关于“阿氏圆”模型的探究与思考

    施德仪

    

    

    

    [摘? 要] “挖掘教材价值，总结模型”是当下数学教学所倡导的一种模式. 在教学中需要有意识地引入一些常用的数学模型，利用模型探究来深化知识理解，发展数学思维. 文章主要探究初中数学重要的几何模型——“阿氏圆”模型.

    [关键词] “阿氏圆”;模型;解读;应用;抛物线;思考

    模型背景

    “PA+k·PB”型是初中数学常见的最值类型之一，当k=1时，即可转化为常见的“饮马问题”模型来求解;而当k为不等于1的正数时，则需要变化思路来加以研究，一般有两种情形：一是点P在直线上运动，则为经典的“胡不归”问题;二是点P在圆周上运动，则为“阿氏圆”问题，即已知平面上有A，B两点，则所有满足PA+k·PB （k≠1）的点P的轨迹为一个圆. 由于其最早是由阿波罗尼斯发现的，故又称为“阿波罗尼斯圆”. 利用“阿氏圆”模型的结论及策略，有助于问题思路的构建，适度拓展模型，有利于解析综合性问题.

    构建解读

    如图1，⊙O的半径为r，点A和点B都在圆外，点P为⊙O上一个动点，已知r=k·OB，连接PA和PB，试分析“PA+k·PB”取得最小值时，点P的位置.

    上题突破的关键是处理“k·PB”的大小. 若在线段OB上截取OC，使得OC=k·r，则可以确定△BPO与△PCO相似，从而有k·PB=PC. 后续则可转化为研究“PA+PC”的最小值，其中点A和点C为定点，点P为动点，显然可以直接利用共线原理来求最值.

    深入探究其图像，由逆向思维可将“阿氏圆”模型视为“母子型相似+两点间线段最短”. 点P在⊙O上运动时，A，B为定点，PA和PB不断变化，解决该问题时首先需要合理构造母子型相似三角形，利用其性质来转化问题，即在OB上找到一点C，使得■=■=k，此时便有△BPO∽△PCO.

    而在实际解析时需要明晰问题模型，因此把握模型的结构尤为重要. 以图2“阿氏圆”模型图像为例，其中点A和点B为定点，点P为动点，变直线BP为系线，突破的关键是确定系点C，从而确保其中的“母子”三角形相似，即△BPO∽△PCO.

    解题策略

    从突破过程来看，共分为两个阶段：一是确定系点，构建相似三角形;二是利用“两点之间，线段最短”原理，分析三点共线情形，完成动点位置确定. 具体解题时可以按照如下策略及步骤进行：

    第一步，连接动点与圆心、定点与圆心，如上述所构建的模型，连接OB和OP;

    第二步，计算■，确定线段比为k的情形，如上述模型中的■=k;

    第三步，在线段OB上确定系点C，构造相似三角形，由相似性质提取线段比例关系，如上述模型中的■=■.

    典例讲评

    上述对“阿氏圆”模型进行了详细解读及解析策略探究，但针对不同的问题情形需要具体分析，要学会准确识别模型，添加辅助线. 下面结合例题探究解析过程.

    例题 如图3，在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，点A在OC上，OA=3，点B在OD上，OB=5，点P是■上的一个动点，试求2PA+PB的最小值.

    分析 要求2PA+PB的最小值，其中k≠1，且点P为圆弧上的一个动点，显然属于“阿氏圆”问题模型. 因此解析的关键是寻找线段比与k相关的情形，确定系点的位置.

    解答？摇 连接OP，其中k=2，因为OC=6，OA=3，OB=5，所以■=■，■=■. 可将■=■视为■=■，因此可在OA延长线上取一点H，使得OH=2OP=12（如图4）. 此时就有■=■=■，又∠AOP=∠POH，所以无论点P如何移动，始终有△PAO∽△HPO. 由相似性质可得PH=2PA，所以2PA+PB=PH+PB，其中点H和点B为定点，显然当H，P，B三点共线时，PH+PB取得最小值，且最小值为BH=■=13，即2PA+PB的最小值为13.

    评析？摇 上述解析过程把握图像结构及k值大小，从而确定了“阿氏圆”模型，在此基础上分析线段比值，确定系点位置. 对于“阿氏圆”模型，剖析的关键是深刻理解探究系点实则是通过构建相似三角形将其转化为常规的线段和问题，而在实际转化时需要把握图像特点，合理利用圆的性质条件.

    拓展探究

    “阿氏圆”模型可视为常规的平面几何问题，而函数与几何的融合是近几年中考的命题趋势，对于“阿氏圆”模型同样也不例外. 近几年中考及模拟考试题中出现了一些以抛物线为背景融“阿氏圆”模型的考题. 对于该类试题，除了需要合理按照模型突破的方法和步骤解析外，还需要充分利用平面直角坐标系中点的坐标与线段长的关联，以及抛物线的性质，才能顺利解题. 下面以一道考题为例，详细探究解题细节.

    考题 如图5，已知抛物线的解析式为y=-x2+bx+c，抛物线与直线AB交于点A（-4，-4）和B（0，4），直线AC的解析式为y=-■x-6，直线AC与y轴交于点C. 点E是直线AB上的一个动点，过点E作x轴的垂线，延长垂线与AC交于点F，与抛物线交于点G.

    （1）求抛物线的解析式.

    （2）连接GB，EO，若四边形GEOB为平行四边形，试求点G的坐标.

    （3）①y轴上有一点H，连接EH和HF，试分析点E运动到何位置时，四边形AEFH为矩形，并求出点E和点H的坐标;

    ②在①成立的前提下，以点E为圆心、EH的长为半径作圆，点M为圆上的一个动点，试求■AM+CM的最小值.

    解析 容易求得抛物线的解析式为y=-x2-2x+4. 在此主要分析（3）问的第②小问，由（3）①问可知以下点的坐标：E（-2，0），H（0，-1）. 又A（-4，-4），所以EH=■，AE=2■. 如图6，设AE与⊙E交于点N，取EN的中点P，则点N的坐标为（-3，-2），点P的坐标为-■，-1，PE=■. 连接PC与⊙E的交点即为■AM+CM取得最小值时点M的位置，点P为“阿氏圓”模型的系点，具体原因如下.

    因为EM=EH=■，显然■=■，■=■，所以△PEM∽△MEA. 根据相似性质可得PM=■AM，从而有■AM+CM=PM+CM. 因为点P和点C为定点，点M为动点，由“两点之间，线段最短”可知，当P，M，C三点共线时，PM+CM取得最小值，此时PM+CM=PC. 由上述信息可求得PC=■，所以■AM+CM的最小值为■.

    评析？摇 上述第（3）②问的问题模型实则就是初中常见的“阿氏圆”模型，显然突破的关键就是确定模型中的“系点”. 可利用相似比将其转化为常规的线段和问题，即“■AM+CM→PM+CM”，然后利用三点共线确定线段和的最小值. 与纯几何模型问题相比，融合抛物线的“阿氏圆”模型更注重对点坐标桥梁作用的利用，即可用点的坐标推导线段长、推理线段比，这些内容是后续挖掘三角形相似的关键.

    教学思考

    “阿氏圆”模型的解析思路可为求解含参线段和最值问题提供参考，有利于学生认识图形结构，打开解题突破口. 下面提出几点教学建议.

    1. 深度挖掘模型，理解突破本质

    “阿氏圆”模型是隐含在数学教材中的经典模型，深入探究模型结构、总结破解方法有助于整合教材资源，强化学生对教材定理、模型的理解. “阿氏圆”模型是基于圆的性质、母子型相似模型和两点之间线段最短定理所构建的一种特殊的动点最值模型，教学时需要引导学生关注模型特点，挖掘模型结构，把握模型条件，归纳模型结论，同时引导学生体验模型解析的构建过程，把握模型相似变换的数学本质，形成对模型的深刻认识.

    2. 适度延伸拓展，强化数学思维

    数学的思维方式是数学教学的重点，在“阿氏圆”模型的探究及应用过程中，学生对相似变换和共线定理有了更为深刻的领悟，能够准确地辨析模型，理解模型，用模型的特征规律来探究问题. 实际上，“阿氏圆”模型并不是一个单纯的几何模型，而是众多数学定理、定义、规律、方法的融合，对其适度拓展可形成新的问题模型. 例如，上述基于平面直角坐标系将其与抛物线相关联，形成了函数与几何背景下的“阿氏圆”模型，这也是中考命题的新趋势. 因此，探究模型时，需要基于知识关联拓展延伸，引导学生联系抛物线的性质特征来挖掘“阿氏圆”，形成新问题的解析策略，拓展学生的思维方式.

    3. 渗透思想方法，提升核心素养

    “阿氏圆”模型的突破，实则是相似转化的过程. 在该过程中，通过截取线段、构建相似模型，能将含参线段和问题转化为一般的线段和问题，其中运用了数学的转化思想和模型思想. 开展“阿氏圆”模型探究，不仅应关注模型的解析思路，还应立足模型的突破思想，从思想层面理解模型的本质及意义，这也是初中数学模型探究教学的重要任务. 因此，在模型探究时，应合理渗透数学的转化思想和模型思想，引导学生理解数学思想的内涵，深刻体会思想方法解析问题的过程，领悟思想与知识之间密不可分的关系，逐步提升学生的核心素養.