次的学生都能得到发展，有助于克服封闭式题目对学生带来的思维定势，激励学生深入探究，极大地提高了学生内在学习的动力.
三、引导学生探究新颖解法
在教学中，引导学生跳出常规解法的圈子，通过转换题目的结构、变更问题视角来探究新颖的解法是培养学生产生创新灵感的有效途径.
例3 已知实数x、y、z，满足x=6-y,z2=xy-9，求证：x=y.
本题若用常规解法比较困难，引导学生观察、探究：由已知得x+y=6,xy=z2+9，根据韦达定理的逆定理，设x、y是一元二次方程t2-6t+z2+9=0的两根，因为x、y为实数，利用根的判别式定理的逆定理得△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0，则必有z=0，从而△=0，故方程有两个相等的实数根，即x=y.这样做使解题化难为易，明快简洁.
又如已知三角形三边为a2+b2,4a2+b2,a2+4b2,求此三角形的面积?多数学生初看这道题，不知如何解.引导学生变换思维角度，另辟蹊径.若能联想到勾股定理，利用数形结合，即可根据三边长构造如图4的图形.
∵AE=a2+4b2,EF=a2+b2,AF=4a2+b2,∴S△AEF=S┚匦蜛BCD-S△ABE-S△EFC-S△ADF=32ab.
怎么样?数形结合，多么美妙.利用图形的直观性，化抽象为具体，化繁难为简易.在感受和理解代数与几何之间内在联系和统一的基础上，深刻体会其中蕴涵的数学思想.
四、引导学生探究解题途径
现代教学论认为：实现教学目的一个行之有效的方法，是引导学生去“发现”，去“探究”，直至“问题完美解决”.布鲁纳说：“探索是数学教学的生命线”.因此，在教学中，哪怕学生对问题已作出一种解答，也不应让其浅尝辄止，而是要引导他们广开思路，用尽可能多的方法去处理同一个问题，即一题多解.这样，既能促进知识之间的渗透和迁移，又能充分挖掘学生的潜能，孕育出奇思妙想，催生出创新的硕果.
例4 如图5，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛 在B岛北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
用书本上的方法解完后，让学生思考有无其他解法，结果学生想出了下面另外五种解法.
方法1：如图6，由AD∥BE可知∠DAB+∠ABE=180°，又因∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°，所以∠CAB+∠ABC=90°，进而得∠ACB=90°.用此法解答后对题目进一步反思发现∠DAB=80°是一个多余条件，同时还明白：求三角形的一个角的度数，不一定要求出其他两个角的具体度数，只要求出其他两个角的和即可.
方法2：如图7，过C作CN∥DA，易求出∠1=50°,∠2=40°，进而求出∠ACB=90°.
方法3：如图8，过C作MN⊥DA，垂足为M，交BE与N，先求出∠1=40°，∠2=50°,易求∠ACB=90°.
方法4：如图9，过C作MN∥AB交DA于M，交BE于N，先依次求出∠1=100°、∠2=80°，再分别求出∠3、∠4的度数，进而求出∠ACB=90°.也可以先由∠1+∠2=180°,∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°,求出∠3+∠4=90°，进一步求出∠ACB=90°.
方法5：如图10，延长AC交BE于M，易得∠1=50°,再求出∠2=90°，进而求出ACB=90°.
比较以上各种解法，发现方法2和方法5较简捷.
实践证明，对例题的解法反思，能帮助学生加强知识间的联系，拓宽解题思路，同时又能发展学生的创新思维.
五、引导学生探究题目变式
在教学中要鼓励学生对问题进行适当的延伸和发展，设计一些探究性练习，给学生提供自主探索的机会，经历“观察、实验、猜想、证明、比较、推理”等数学思考，体验数学问题的探索性和挑战性，培养学生的探究能力，让练习的过程成为促进学生学习方式转变的过程.
例5 如图11，⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC.
题一出示，学生马上想出多种证明方法，如通过作两圆的公切线来证明，作两圆的连心线来证明等，问题得到解决以后，为了开阔学生的思路，教师作了适当的引导：变换两圆的位置关系还得到这样的结果吗?学生们马上兴奋起来，两圆外离时能有垂直关系吗?两圆相交时能有垂直关系吗?热烈的争论之后学生们饶有兴趣的埋头作图、思考 ，很快就有了结果，如图12、图13.
而且，同学们还讨论出了许多证明方法，更有同学提出：如果把O1O2延长，与两圆相交，连接AB、A′C，是否也有上述垂直关系?这又进一步深化了，根据三种位置关系，很快得出图14、图15、图16.
通过变换命题、解法、图形来探索新问题，发现新见解，不仅能巩固所学的知识，开阔学生视野，收到举一反三、触类旁通的效果，不仅满足不同层次学生的探究需求，而且也提高了学生的思维品质.
将探究性学习引入课堂，让学生以主体参与教学过程，自己去发现、探求，经历问题解决的全过程，最大限度地将学生引向对数学知识本质的认识.只有这样，才能使课堂成为学生自主探究活动的场所，成为同伴间讨论交流和充分展示自我的舞台，也才能使课堂充满生命气息，促进学生的全面发展.
江苏省如东县先民中学 (226405)
美国数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现”.在数学教学活动中，如果没有探究，就不可能有学生的主动参与，不可能有学生的思考与相互之间的思维碰撞而迸发出智慧的火花，学生的创新能力就得不到真正的磨炼和提高.如何引导学生在探究中学习，在探究中成功，在探究中创新，本文根据自己的教学实践，谈谈自己的一些做法和认识.
一、引导学生探究数学应用
新课标明确指出：数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生学习、交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳等活动加以探究和解决.只有让学生体会到数学源于生活，用于现实，即“生活即数学”，才能提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，掌握基本的数学知识和技能，培养创新的意识.
如在教学正方形时，我设计了这样的问题：
例1 有一块正方形的土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计几种不同的修筑方案.(在所给的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤)
图1、图2的方法学生较容易想到，学生很快画出了图形并给予了解答，对于图3的画法学生难以想到，我适时的给予引导：图1、图2中所画的两条直线都经过哪一点?它们的位置关系 如何?然后让他们讨论探究，引出图3：过正方形的中心O任作两条互相垂直的直线，将正方形分成4块，运用正方形的性质，可以证明四部分的面积相等，符合题目要求.
这样的问题是实际生活中的问题，从中学生“问题解决”的能力得到了充分的展示和发展， 也使学生养成用数学观点和数学方法去观察问题、分析问题、解决问题的自觉意识和思维习惯，从而培养学生的创新意识.
二、引导学生探究开放问题
在教学中适当引入开放探索性问题，给学生创造思维的空间.传统的封闭题条件完备、答案唯一、有固定的套路，学生通过模仿就可以掌握，不能完全满足对学生数学思维能力的训练.而开放探索性问题的特征是题目的条件不充分或没有确定的思路、结论，所以其解题策略往往也是多样的.它为学生提供了更多的交流、合作与探究的机会，充分发挥学生主体作用，有利于培养学生的数学创新思维.
例如在学习工程问题时，为提高学生根据已有知识和经验建构新知识的能力，我引入这样的一道开放题：
例2 课外活动时，老师来教室布置作业，有一道题只写了：“学校需制作一块广告牌，请来甲乙两名工人.已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天……”，就因临时有事暂时离开教室，留下的残缺你能帮他补齐吗?学生通过讨论，总结了几种问题的类型.如①两人合作需几天完成?②甲先做一天再和乙合作，共需几天完成?③两人先合作一天后甲离开，还需几天完成?④若乙先做一天，然后甲乙合作一天，由于甲有事离开，剩下的由乙完成，还需几天?⑤若乙先做一天，然后甲乙两人合作完成，制作费共500元，问每人各得报酬多少元?问题由浅入深，充分反映了不同层次学生的认识水平，使每一位学生都有获得一份成功的喜悦.
这样的题目可使不同层次的学生都能得到发展，有助于克服封闭式题目对学生带来的思维定势，激励学生深入探究，极大地提高了学生内在学习的动力.
三、引导学生探究新颖解法
在教学中，引导学生跳出常规解法的圈子，通过转换题目的结构、变更问题视角来探究新颖的解法是培养学生产生创新灵感的有效途径.
例3 已知实数x、y、z，满足x=6-y,z2=xy-9，求证：x=y.
本题若用常规解法比较困难，引导学生观察、探究：由已知得x+y=6,xy=z2+9，根据韦达定理的逆定理，设x、y是一元二次方程t2-6t+z2+9=0的两根，因为x、y为实数，利用根的判别式定理的逆定理得△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0，则必有z=0，从而△=0，故方程有两个相等的实数根，即x=y.这样做使解题化难为易，明快简洁.
又如已知三角形三边为a2+b2,4a2+b2,a2+4b2,求此三角形的面积?多数学生初看这道题，不知如何解.引导学生变换思维角度，另辟蹊径.若能联想到勾股定理，利用数形结合，即可根据三边长构造如图4的图形.
∵AE=a2+4b2,EF=a2+b2,AF=4a2+b2,∴S△AEF=S┚匦蜛BCD-S△ABE-S△EFC-S△ADF=32ab.
怎么样?数形结合，多么美妙.利用图形的直观性，化抽象为具体，化繁难为简易.在感受和理解代数与几何之间内在联系和统一的基础上，深刻体会其中蕴涵的数学思想.
四、引导学生探究解题途径
现代教学论认为：实现教学目的一个行之有效的方法，是引导学生去“发现”，去“探究”，直至“问题完美解决”.布鲁纳说：“探索是数学教学的生命线”.因此，在教学中，哪怕学生对问题已作出一种解答，也不应让其浅尝辄止，而是要引导他们广开思路，用尽可能多的方法去处理同一个问题，即一题多解.这样，既能促进知识之间的渗透和迁移，又能充分挖掘学生的潜能，孕育出奇思妙想，催生出创新的硕果.
例4 如图5，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛 在B岛北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
用书本上的方法解完后，让学生思考有无其他解法，结果学生想出了下面另外五种解法.
方法1：如图6，由AD∥BE可知∠DAB+∠ABE=180°，又因∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°，所以∠CAB+∠ABC=90°，进而得∠ACB=90°.用此法解答后对题目进一步反思发现∠DAB=80°是一个多余条件，同时还明白：求三角形的一个角的度数，不一定要求出其他两个角的具体度数，只要求出其他两个角的和即可.
方法2：如图7，过C作CN∥DA，易求出∠1=50°,∠2=40°，进而求出∠ACB=90°.
方法3：如图8，过C作MN⊥DA，垂足为M，交BE与N，先求出∠1=40°，∠2=50°,易求∠ACB=90°.
方法4：如图9，过C作MN∥AB交DA于M，交BE于N，先依次求出∠1=100°、∠2=80°，再分别求出∠3、∠4的度数，进而求出∠ACB=90°.也可以先由∠1+∠2=180°,∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°,求出∠3+∠4=90°，进一步求出∠ACB=90°.
方法5：如图10，延长AC交BE于M，易得∠1=50°,再求出∠2=90°，进而求出ACB=90°.
比较以上各种解法，发现方法2和方法5较简捷.
实践证明，对例题的解法反思，能帮助学生加强知识间的联系，拓宽解题思路，同时又能发展学生的创新思维.
五、引导学生探究题目变式
在教学中要鼓励学生对问题进行适当的延伸和发展，设计一些探究性练习，给学生提供自主探索的机会，经历“观察、实验、猜想、证明、比较、推理”等数学思考，体验数学问题的探索性和挑战性，培养学生的探究能力，让练习的过程成为促进学生学习方式转变的过程.
例5 如图11，⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC.
题一出示，学生马上想出多种证明方法，如通过作两圆的公切线来证明，作两圆的连心线来证明等，问题得到解决以后，为了开阔学生的思路，教师作了适当的引导：变换两圆的位置关系还得到这样的结果吗?学生们马上兴奋起来，两圆外离时能有垂直关系吗?两圆相交时能有垂直关系吗?热烈的争论之后学生们饶有兴趣的埋头作图、思考 ，很快就有了结果，如图12、图13.
而且，同学们还讨论出了许多证明方法，更有同学提出：如果把O1O2延长，与两圆相交，连接AB、A′C，是否也有上述垂直关系?这又进一步深化了，根据三种位置关系，很快得出图14、图15、图16.
通过变换命题、解法、图形来探索新问题，发现新见解，不仅能巩固所学的知识，开阔学生视野，收到举一反三、触类旁通的效果，不仅满足不同层次学生的探究需求，而且也提高了学生的思维品质.
将探究性学习引入课堂，让学生以主体参与教学过程，自己去发现、探求，经历问题解决的全过程，最大限度地将学生引向对数学知识本质的认识.只有这样，才能使课堂成为学生自主探究活动的场所，成为同伴间讨论交流和充分展示自我的舞台，也才能使课堂充满生命气息，促进学生的全面发展.
