中心型圆锥曲线中点弦的一个性质及其应用

吴望茂　李　斌
众所周知，在平面直角坐标中，对于任意一个给定的圆，设其圆心为M，弦PQ的中点为R.若PQ=(u1,v1),MR=(u2,v2),则PQ摺蚆R撸即u1u2+v1v2=0.
本文将上述圆的性质推广，得到一般中心型圆锥曲线中点弦的一个性质，并探讨这个性质在高考数学解题中的应用.
1 中心型圆锥曲线中点弦的一个性质
定理1 对于给定的中心型圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设它的中心为M，弦PQ的中点为R.若PQ=(u1,v1),MR=(u2,v2),则Au1u2+Bu1v2+u2v12+Cv1v2=0.特别地，当Γ的对称轴平行或重合于坐标轴时，有Au1u2+Cv1v2=0；当Γ为圆时，有u1u2+v1v2=0.
证明：设M(x0,y0),R(x1,y1),P(x1-△x,y1-△y),Q(x1+△x,y1+△y),记Γ的方程左边为Γ(x,y),则由P∈Γ，Q∈Γ可知
Γ(x1-△x,y1-△y)=0 ①
Γ(x1+△x,y1+△y)=0 ②
将①、②的左边展开，则由①-②并整理可得：(2Ax1+By1+D)(2△x)+(B1x1+2Cy1+E)(2△y)=0 ③
又由二次曲线的理论可知，Γ的中心M(x0,y0)满足
2Ax0+By0+D=0 ④
Bx0+2Cy0+E=0 ⑤
由④×(2△x)+⑤×(2△y)得
(2Ax0+By0+D)(2△x)+(Bx0+2Cy0+E)(2△y)=0 ⑥ 由③-⑥得：
［2A(x1-x0)+B(y1-y0)］(2△x)+［B·(x1-x0)+2C(y1-y0)］(2△y)=0,显然，(u1,v1)=(2△x,2△y),(u2,v2)=(x1-x0,y1-y0).
故(2Au2+Bv2)u1+(Bu2+2Cv2)v1=0.
即Au1u2+B·u1v2+u2v12+Cv1v2=0.
当u1u2≠0，即直线PQ、MR都存在斜率时，定理1的向量形式可转化为斜率形式，因此有如下定理.
定理2 对于给定的中心型圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设它的中心为M，弦PQ的中点为R.若直线PQ的斜率为k1,直线MR的斜率为k2，则A+B·k1+k22+Ck1k2=0.特别地，当Γ的对称轴平行或重合于坐标轴时，有A+Ck1k2=0;当Γ为圆时，有k1k2=-1.
2 中心型圆锥曲线中点弦性质的应用举例
定理1、定理2描述了中心型圆锥曲线中点弦的方向向量(或斜率)与过中心型圆锥曲线中心及弦中点的直线的方向向量(或斜率)之间的内在联系.
定理1、定理2在高考数学解题中具有重要的应用价值.运用它们解决x2a2+y2b2=1(a>b>0)、x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)等曲线的中点弦问题，解题过程简单优美.
例1 设椭圆方程为x2+y24=1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于两点A和B，O是坐标原点，点P满足OP=12(OA+OB)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
分析：设P(x,y)，则kOP与kAB均可用x、y表示.而由定理2可知1+14·kOP·kAB=0，故由此可直接建立P(x,y)的轨迹方程.
解：设P(x,y)，因为OP=12(OA+OB),所以P为弦AB的中点.
(1)当x≠0，由定理2可得：1+14·kOP·kAB=0,即1+14·yx·y-1x=0,化简得4x2+y2-y=0.
(2)当x=0时，P的坐标为(0，0)或(0，1)，均符合上面的方程.
综上，P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.
评注：此题有多种解法，比如，可用韦达定理和参数法求解，但解题过程较繁.
例2 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A，B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0).证明：-a2-b2a证明：设坐标原点为O，线段AB中点为M(x,y)，显然，由题设可知kAB
存在.AB=t(1,kAB)=(t,tkAB)(t≠0)，OM=(x,y),PM=(x-x0,y).对AB摺OM哂τ枚ɡ1得：
1a2tx+1b2tkABy=0,①由AB摺PM=0，得
t(x-x0)+tkABy=0②
由①、②可得x0=a2-b2a2x,又x∈(-a,a),故-a2-b2a叩墓叵怠PM哂階B叩墓叵担建立关系式①、②，然后得到表达式x0=a2-b2a2x,x∈(-a,a).解题思路清晰而自然.
例3 已知椭圆x24+y23=1，试确定实数m的取值范围，使得椭圆上总有不同的两点关
于直线l:y=4x+m对称.
分析：此题等价于“求实数m的取值范围，使椭圆内斜率为定值-14的弦中点的轨迹与直线l有公共点”.
解：设A，B是椭圆上关于l对称的两点，且AB中点为P(x0,y0).由kAB·kl=-1,得kAB=-14,又OP=(x0,y0),AB=t(1,kAB)=(t,-14t)(t≠0).对AB摺OP咴擞枚ɡ1可得14tx0+13·(-14ty0)=0,即3x0-y0=0①
又由P∈l得y0=4x0+m ②
故由①、②得x0=-m,y0=-3m.
因为P(x0,y0)在椭圆内，所以(-m)24+(-3m)23<1，即-21313评注：此题的解题关键是，根据OP哂階B的关系建立斜率为定值-14的弦AB中点P(x0,y0)的轨迹方程3x0-y0=0(x024+y033，解题过程简捷而优美.