一道2007年乌克兰竞赛题猜想的证明

王明建 杨国增 付宏彬
文[1]给出了一道2007年乌克兰的竞赛题:
设a,b,c>0,且abc≥1,求证
(玦)(a+1a+1)(b+1b+1)(c+1c+1)≥278;
(玦i)27(a3+a2+a+1)(b3+b3+b+1)?(c3+c2+c+1)≥64(a2+a+1)(b2+b+1)?(c2+c+1).
由于[1]的证明比较复杂,故文[2]给出了一个巧妙的证法,并提出一个猜想:
设a,b,c>0,且abc≥1,求证:
n3(a琻+a﹏-1+…+a+1)(b琻+b﹏-1+…+b+1)(c琻+c﹏-1+…+c+1)≥(n+1)3?(a﹏-1+a﹏-2+…+a+1)(b﹏-1+b﹏-2+…+b+1+1)(c﹏-1+c﹏-2+…+c+1)(1)
这里给出其证明如下
证明:当a>0时,欲证(1)成立,须证a琻+a﹏-1+…+a+1a﹏-1+…+a+1≥n+12n(a+1)(2)
即须证(a-1)2[(n-1)a﹏-2+2(n-2)?a﹏-3+…+2(n-2)a+(n-1)]≥0,设f(n)=(n-1)a﹏-2+2(n-2)a﹏-3+3(n-3)a﹏-4+…+2(n-2)a+(n-1)(3)
只要能证明当n≥2时,f(n)>0即可:
下面我们用数学归纳法来证之.
证明 ①显然当n=2时,有1>0,即ゝ(2)>0;当n=3时,有2(a+1)>0,即f(3)>0.
②假设当n=k时,有f(k)=(k-1)a﹌-2+2(k-2)a﹌-3+…+2(k-2)a+(k-1)>0,则f(k+1)-f(k)=ka﹌-1+(k-1)a﹌-2+…+2a+1>0,故有f(k+1)>f(k)>0.
由①、②知,对一切n≥2的自然数,都有ゝ(n)>0成立.
同理可证b琻+b﹏-1+…+b+1b﹏-1+…+b+1≥n+12n(b+1);c琻+c﹏-1+…+c+1c﹏-1+…+c+1≥n+12n(c+1).
三式相乘得a琻+a﹏-1+…+a+1a﹏-1+…+a+1?b琻+b﹏-1+…+b+1b﹏-1+…+b+1?c琻+c﹏-1+…+c+1c﹏-1+…+c+1≥(n+1)323n3(a+1)(b+1)(c+1)≥(n+1)323n323?abc=(n+1)3n3,故(1)式成立.
显然这两个不等式都是(1)的特例.
注:1.文[2]中式(1)右端的系数(n+1)琻,应改为(n+1)3才正确.
2.不等式(1)又可以进一步推广为
n琻∏ni=1(a琻璱+a﹏-1璱+…+a璱+1)≥(n+1)琻?
∏ni=1(a﹏-1璱+a﹏-2璱+…+a璱+1).(4)
参考文献
[1]陈胜利.2007年乌克兰竞赛题及其证明.中国不等式研究小组网站.2007,2,18.
[2]邹守文.一道2007年乌克兰竞赛题的简证[J].中学数学.湖北.2007,8,P15.
[3]王明建.一个优美不等式的证明及推广[J].中学数学研究.江西.2008,2.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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