巧用ln(1+x)<x证明不等式
卢伟峰
在很多问题中都涉及了这样一个重要的不等式:当x>-1且x≠0时,有ln(1+x) 证:构造函数f(x)=ln(1+x)-x,求导得f′(x)=1x+1-1.当x>0时,则f′(x)<0,所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)上是单调递减函数,则有f(x)0,所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(-1,0)上是单调递增函数,则有f(x) 变式 当x>0且x≠1时,lnx0时,1+x 这个不等式及变式的应用非常广泛,下面结合几个实例来加以说明.
例1 已知ai>0(i=1,2,…),证明:a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an.
证:令A=a1+a2+a3+…+ann,因为aiA>0,则有lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)成立,所以lna1A+lna2A+…+lnanA≤a1A+a2A+…+anA-n=n-n=0,即lna1A+lna2A+…+lnanA≤0,即a1a2a3…anAn≤1,则An≥a1a2a3…an,即a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an得证.
评注:均值不等式的证明方法非常多,此法采用构造重要不等式lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)来证明,更显得格外的简洁
明快.
例2 (2004全国,理22题改编)已知g(x)=xlnx,当b>a>0时,求证:0 证:由g(a)+g(b)-2g(a+b2)=alna+blnb-(a+b)lna+b2=aln2aa+b+bln2ba+b,结合b-a2a>0,-1-ln(1+b-a2a)>-b-a2a和ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)>-a-b2b,所以aln2aa+b+bln2ba+b>-b-a2-a-b2=0,即0综上所述0 评注:这道题目的证明难度较大,问题在于学生不能很快的发现ln(1+x
) 例3 (2005重庆,理22改编)数列{an}满足a1=1且当n≥2时,有an≥2,an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1),证明:an 证:因为an≥2(n≥2)且a1=1,则有an+1=(1+1n2+n)an+12n≤(1+1n2+n+12n)an(n≥1),对其两边取对数得:lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n)+lnan 评注:解决此问题要有很强的目标意识,注意到证明的目标中含有特征数e
,此时我们联想到自然对数,自然就考虑重要不等式,于是变换目标结构,即证lnan<2,再围绕着目标,对条件适当放大产生积式,然后对于积式取对数,变成和式再迭加,从而问题得到解决.
例4 若数列{an}满足a1∈(0,1),an+1=ln(2-an)+an(n∈N*),证明:0分析:题目条件中具有结构ln(2-an)=
ln[1+(1-an)],所以考虑直接应用重要不等式进行证明.
证:当n=1时,因为a1∈(0,1),a2=ln(2-a1)+a1=ln[1+(1-a1)]+a1<1-a1+a1=1且a2-a1=ln(2-a1)>0,则0假设n=k时,ak+1=ln(2-ak)+ak,有00,∴0注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在很多问题中都涉及了这样一个重要的不等式:当x>-1且x≠0时,有ln(1+x)
例1 已知ai>0(i=1,2,…),证明:a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an.
证:令A=a1+a2+a3+…+ann,因为aiA>0,则有lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)成立,所以lna1A+lna2A+…+lnanA≤a1A+a2A+…+anA-n=n-n=0,即lna1A+lna2A+…+lnanA≤0,即a1a2a3…anAn≤1,则An≥a1a2a3…an,即a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an得证.
评注:均值不等式的证明方法非常多,此法采用构造重要不等式lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)来证明,更显得格外的简洁
明快.
例2 (2004全国,理22题改编)已知g(x)=xlnx,当b>a>0时,求证:0
)
,此时我们联想到自然对数,自然就考虑重要不等式,于是变换目标结构,即证lnan<2,再围绕着目标,对条件适当放大产生积式,然后对于积式取对数,变成和式再迭加,从而问题得到解决.
例4 若数列{an}满足a1∈(0,1),an+1=ln(2-an)+an(n∈N*),证明:0分析:题目条件中具有结构ln(2-an)=
ln[1+(1-an)],所以考虑直接应用重要不等式进行证明.
证:当n=1时,因为a1∈(0,1),a2=ln(2-a1)+a1=ln[1+(1-a1)]+a1<1-a1+a1=1且a2-a1=ln(2-a1)>0,则0假设n=k时,ak+1=ln(2-ak)+ak,有00,∴0注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文