从圆到圆锥曲线的一条“命题链”的探究
王顺耿 谭伟健
广东省佛山市高明区第一中学 (528500)
现行高中数学实验标准教材中，圆与圆锥曲线是分章设置的.事实上，我们知道圆可以看作是特殊的椭圆(离心率e=0)，从坐标伸缩变换看，圆压一压成椭圆，椭圆也可拉成圆.从圆锥曲线是平面截圆锥曲面所得的交线这个角度看，圆与圆锥曲线也有着内在的“亲缘关系”，应该是同一家族中的成员，这一事实提醒我们，它们间一定存在着某种必然的联系，下文我们以圆的相交弦定理为例，用联系、发展的眼光来探究、揭示它们间存在的关系和规律.
引子
圆的相交弦定理是关于过圆内一定点的两相交弦，其端点与交点间所成线段长成比例(比例式)或乘积相等(等积式)的问题.在初中平面几何中，利用相似三角形来证明非常简单，为方便联系圆锥曲线，我们把有关圆的相交弦定理放到直角坐标系中来考察.联想直线参数方程x=x0+t玞osθ
y=y0+t玸inθ中参数t的几何意义，即|t|表示直线上动点M到定点M0的距离，显然线段长度的乘积问题利用直线的参数方程解之比较方便.
如图1，设点P(x0,y0)是圆x2+y2=a2
内弦AB与CD的交点(有a2-(x20+y20)>0)，弦AB、CD所在直线的倾斜角分别为α，β(α≠β)，则直线AB、CD的参数方程分别为x=x0+t玞osα
y=y0+t玸inα和x=x0+t玞osβ
y=y0+t玸inβ(t均为参数).将直线AB的参数方程x=x0+t玞osα
y=y0+t玸inα(t为参数)代入圆方程x2+y2=a2,得t2+2(x0玞osα+y0玸inα)t+x20+y20-a2=0，由韦达定理得t1?t2=x20+y20-a2，而|AP|?|BP|=﹟t1|?|t2|=|t1t2|=|x20+y20-a2|=a2-(x20+y20).将直线CD的参数方程x=x0+t玞osβ
y=y0+t玸inβ(t为参数)代入圆方程x2+y2=a2,同理可得|CP|?﹟DP|=a2-(x20+y20)，故|AB|?|BP|=|CP|?|DP|，圆的相交弦定理得证.
说明：由上述结果可知，圆内弦被定点P分割成的两线段长的积与弦所在直线的倾斜角无关，只与定点P的位置有关，都等于a2-(x20+y20).
思考1 当点P(x0,y0)移至圆x2+y2=a2外(a2-(x20+y20)<0)(图2)，相交弦变成两条相交割线，由直线的参数方程可得|PA|?﹟PB|=x20+y20-a2,|PC|?|PD|=x20+y20-a2,即﹟PA|?|PB|=|PC|?|PD|，这便是圆的割线定理.
思考2 将其中一割线PCD变成切线PT时(图3)，由图3考察x20+y20-a2的几何意义知x20+y20-a2=﹟PT|2，所以|PT|2=|PA|?|PB|，这就是圆的切割线定理.
思考3 当割线PAB也变成切线时，便得到圆的切线长定理.
可见上述四个定理是统一的，可用一个命题来描述：过定点的直线与定圆发生作用(相交或相切)，定点到交点(或切点)所成的线段长的积不变.
推广
将圆的有关相交弦定理推广到圆锥曲线，情况如何?
如图4，设点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)内部一点(有y20<2px0)，过P点的两直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点和C、D两点，直线l1,l2的倾斜角分别为α,β(α≠β)，斜率分别为k1,k2,将l1的参数方程化为x=x0+t玞osα，
y=y0+t玸inα，代入抛物线方程y2=2px(p>0)整理得：玸in2α?t2+2(y0玸inα-p玞osα)t+y20-2px0=0，|PA|?|PB|=|t1t2|=y20-2px0玸in2α=2px0-y20玸in2α ①
同理可得|PC|?|PD|=|t3t4|=y20-2px0玸in2β=2px0-y20玸in2β ②
探究
(1)显然α，β均不等于零，因为α=0或β=0时，直线l1,l2平行于x轴(对称轴)，与抛物线只有一个交点，并且①、②也没有意义.
(2)因α≠β且α≠0，β≠0，所以当α+β=π时，有玸in2α=玸in2β,则|PA|?|PB|=|PC|?|PD|或k1+k2=0，有|PA|?|PB|=|PC|?﹟PD|，我们不妨将这一结果称为抛物线的“相交弦定理”.
思考1 当点P(x0,y0)移至抛物线y2=2px(p>0)外部时，是否也有类似于圆的“割线定理”呢?
如图5，当点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)外部一点(有y20>2px0)时，由直线的参数方程同样可得﹟PA|?|PB|=y20-2px0玸in2α=y20-2px0玸in2α,同理可得|PC|?﹟PD|=y20-2px0玸in2β，所以当α+β=π且α≠0，β≠0或k1+k2=0时，同样有
|PA|?|PB|=|PC|?|PD|，即抛物线有类似于圆的“割线定理”.
思考2 将其中一割线PAB变成切线PT时(图6)，结论又如何呢?
假设切线PT的倾斜角为α，斜率为k1，由直线PT的参数方程可得玸in2α?t2+2(y0玸inα-p?玞osα)t+y20-2px0=0,由△=0得2x0玸in2α-y0玸in2α+p玞os2α=0 (1)，即2x0k21-2y0k1+p=0,k1=y0±y20-2px02x0 (2)，当α满足(1)或k1满足(2)时，直线PT为过P点的切线，此时|PT|2=y20-2px0玸in2α=y20-2px0玸in2α或=(1+1k21)(y20-2px0).假设割线PCD的倾斜角为β，斜率为k2，同样有|PC|?|PD|=y20-2px0玸in2β=y20-2px0玸in2β或=(1+1k22)(y20-2px0)，所以已知过P点的切线PT的倾斜角α或斜率为k1，当割线PCD满足α+β=π或k1+k2=0时，有|PT|2=|PC|?|PD|，即为抛物线的“切割线定理”，必须强调的是应先由切线 的倾斜角或斜率来决定割线的倾斜角或斜率，抛物线的“切割线定理”才能成立.
思考3 是否有类似于圆的切线长定理?
若过P点的切线斜率为k，由上思考2得2x0k2-2y0k+p=0,且△=4y20-8px0=4(y20-2px0)>0,知过P点有两条切线，设其斜率分别为k1、k2(k1≠k2)，显然只有k1+k2=y0x0=0，即y0=0时，(1+1k21)(y20-2px0)=(1+1k22)(y20-2px0)，所以当P点落在对称轴(y轴)上时才有“切线长定理”.
同样推广到椭圆，我们可以得到：
设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b)内一点(b2x20+a2y02y=y0+t玸inα代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)整理得(b2玞os2α+a2玸in2α)t2+2(b2x0玞osα+a2y0玸inα)t+(b2x20+a2y20-a2b2)=0(*)，显然b2玞os2α+a2玸in2α≠0，则﹟PA|?|PB|=|t1t2|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2α+a2玸in2α=a2b2-b2x20-a2y20b2玞os2α+a2玸in2α ①
同理可得|PC|?|PD|=|t3t4|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2β+a2玸in2β=a2b2-b2x20-a2y20b2玞os2β+a2玸in2β②
易证当α+β=π时，有|PA|?|PB|=﹟PC|?|PD|，不妨将此称为椭圆的“相交弦定理”.
当点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外时，可得
|PA|?|PB|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2α+a2玸in2α，
|PC|?|PD|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2β+a2玸in2β，称为椭圆的“割线定理”.
与抛物线一样，已知过椭圆外一点P的切线的倾斜角为α或斜率为k1，若椭圆的割线的倾斜角为β=π-α或斜率k2=-k1时，同样有椭圆的“切割线定理”.同样点P在椭圆对称轴 上时，椭圆的“切线长定理”成立.
当点P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1内部(b2x20-a2y20>a2b2)或外部(b2x20-a2y20|PC|?|PD|=b2x20-a2y20-a2b2b2玞os2β-a2玸in2β ②，
当过点P的两直线l1，l2满足α+β=π或k1+k2=0(且k1=玹anα=±ba)时，有结论﹟PA|?|PB|=|PC|?|PD|，我们称之为双曲线的“相交弦定理”和“割线定理”.
同样由△=0得到双曲线外部一点的切线的倾斜角为α或斜率为k1，若双曲线另一割线的倾斜角为β=π-α或斜率k2=-k1时，双曲线也存在“切割线定理”.同理，点P在双曲线对称轴上时，双曲线也有“切线长定理”.
上述结论可用一个统一命题概括：过定点的直线与一圆锥曲线作用(相交或相切)，当它们的倾斜角满足α+β=π或斜率满足k1+k2=0时，定点到交点(或切点)所构成的线段长的积不变，当点在圆锥曲线的对称轴上时，所成的切线长相等.
广东省佛山市高明区第一中学 (528500)
现行高中数学实验标准教材中，圆与圆锥曲线是分章设置的.事实上，我们知道圆可以看作是特殊的椭圆(离心率e=0)，从坐标伸缩变换看，圆压一压成椭圆，椭圆也可拉成圆.从圆锥曲线是平面截圆锥曲面所得的交线这个角度看，圆与圆锥曲线也有着内在的“亲缘关系”，应该是同一家族中的成员，这一事实提醒我们，它们间一定存在着某种必然的联系，下文我们以圆的相交弦定理为例，用联系、发展的眼光来探究、揭示它们间存在的关系和规律.
引子
圆的相交弦定理是关于过圆内一定点的两相交弦，其端点与交点间所成线段长成比例(比例式)或乘积相等(等积式)的问题.在初中平面几何中，利用相似三角形来证明非常简单，为方便联系圆锥曲线，我们把有关圆的相交弦定理放到直角坐标系中来考察.联想直线参数方程x=x0+t玞osθ
y=y0+t玸inθ中参数t的几何意义，即|t|表示直线上动点M到定点M0的距离，显然线段长度的乘积问题利用直线的参数方程解之比较方便.
如图1，设点P(x0,y0)是圆x2+y2=a2
内弦AB与CD的交点(有a2-(x20+y20)>0)，弦AB、CD所在直线的倾斜角分别为α，β(α≠β)，则直线AB、CD的参数方程分别为x=x0+t玞osα
y=y0+t玸inα和x=x0+t玞osβ
y=y0+t玸inβ(t均为参数).将直线AB的参数方程x=x0+t玞osα
y=y0+t玸inα(t为参数)代入圆方程x2+y2=a2,得t2+2(x0玞osα+y0玸inα)t+x20+y20-a2=0，由韦达定理得t1?t2=x20+y20-a2，而|AP|?|BP|=﹟t1|?|t2|=|t1t2|=|x20+y20-a2|=a2-(x20+y20).将直线CD的参数方程x=x0+t玞osβ
y=y0+t玸inβ(t为参数)代入圆方程x2+y2=a2,同理可得|CP|?﹟DP|=a2-(x20+y20)，故|AB|?|BP|=|CP|?|DP|，圆的相交弦定理得证.
说明：由上述结果可知，圆内弦被定点P分割成的两线段长的积与弦所在直线的倾斜角无关，只与定点P的位置有关，都等于a2-(x20+y20).
思考1 当点P(x0,y0)移至圆x2+y2=a2外(a2-(x20+y20)<0)(图2)，相交弦变成两条相交割线，由直线的参数方程可得|PA|?﹟PB|=x20+y20-a2,|PC|?|PD|=x20+y20-a2,即﹟PA|?|PB|=|PC|?|PD|，这便是圆的割线定理.
思考2 将其中一割线PCD变成切线PT时(图3)，由图3考察x20+y20-a2的几何意义知x20+y20-a2=﹟PT|2，所以|PT|2=|PA|?|PB|，这就是圆的切割线定理.
思考3 当割线PAB也变成切线时，便得到圆的切线长定理.
可见上述四个定理是统一的，可用一个命题来描述：过定点的直线与定圆发生作用(相交或相切)，定点到交点(或切点)所成的线段长的积不变.
推广
将圆的有关相交弦定理推广到圆锥曲线，情况如何?
如图4，设点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)内部一点(有y20<2px0)，过P点的两直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点和C、D两点，直线l1,l2的倾斜角分别为α,β(α≠β)，斜率分别为k1,k2,将l1的参数方程化为x=x0+t玞osα，
y=y0+t玸inα，代入抛物线方程y2=2px(p>0)整理得：玸in2α?t2+2(y0玸inα-p玞osα)t+y20-2px0=0，|PA|?|PB|=|t1t2|=y20-2px0玸in2α=2px0-y20玸in2α ①
同理可得|PC|?|PD|=|t3t4|=y20-2px0玸in2β=2px0-y20玸in2β ②
探究
(1)显然α，β均不等于零，因为α=0或β=0时，直线l1,l2平行于x轴(对称轴)，与抛物线只有一个交点，并且①、②也没有意义.
(2)因α≠β且α≠0，β≠0，所以当α+β=π时，有玸in2α=玸in2β,则|PA|?|PB|=|PC|?|PD|或k1+k2=0，有|PA|?|PB|=|PC|?﹟PD|，我们不妨将这一结果称为抛物线的“相交弦定理”.
思考1 当点P(x0,y0)移至抛物线y2=2px(p>0)外部时，是否也有类似于圆的“割线定理”呢?
如图5，当点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)外部一点(有y20>2px0)时，由直线的参数方程同样可得﹟PA|?|PB|=y20-2px0玸in2α=y20-2px0玸in2α,同理可得|PC|?﹟PD|=y20-2px0玸in2β，所以当α+β=π且α≠0，β≠0或k1+k2=0时，同样有
|PA|?|PB|=|PC|?|PD|，即抛物线有类似于圆的“割线定理”.
思考2 将其中一割线PAB变成切线PT时(图6)，结论又如何呢?
假设切线PT的倾斜角为α，斜率为k1，由直线PT的参数方程可得玸in2α?t2+2(y0玸inα-p?玞osα)t+y20-2px0=0,由△=0得2x0玸in2α-y0玸in2α+p玞os2α=0 (1)，即2x0k21-2y0k1+p=0,k1=y0±y20-2px02x0 (2)，当α满足(1)或k1满足(2)时，直线PT为过P点的切线，此时|PT|2=y20-2px0玸in2α=y20-2px0玸in2α或=(1+1k21)(y20-2px0).假设割线PCD的倾斜角为β，斜率为k2，同样有|PC|?|PD|=y20-2px0玸in2β=y20-2px0玸in2β或=(1+1k22)(y20-2px0)，所以已知过P点的切线PT的倾斜角α或斜率为k1，当割线PCD满足α+β=π或k1+k2=0时，有|PT|2=|PC|?|PD|，即为抛物线的“切割线定理”，必须强调的是应先由切线 的倾斜角或斜率来决定割线的倾斜角或斜率，抛物线的“切割线定理”才能成立.
思考3 是否有类似于圆的切线长定理?
若过P点的切线斜率为k，由上思考2得2x0k2-2y0k+p=0,且△=4y20-8px0=4(y20-2px0)>0,知过P点有两条切线，设其斜率分别为k1、k2(k1≠k2)，显然只有k1+k2=y0x0=0，即y0=0时，(1+1k21)(y20-2px0)=(1+1k22)(y20-2px0)，所以当P点落在对称轴(y轴)上时才有“切线长定理”.
同样推广到椭圆，我们可以得到：
设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b)内一点(b2x20+a2y02y=y0+t玸inα代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)整理得(b2玞os2α+a2玸in2α)t2+2(b2x0玞osα+a2y0玸inα)t+(b2x20+a2y20-a2b2)=0(*)，显然b2玞os2α+a2玸in2α≠0，则﹟PA|?|PB|=|t1t2|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2α+a2玸in2α=a2b2-b2x20-a2y20b2玞os2α+a2玸in2α ①
同理可得|PC|?|PD|=|t3t4|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2β+a2玸in2β=a2b2-b2x20-a2y20b2玞os2β+a2玸in2β②
易证当α+β=π时，有|PA|?|PB|=﹟PC|?|PD|，不妨将此称为椭圆的“相交弦定理”.
当点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外时，可得
|PA|?|PB|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2α+a2玸in2α，
|PC|?|PD|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2β+a2玸in2β，称为椭圆的“割线定理”.
与抛物线一样，已知过椭圆外一点P的切线的倾斜角为α或斜率为k1，若椭圆的割线的倾斜角为β=π-α或斜率k2=-k1时，同样有椭圆的“切割线定理”.同样点P在椭圆对称轴 上时，椭圆的“切线长定理”成立.
当点P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1内部(b2x20-a2y20>a2b2)或外部(b2x20-a2y20|PC|?|PD|=b2x20-a2y20-a2b2b2玞os2β-a2玸in2β ②，
当过点P的两直线l1，l2满足α+β=π或k1+k2=0(且k1=玹anα=±ba)时，有结论﹟PA|?|PB|=|PC|?|PD|，我们称之为双曲线的“相交弦定理”和“割线定理”.
同样由△=0得到双曲线外部一点的切线的倾斜角为α或斜率为k1，若双曲线另一割线的倾斜角为β=π-α或斜率k2=-k1时，双曲线也存在“切割线定理”.同理，点P在双曲线对称轴上时，双曲线也有“切线长定理”.
上述结论可用一个统一命题概括：过定点的直线与一圆锥曲线作用(相交或相切)，当它们的倾斜角满足α+β=π或斜率满足k1+k2=0时，定点到交点(或切点)所构成的线段长的积不变，当点在圆锥曲线的对称轴上时，所成的切线长相等.
