写好题记，提高能力
薛友正
所谓题记就是选择典型的问题进行归纳、总结、反思、提炼，写出的评析、注释等说明性文字.题记没有统一的形式，大致有：错解题记、正解题记、正误辨析、体会(随笔)等形式.
对待错解的态度不同，将直接影响以后的数学学习成绩.有些同学只是在错误答案旁边写出正确答案，至于错误原因在哪里，就不去过问了，或即使当时搞懂了，但不愿把正确的解题过程写下来，在脑子里没有留下什么痕迹，过一段时间就忘了，以致屡做屡错.
解答正确了还有必要写题记吗?有.写正解题记的目的就是在原有的基础上，用更高的观点、更宽的视野看问题，从而不断提高自己分析问题和解决问题的能力.
1.错解题记——雪中送炭
就是要找出错误的原因，分析错误类型，看其属于知识性错误、能力性错误、心理性错误，还是属于审题、计算等非智力因素造成的错误，并且要把它们写下来，再给出正确解答.
例1 已知f(x)=mn+x,A={x|f(x)=x}={3},B={x|f(x+6)=-x},则B= .
有些同学的解法：把3代入方程f(x)=x，可得到m=3n+9，代入f(x+6)=-x，得到x2+(6+n)x+3n+9=0，即(x+3)［x+(n+3)］=0，但此时不知道怎么求n的值.
评讲后一些同学只是填上正确答案{-3,3}，不写出正确的解题过程，一段时间以后自己也不知道答案是怎么得来的.
事实上，集合A只有一个解还意味着△=0，即n2+4m=0，此式与m=3n+9联立解得n=-6，从而可得B的解为{-3,3}，只要把这一过程写在题目的边上，以后即使忘了，看一下题记就可以明白了.
一位同学在原题边上写道：“要从已知{x|f(x)=x}={3}中读出两个信息：二次方程ゝ(x) =x有重根3，这样就会联想到△=0，于是得到两个关于m,n的等式，本例表明认真审题的重要 性.”
不仅要写出正确答案，还要能做到触类旁通，在上例的基础上又有一道考题：“设集合A={x|x2+2x+a=0}，则A中的所有元素之和为 .
仍有不少同学没有发现重根时集合只有一个元素了，只想到韦达定理，填“-2”，丢掉了另一个可能情况a=1.由此我们看到写错解题记的重要性了.
又例如：函数y=玸in2x+a玞os2x的一条对称轴为x=-π8，则a= .
不少同学用辅助角公式，经过复杂的运算得到a=±1的错误答案.其实，选取两个横坐标关于x=-π8的对称点，比如，x=0和x=-π4，则f(0)=f(-π4)，立刻得到a=-1.
一位同学在题记中写道“原来解答此类问题时只想到正弦曲线的对称轴是过图像最高(低)点且垂直于x轴的直线.这样计算量大，解出的错误还要进行检验，稍不留神就会出错.而用赋值法特别简单，这种方法在解客观题时经常使用.”
写错解题记要因人而异、因题而异，结合自己的错误情况和对问题的理解程度，写出错因分析和正确解答，并且尽可能把问题推广到一般情形，做到举一反三.
2.正解题记——锦上添花
题目解对了还要写什么题记?甚至有些同学在考试后老师评讲时都不认真听，认为没有什么可听的.其实，这种想法也是不对的.老师可能会给出多种解法，有些解法是你没有想到的，有些方法比你的解法更简捷，也许有些方法并没有你的解法简捷，但其思维过程会给你一些有益的启示：老师还会把某个习题进行纵向或横向发散，得到一些变式，或把习题推广得到一类问题的解法或一般结论，如此等等，都是值得你认真地听，这也是写正确题记的内容.
例2 在椭圆x225+y29=1上求一点P，使它到右焦点的距离是它到左焦点距离的4倍.
大多数学生的解法是：设P(x,y)，由题意得方程组，再解方程组.
从道理上说，这种解法是对的，但少数同学对解二元二次方程组有一种“先天”的畏惧感，要正确解出这个方程组又谈何容易.有些同学由于选用不合理的解题方法，导致算不下去，只能中途搁笔，不了了之.能解对确属不易，这种“不怕吃苦的精神”值得肯定，但要知道这种方法着实不可取.本题的简捷解法应该是运用椭圆的定义求解.
由椭圆定义得|PF1|=2,|PF2|=8，坐标化后平方相减立刻得到答案.两种解法的计算量不可同日而语，这是题记的好内容.
3.正误辨析——如虎添翼
有时某种方法解题功能强大，往往会不分情况滥用，以致错了自己还不知为什么.这时有必要针对这种情况写题记，选择相关的典型题目作比较，理清它们之间的相互关系，从本质上理解问题，达到举一反三、触类旁通之功效.
例3 已知抛物线的方程是y=x2，当b为何值时，直线y=2x+b与抛物线有两个不同的交点；两个相同的交点；没有交点?
通法是把直线方程代入曲线方程组成方程组，消去一个未知数得到一元二次方程，由△>0、△=0、△<0来求解，但这种方法在解下面的问题时就不灵了.
设曲线C1:x2+y2=1(x≥0)，C2:y=x+b，当b为何值时，C1与C2有两个不同的交点；两个相同的交点；没有交点?
原因何在?通过认真思考同学们发现，把y=x+b代入x2+y2=1，平方后范围扩大了，一位同学在解完上述两题之后的题记中写道：求曲线交点的一般方法是设曲线C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0，则曲线C1与C2有交点的充要条件是方程组f1(x,y)=0
f2(x,y)=0有实数解.而方程组通常要转化为一元二次方程f(x)=0或g(y)=0，这种转化是否等价，是解答正确与否的关键，有时方程中的变量是受到条件制约的，忽视这一点就可能犯错误，自己一时还难以发现，这时就要运用数形结合等方法求解.
判别式不灵的地方在解析几何中还有吗?有!要求直线和抛物线、双曲线只有一个交点，仅用判别式还不够，当直线和抛物线对称轴平行或直线与双曲线的渐近线平行时，仅用判别式都不能得到正确结论，还需要数形结合或采用其它特殊方法来求解.
老师在解题的小结中写道：“直线曲线两相交，判别式是一个宝：辩证观点看问题，特殊情况要周到；数形结合补漏洞，关键时刻莫忘掉.”这正好可以作为此类问题的题记.
4.题解评注——清楚明白
写题记的目的就是要把自己曾经做错的、容易混淆的、或容易遗忘的内容记录下来，因而就要写得清楚明白，当过一段时间后，对一些模糊的知识通过阅读题记就能很快理解.
例4 若数列{a璶}的前n项和S璶=pna璶(n∈N*)，且a1≠a2，求常数p，并证明数列{a璶}是等差数列.
解：令n=1，得a1=pa1.(已知a璶和S璶的关系，一定要考虑n=1)若p=1,则S2=a1+a2=2a2，那么a1=a2，与已知矛盾.(过程虽短，却是完整的反证法)∴p≠1，a1=0,a2≠0.
由S2=a2=2pa2，得p=12(a2可以约去)，∴S璶=n2?a璶.从而当n≥2时，a璶=S璶-S﹏-1=n2?a璶-n-12?a﹏-1(n=1时，a0无意义)，∴a璶n-1=a﹏-1猲-2(n≥3,n=1,2时无意义)，∴a璶n-1=a﹏-1猲-2=…=a32=a21，(分母比分子下标小1)，∴a璶=(n-1)a2=a1+(n-1)?a2(n≥3)，上式对n=1,2时也成立(不能忘记n=1,2时的情 景)，所以，数列{a璶}是以a1(=0)为首项，a2为公差的等差数列.(a2是不为0的常数 ，可以作为公差).
本题的题解评注把解题的注意事项都写清楚了，即使过了一段时间以后自己忘记了，再看一下评注也就明白了，有些同学对此可能不以为然，但不知你是否有过当时听懂或会做，过一段时间就想不起来的经历.如果有，写评注可能会帮你的忙，它会使你失而复得，同时，写评注还能培养你思维的逻辑性、条理性以及书写表达能力.
写出有特色的题记，有助于达到掌握解法、提高能力的目的.更重要的学会反思、学会总结这样一种使你终身受益的学习方法.写题记和写日记一样，自己可以有充分发挥的余地，写自己所想、所思、所得，写出自己的个性和风格，当然，最后也会写出自己的水平和数学成绩.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
所谓题记就是选择典型的问题进行归纳、总结、反思、提炼，写出的评析、注释等说明性文字.题记没有统一的形式，大致有：错解题记、正解题记、正误辨析、体会(随笔)等形式.
对待错解的态度不同，将直接影响以后的数学学习成绩.有些同学只是在错误答案旁边写出正确答案，至于错误原因在哪里，就不去过问了，或即使当时搞懂了，但不愿把正确的解题过程写下来，在脑子里没有留下什么痕迹，过一段时间就忘了，以致屡做屡错.
解答正确了还有必要写题记吗?有.写正解题记的目的就是在原有的基础上，用更高的观点、更宽的视野看问题，从而不断提高自己分析问题和解决问题的能力.
1.错解题记——雪中送炭
就是要找出错误的原因，分析错误类型，看其属于知识性错误、能力性错误、心理性错误，还是属于审题、计算等非智力因素造成的错误，并且要把它们写下来，再给出正确解答.
例1 已知f(x)=mn+x,A={x|f(x)=x}={3},B={x|f(x+6)=-x},则B= .
有些同学的解法：把3代入方程f(x)=x，可得到m=3n+9，代入f(x+6)=-x，得到x2+(6+n)x+3n+9=0，即(x+3)［x+(n+3)］=0，但此时不知道怎么求n的值.
评讲后一些同学只是填上正确答案{-3,3}，不写出正确的解题过程，一段时间以后自己也不知道答案是怎么得来的.
事实上，集合A只有一个解还意味着△=0，即n2+4m=0，此式与m=3n+9联立解得n=-6，从而可得B的解为{-3,3}，只要把这一过程写在题目的边上，以后即使忘了，看一下题记就可以明白了.
一位同学在原题边上写道：“要从已知{x|f(x)=x}={3}中读出两个信息：二次方程ゝ(x) =x有重根3，这样就会联想到△=0，于是得到两个关于m,n的等式，本例表明认真审题的重要 性.”
不仅要写出正确答案，还要能做到触类旁通，在上例的基础上又有一道考题：“设集合A={x|x2+2x+a=0}，则A中的所有元素之和为 .
仍有不少同学没有发现重根时集合只有一个元素了，只想到韦达定理，填“-2”，丢掉了另一个可能情况a=1.由此我们看到写错解题记的重要性了.
又例如：函数y=玸in2x+a玞os2x的一条对称轴为x=-π8，则a= .
不少同学用辅助角公式，经过复杂的运算得到a=±1的错误答案.其实，选取两个横坐标关于x=-π8的对称点，比如，x=0和x=-π4，则f(0)=f(-π4)，立刻得到a=-1.
一位同学在题记中写道“原来解答此类问题时只想到正弦曲线的对称轴是过图像最高(低)点且垂直于x轴的直线.这样计算量大，解出的错误还要进行检验，稍不留神就会出错.而用赋值法特别简单，这种方法在解客观题时经常使用.”
写错解题记要因人而异、因题而异，结合自己的错误情况和对问题的理解程度，写出错因分析和正确解答，并且尽可能把问题推广到一般情形，做到举一反三.
2.正解题记——锦上添花
题目解对了还要写什么题记?甚至有些同学在考试后老师评讲时都不认真听，认为没有什么可听的.其实，这种想法也是不对的.老师可能会给出多种解法，有些解法是你没有想到的，有些方法比你的解法更简捷，也许有些方法并没有你的解法简捷，但其思维过程会给你一些有益的启示：老师还会把某个习题进行纵向或横向发散，得到一些变式，或把习题推广得到一类问题的解法或一般结论，如此等等，都是值得你认真地听，这也是写正确题记的内容.
例2 在椭圆x225+y29=1上求一点P，使它到右焦点的距离是它到左焦点距离的4倍.
大多数学生的解法是：设P(x,y)，由题意得方程组，再解方程组.
从道理上说，这种解法是对的，但少数同学对解二元二次方程组有一种“先天”的畏惧感，要正确解出这个方程组又谈何容易.有些同学由于选用不合理的解题方法，导致算不下去，只能中途搁笔，不了了之.能解对确属不易，这种“不怕吃苦的精神”值得肯定，但要知道这种方法着实不可取.本题的简捷解法应该是运用椭圆的定义求解.
由椭圆定义得|PF1|=2,|PF2|=8，坐标化后平方相减立刻得到答案.两种解法的计算量不可同日而语，这是题记的好内容.
3.正误辨析——如虎添翼
有时某种方法解题功能强大，往往会不分情况滥用，以致错了自己还不知为什么.这时有必要针对这种情况写题记，选择相关的典型题目作比较，理清它们之间的相互关系，从本质上理解问题，达到举一反三、触类旁通之功效.
例3 已知抛物线的方程是y=x2，当b为何值时，直线y=2x+b与抛物线有两个不同的交点；两个相同的交点；没有交点?
通法是把直线方程代入曲线方程组成方程组，消去一个未知数得到一元二次方程，由△>0、△=0、△<0来求解，但这种方法在解下面的问题时就不灵了.
设曲线C1:x2+y2=1(x≥0)，C2:y=x+b，当b为何值时，C1与C2有两个不同的交点；两个相同的交点；没有交点?
原因何在?通过认真思考同学们发现，把y=x+b代入x2+y2=1，平方后范围扩大了，一位同学在解完上述两题之后的题记中写道：求曲线交点的一般方法是设曲线C1:f1(x,y)=0,C2:f2(x,y)=0，则曲线C1与C2有交点的充要条件是方程组f1(x,y)=0
f2(x,y)=0有实数解.而方程组通常要转化为一元二次方程f(x)=0或g(y)=0，这种转化是否等价，是解答正确与否的关键，有时方程中的变量是受到条件制约的，忽视这一点就可能犯错误，自己一时还难以发现，这时就要运用数形结合等方法求解.
判别式不灵的地方在解析几何中还有吗?有!要求直线和抛物线、双曲线只有一个交点，仅用判别式还不够，当直线和抛物线对称轴平行或直线与双曲线的渐近线平行时，仅用判别式都不能得到正确结论，还需要数形结合或采用其它特殊方法来求解.
老师在解题的小结中写道：“直线曲线两相交，判别式是一个宝：辩证观点看问题，特殊情况要周到；数形结合补漏洞，关键时刻莫忘掉.”这正好可以作为此类问题的题记.
4.题解评注——清楚明白
写题记的目的就是要把自己曾经做错的、容易混淆的、或容易遗忘的内容记录下来，因而就要写得清楚明白，当过一段时间后，对一些模糊的知识通过阅读题记就能很快理解.
例4 若数列{a璶}的前n项和S璶=pna璶(n∈N*)，且a1≠a2，求常数p，并证明数列{a璶}是等差数列.
解：令n=1，得a1=pa1.(已知a璶和S璶的关系，一定要考虑n=1)若p=1,则S2=a1+a2=2a2，那么a1=a2，与已知矛盾.(过程虽短，却是完整的反证法)∴p≠1，a1=0,a2≠0.
由S2=a2=2pa2，得p=12(a2可以约去)，∴S璶=n2?a璶.从而当n≥2时，a璶=S璶-S﹏-1=n2?a璶-n-12?a﹏-1(n=1时，a0无意义)，∴a璶n-1=a﹏-1猲-2(n≥3,n=1,2时无意义)，∴a璶n-1=a﹏-1猲-2=…=a32=a21，(分母比分子下标小1)，∴a璶=(n-1)a2=a1+(n-1)?a2(n≥3)，上式对n=1,2时也成立(不能忘记n=1,2时的情 景)，所以，数列{a璶}是以a1(=0)为首项，a2为公差的等差数列.(a2是不为0的常数 ，可以作为公差).
本题的题解评注把解题的注意事项都写清楚了，即使过了一段时间以后自己忘记了，再看一下评注也就明白了，有些同学对此可能不以为然，但不知你是否有过当时听懂或会做，过一段时间就想不起来的经历.如果有，写评注可能会帮你的忙，它会使你失而复得，同时，写评注还能培养你思维的逻辑性、条理性以及书写表达能力.
写出有特色的题记，有助于达到掌握解法、提高能力的目的.更重要的学会反思、学会总结这样一种使你终身受益的学习方法.写题记和写日记一样，自己可以有充分发挥的余地，写自己所想、所思、所得，写出自己的个性和风格，当然，最后也会写出自己的水平和数学成绩.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
