初中数学建模的认知表征

    朱映红

    [摘? 要] 建模过程放在认知的视角之下，其对应的是：教学情境中的信息激活学生的感觉与知觉，随后激活学生大脑中的图式，随着新信息的加入与联结，会形成新的图式，新的图式则是所需要建立的数学模型的表征基础. 只要新的图式形成，并且学生能够用准确的数学语言来描述图式，那数学模型的建立基本上就完成了. 这样的思路对于数学建模教学而言是非常简洁的，根据这一思路，将其与具体的教学内容结合起来，那数学建模教学的思路就会非常清晰.

    [关键词] 初中数学;数学建模;认知表征

    当数学建模成为数学学科核心素养的要素之一时，初中数学教学也迎来了新的思考. 固然数学建模一直是数学教学中的重要组成部分，但是长期以来一线教师对数学建模的理解往往都停留在经验层面，某种程度上讲，这是一种“被迫的”选择，因为日常教学中由于应试等原因，教师更多的都是经验的重复. 既然教育已经来到了核心素养的大门之前，教师就必须努力培养学生的必备品格与关键能力，而学科教学的重心更多的落在关键能力上，因此很自然的就可以认识到数学建模能力是数学学科应当培养的关键能力. 核心素养是面向学生的，因此数学建模也应当是面向学生的，教师超越经验层面的理解，从学生学习过程或者说认知过程的角度把握数学建模，就显得非常重要. 认知心理学是描述学生学习过程的最好理论之一，寻找初中数学建模的认知表征，可以成为教师把握数学建模的切入口.

    ■ 解析初中数学建模需要有认知

    视角

    对数学建模的理解，可以从感性与理性两个角度进行. 数学建模的感性认识，可以引用爱因斯坦的一句名言：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉. 这句话最能体现数学建模的重大意义，这个意义体现在学生数学学习的过程当中，具体表现为学生用想象力提供构建数学概念或规律的素材，同时想象力与思维力的结合，可以拓宽学生对数学概念或规律的认识. 数学建模的理性认识，体现在“了解数学建模的认知机制可以更好地制定数学建模的教学策略，继而帮助中学生认识数学建模的知识和方法”上. 那么认知视角下的初中数学建模是什么样的呢？

    研究表明，在数学建模的过程中，学生的学习活动与思维是各成一体同时又相互对应的：教师在创设情境之后，学生可以根据现实问题情境中的信息，提取数学元素以完成数学抽象，随后就是用数学语言去描述数学抽象的结果，这样就得到了数学概念或者规律，此时数学概念或者规律就是以模型的形态存在的，随后运用数学概念或者规律解决问题，就可以理解为数学模型的应用.

    将学生的这一建模过程放在认知的视角之下，其对应的则是：教学情境中的信息激活学生的感觉与知觉，随后激活学生大脑中的图式. 现代认知理论认为，图式（schema）是指围绕某一主题组织起来的知识的表征和贮存方式，是认知的建筑材料（或“组块”），是信息加工的基本要素. 皮亚杰认为：人的认识的发展，不仅表现在知识的增加，更表现在认识结构的完善和发展，图式的发展水平是人的认识发展水平的重要标志. 图式包括两个方面的内容：一是原有图式，二是新图式. 在激活了原有圖式之后，随着新信息的加入与联结，会形成新的图式，新的图式则是所要建立的数学模型的表征基础. 只要新的图式形成，并且学生能够用准确的数学语言来描述图式，那数学模型的建立基本上也就完成了.

    之所以强调数学建模必须有认知视角，是因为作为学习规律的描述方式，认知视角下的数学建模更能够给教师提供模式化的思路，可以让教师在教学的过程中，更为准确地把握数学建模的规律，从而保证其作为核心素养要素更好地落地.

    ■ 关于初中数学建模的认知表征

    例析

    从认知的角度去认识数学建模，最好的办法就是结合具体的建模教学案例来进行，分析案例中学生数学建模的认知过程，并将其与数学建模的认知表征理论结合起来，可以让教师更好地理解学生在数学建模过程中的认知心理. 这里以“一元一次方程”为例来说明.

    方程的概念，初中学生并不陌生，但更多的时候只是作为一个概念，或者说一个解题工具来理解，缺少一种模型意识. 从数学建模的角度来看，这一知识的教学可以设计如下几个环节.

    环节一：创设情境，激活学生的已有图式.

    这个情境主要是问题情境，如：已知甲、乙两车同时从A地出发，沿同一平直公路向同一方向行驶，甲车的速度是70 km/h，乙车的速度是60 km/h. 如果甲车比乙车早1 h经过B地，那么A，B两地之间的距离是多少千米？

    对于初中学生而言，第一反应可能是列算式解决问题. 教师可以适当给出时间让学生运用一下这个方法，以激活原有的图式. 很多时候教师认为算术方法与方程方法没有直接的联系，从学生学习发生的角度来看，这样的观点是值得商榷的，因为方程方法的形成，只能以原有知识为基础而不可能凭空产生，因此在这里先激活学生的算术图式非常必要. 实际上学生大脑当中的算术图式如果是清晰的，那就可以为后面方程图式的形成奠定基础.

    环节二：数学抽象，促进学生生成新的图式.

    引导学生从方程的视角思考这个问题的解决，学生最直接的想法应当是：设所求的量为x. 但这只是新的图式的第一步，梳理出逻辑关系，并建立起方程，才是新图式形成的标志.

    根据题目中给出的信息，可先将甲、乙两车的行驶时间分别表示出来，即■与■，然后得出■-■=1这样一个关系式，于是一元一次方程也就出现了.

    环节三：数学表征，引导学生形成数学模型.

    这个时候出现的一元一次方程，在学生的思维当中，还不能算是一个模型，至少学生此时没有形成模型意识. 于是教师要引导学生去表征这个方程，具体可以让学生回答这样几个问题：这一等式有什么特点？它在解决问题的时候有哪些好处？类似的有无运用这个方法解决问题的情形？

    这些问题的回答可以让学生在小组合作交流的过程中进行，而学生讨论的过程，实际上就是围绕这个等式进行思考，然后上升为“可以运用方程解决实际问题”的认识. 其后教师在引导学生从未知数的个数与次数的角度进行表征，这样就得出了“一元一次方程”这个模型.

    在上面的过程中，情境刺激了学生的知觉，可以让学生的知觉顺利启动，从而也就保证了算术图式的激活. 学生将方程思路与算术思路进行比较，一般可以发现方程思路的优点，从而在建立等量关系的时候进行有倾向的选择，这种心理倾向，可以让学生认识到方程思路是问题解决的更好办法. 其后，对“一元一次方程”的精加工使得学生从“元”与“次”上建立了对一元一次方程的理解，而且进行了数学语言的表征，这样一元一次方程作为一个模型就更加成熟.

    ■ 数学建模的认知表征是传统的

    创新

    在对类似于上述案例进行分析与综合的基础之上，再去认识对数学建模进行认知表征的价值，可以发现在数学教学中，只要想办法让学生的知觉顺利启动，然后激活学生原有的图式（能够为新图式的形成提供支撑作用的图式），再用数学语言表征图式，就可以形成模型认识. 这样的思路对于数学建模教学而言是非常简洁的，根据这一思路，将其与具體的教学内容结合起来，那数学建模教学的思路就会变得非常清晰.

    从这个角度来看，数学建模的认知表征实际上是为教师提供了一种模式化教学的思路，这无论是对初上讲台的教师而言，还是对致力于数学建模教学的老教师而言，可能都具有一定的启发作用. 本质上，初中数学建模教学就是把生活、生产中的具体案例转化为数学问题，通过建立数学模型解决问题，激发学习兴趣，并在建模过程中培养学生的创新精神和应用能力的过程. 对于初中一线教师而言，并不缺乏教学经验，需要努力的就是将自己的教学经验与教学理论结合起来，对数学建模而言就是将学生建模的隐性过程，用认知理论来表述、解释，从而形成显性的教学思路，这是一个超越经验、走向智慧的过程，也是一个超越传统、走向创新的过程. 无论是对教师自身的专业成长而言，还是对促进学生数学学科核心素养落地的目的而言，这样的超越都是有意义的.

    当然从认知的角度去表征数学建模，对于一线教师而言还是个不小的挑战，笔者所做的努力也只是一点皮毛，无论是理论理解还是实践解释方面可能都存在疏漏，这一点还请同行批评指正.