立体几何中的轨迹问题
胡燕丽
近几年高考命题改革的一个重要方向是“在知识网络交汇点处设计试题”.轨迹问题往往是在解析几何中所涉及的，那么立体几何中的轨迹问题应该如何处理呢?它与解析几何中的轨迹问题有什么联系吗?下面从不同的解题途径来看立体几何中的轨迹问题.
一、常见轨迹
立体几何中的常见轨迹有：
(1)到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球面.
(2)到一条定直线的距离为定长的点的轨迹是底面半径为定长的圆柱面.
(3)到一个平面的距离为定值的点的轨迹是两个平行平面.
例1 直线m与平面α间距离为h，那么到直线m与平面α的距离都为2h的点的集合为().
A.一个平面 B.一条直线
C.空集 D.两条直线
分析：到直线m的距离为2h的点的集合是一个圆柱面，而到平面α的距离为2h的点的集合是两个平行平面，所求轨迹就是两曲面相交所得的两条直线.故答案选D.
例2 已知平面α∥平面β，直线m在平面α内，点P∈m,α，β间的距离为8
，则在平面β内到点P的距离为10且到直线m的距离为9的点的轨迹是().
A.一个圆B.两条直线
C.四个点D.两个点
分析：答案为C.平面β内到点P的距离为10的点的轨迹是一个圆，β内到直线m的距离是9的点的轨迹是两条平行直线，所以所求点的轨迹是他们的交点的集合.
二、空间轨迹平面化
“以空间图形为载体的轨迹问题”将立体几何，解析几何，平面几何巧妙而自然的交汇在一起，立意新颖，构思巧妙，极富思考性和挑战性.
例3 (2004北京高考题)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是().
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
分析：因为C1D1⊥平面BC1，所以PC1即为点P到直线C1D1的距
离，于是问题转化为在平面BC1内，点P到定点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，根据抛物线的定义，动点P的轨迹应为过CC1的中点的抛物线.故应选D.
评注：本题主要考查抛物线的定义，线面垂直关系及点到直线的距离概念.
立意新，角度好，有创意.解决此问题的关键要善于把立体几何中的距离问题转化到同一平
面上的距离，再应用解析几何的知识.
例4 两根直立的旗杆相距10m，高分别是6m和8m，地面上的点P到两旗杆顶的仰角相等，求P在地面上的轨迹.
分析：如图2，BD=6,AC=8,∠BPD=∠APC,∴PD∶PC=BD∶AC=3∶4,以直线DC为
x轴，线段DC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则D(-5，0)，C(5，0).设点P(x,y)，则(x+5)2+y2(x-5)2+y2=34,化简整理得：7x2+7y2+250x+175=0，此方程对应的曲线为圆.
评注：求解“以空间图形为载体的轨迹问题”的基本思路是：要善于把立体
几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、解析几何等知识去求解，实现立
体几何到解析几何的过渡.
例5 设异面直线a,b成60°角，他们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A，B分别在a,b上移动.
(1)指出AB中点P的轨迹所在位置；
(2)求AB的中点P的轨迹.
分析：(1)如图3，设EF的中点为O，而P为AB中点，故O，P在EF的中垂面上，
从而P点轨迹一定在EF的中垂面上.
(2)设A，B在面α的射影
为C，D.则由AP=PB=2得AC=BD=1.因为a∥OC,b∥OD，所以∠COD=60°.
如图4，在平面α内，以O为原点，∠COD的角平分线为x轴的正半轴建立直角坐标系.令C(3t1,t1),D(3t2,-t2),则P点坐标(x,y)满足x=32(t1+t2),y=t1-t22.因为CD=23,所以(3t1-3t2)2+(t1+t2)2=12,即x29+y2=1，故P点轨迹是EF的中垂面上以O为中心，长轴长为6，短轴长为2的椭圆.
评注：本题的关键是如何将动点在空间所满足的条件转化为动点在某个平面
内所满足的条件，再利用解析法求轨迹.若把条件中“异面直线a,b成60°角”改成“异面直线a,b成90°角”，则P点的轨迹为圆.
三、空间问题向量化
我们知道，在空间直角坐标系下，直线l的标准方程为：x-x0X=y-y0Y=z-z0Z,平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不全为零)，以原点为球心的球面方程为：x2+y2+z2=r2.
例6 求到A(1，2，3)和B(2，-1，4)距离相等的点M的轨迹.
分析：由|AM|=|BM|，所以
(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=
(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2,化简整理得：2x-6y+2z-7=0，所求点M的轨迹为一平面，而且是AB的垂直平分面.
例7 已知A(1，2，-1)，B(2，0，2)，在xOz平面内的点P到A与B的距离相等，求点P的轨迹方程.
分析：因为点P在xOz平面内，设P点坐标为(x,0,z)，由AP=BP有：
(x-1)2+(-2)2+(z+1)2=
(x-2)2+02+(z+2)2，整理得：x+3z-1=0，即点P在xOz平面上的轨迹方程为x+3z-1=0，轨迹为一条直线.
评注：本题也可利用上题的结论，到两定点距离相等的点的轨迹是一个平
面，又在xOz平面上，所以点P的轨迹是两个平面的交线，即直线.
通过这类问题的解决，有利于培养学生综合运用数学知识的能力，也有利于培养学生分类讨论、化归等数学意识及创新意识.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
近几年高考命题改革的一个重要方向是“在知识网络交汇点处设计试题”.轨迹问题往往是在解析几何中所涉及的，那么立体几何中的轨迹问题应该如何处理呢?它与解析几何中的轨迹问题有什么联系吗?下面从不同的解题途径来看立体几何中的轨迹问题.
一、常见轨迹
立体几何中的常见轨迹有：
(1)到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球面.
(2)到一条定直线的距离为定长的点的轨迹是底面半径为定长的圆柱面.
(3)到一个平面的距离为定值的点的轨迹是两个平行平面.
例1 直线m与平面α间距离为h，那么到直线m与平面α的距离都为2h的点的集合为().
A.一个平面 B.一条直线
C.空集 D.两条直线
分析：到直线m的距离为2h的点的集合是一个圆柱面，而到平面α的距离为2h的点的集合是两个平行平面，所求轨迹就是两曲面相交所得的两条直线.故答案选D.
例2 已知平面α∥平面β，直线m在平面α内，点P∈m,α，β间的距离为8
，则在平面β内到点P的距离为10且到直线m的距离为9的点的轨迹是().
A.一个圆B.两条直线
C.四个点D.两个点
分析：答案为C.平面β内到点P的距离为10的点的轨迹是一个圆，β内到直线m的距离是9的点的轨迹是两条平行直线，所以所求点的轨迹是他们的交点的集合.
二、空间轨迹平面化
“以空间图形为载体的轨迹问题”将立体几何，解析几何，平面几何巧妙而自然的交汇在一起，立意新颖，构思巧妙，极富思考性和挑战性.
例3 (2004北京高考题)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是().
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
分析：因为C1D1⊥平面BC1，所以PC1即为点P到直线C1D1的距
离，于是问题转化为在平面BC1内，点P到定点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，根据抛物线的定义，动点P的轨迹应为过CC1的中点的抛物线.故应选D.
评注：本题主要考查抛物线的定义，线面垂直关系及点到直线的距离概念.
立意新，角度好，有创意.解决此问题的关键要善于把立体几何中的距离问题转化到同一平
面上的距离，再应用解析几何的知识.
例4 两根直立的旗杆相距10m，高分别是6m和8m，地面上的点P到两旗杆顶的仰角相等，求P在地面上的轨迹.
分析：如图2，BD=6,AC=8,∠BPD=∠APC,∴PD∶PC=BD∶AC=3∶4,以直线DC为
x轴，线段DC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则D(-5，0)，C(5，0).设点P(x,y)，则(x+5)2+y2(x-5)2+y2=34,化简整理得：7x2+7y2+250x+175=0，此方程对应的曲线为圆.
评注：求解“以空间图形为载体的轨迹问题”的基本思路是：要善于把立体
几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、解析几何等知识去求解，实现立
体几何到解析几何的过渡.
例5 设异面直线a,b成60°角，他们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A，B分别在a,b上移动.
(1)指出AB中点P的轨迹所在位置；
(2)求AB的中点P的轨迹.
分析：(1)如图3，设EF的中点为O，而P为AB中点，故O，P在EF的中垂面上，
从而P点轨迹一定在EF的中垂面上.
(2)设A，B在面α的射影
为C，D.则由AP=PB=2得AC=BD=1.因为a∥OC,b∥OD，所以∠COD=60°.
如图4，在平面α内，以O为原点，∠COD的角平分线为x轴的正半轴建立直角坐标系.令C(3t1,t1),D(3t2,-t2),则P点坐标(x,y)满足x=32(t1+t2),y=t1-t22.因为CD=23,所以(3t1-3t2)2+(t1+t2)2=12,即x29+y2=1，故P点轨迹是EF的中垂面上以O为中心，长轴长为6，短轴长为2的椭圆.
评注：本题的关键是如何将动点在空间所满足的条件转化为动点在某个平面
内所满足的条件，再利用解析法求轨迹.若把条件中“异面直线a,b成60°角”改成“异面直线a,b成90°角”，则P点的轨迹为圆.
三、空间问题向量化
我们知道，在空间直角坐标系下，直线l的标准方程为：x-x0X=y-y0Y=z-z0Z,平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不全为零)，以原点为球心的球面方程为：x2+y2+z2=r2.
例6 求到A(1，2，3)和B(2，-1，4)距离相等的点M的轨迹.
分析：由|AM|=|BM|，所以
(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=
(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2,化简整理得：2x-6y+2z-7=0，所求点M的轨迹为一平面，而且是AB的垂直平分面.
例7 已知A(1，2，-1)，B(2，0，2)，在xOz平面内的点P到A与B的距离相等，求点P的轨迹方程.
分析：因为点P在xOz平面内，设P点坐标为(x,0,z)，由AP=BP有：
(x-1)2+(-2)2+(z+1)2=
(x-2)2+02+(z+2)2，整理得：x+3z-1=0，即点P在xOz平面上的轨迹方程为x+3z-1=0，轨迹为一条直线.
评注：本题也可利用上题的结论，到两定点距离相等的点的轨迹是一个平
面，又在xOz平面上，所以点P的轨迹是两个平面的交线，即直线.
通过这类问题的解决，有利于培养学生综合运用数学知识的能力，也有利于培养学生分类讨论、化归等数学意识及创新意识.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
