从三则教学案例看数学问题情境的有效设计
刘智强
新课程实施以来，许多教师的教学理念发生了变化，在教学中都很注重问题情境的创设，出 现了一些优秀的问题情境设计方案，也有一些情境设计只是讲究外面的包装，看似很新、 奇、亮，但不知道其真正的目的是什么?是否有效地达成了目标?
情境设计的有效性是指情境设计所指向教学目标的达成度，包括显性目标和隐性目标的达成 度，以及情境设计所展现的教学过程是否适切、是否经济，包括45分钟的课堂效率.
一个有效的情境设计，“应该有鲜明的目标指向，能融数学教与学为一体，具有数学教学活 动的内驱力，并使数学课堂具有自我生长性的立体的环境”［1］.
一个有效的情境设计应该包括它的问题性、指向性、适切性、探究性、现实性、趣味性.一 个情境设计的有效性的标准是看是否设置了一种问题的环境、背景和条件，有助于学生的探 究、发现和体验，“是否选择了有效的最近发展区，有助于本节课的核心目标达成，是否重 视 了问题的呈现方式，有助于学生自主发现，是否关注了学生学习的元认知因素，有助于提升 问题的思维价值，是否强调了数学本质的认识，有助于探究有价值的真实问题，是否注重了 策略方法的研究，有助于提供新的学习渠道”［2］.
案例1：折纸游戏与椭圆——情境设计需要讲究适度
设计方案1：
1.生活实际例子及图片显示：汽车油罐的横截面的轮廓，行星和卫星运行的轨迹等.
2.动手画椭圆：教师利用两个图钉，一条一定长的细线，一根粉笔，在小黑板上演示画一个 椭圆的过程.
3.学生观察画椭圆过程，思考椭圆的特征.
4.给出椭圆定义，推导椭圆的标准方程.
评注：设计1以教师在黑板上用椭圆的机械画法，引入椭圆定义以及焦点的概 念.生活实际例 子、图片、机械画法，所设置的情境指向明确，椭圆的机械画法这种情境中蕴涵着椭圆内部 的数学本质联系，粉笔到两个图钉的距离和等于细线的定长，但这种呈现方式过于显性、直 接、简单、容易.缺少探究的空间，几乎是教师直接地、生硬地把概念“抛”给学生.本节课 的教学目标是椭圆定义的发生、椭圆方程的推导和简单的应用，其中探索椭圆定义是认识椭 圆并掌握椭圆方程的前提，因此，教学的重点是基于过程性的探索椭圆定义、方程和知识技 能性的简单运用，从这个意义出发，该情境与本节课的核心目标达成有一定的距离和偏差.
设计方案2：
1.折纸活动：(如图1)在一张圆形纸片内部设置一不同于圆心的一点，折叠纸片，使圆的周 界上有一点落于设置点.如图折叠数次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮 廓.
2.观察、猜想：众多折痕围出一个椭圆.
3.几何画板动态演示折纸过程及形成的椭圆.
4.探究本质特征，发现形成定义：椭圆上的点到点C、点O的距离和等于圆半径，由学生概括 、教师补充，整理成定义.
5.根据椭圆定义，推导椭圆的标准方程.
评注：设计2引入了折纸活动，使原本单调、枯燥的数学变得生动、有趣.定 义的给出，不是 教师直接“抛”出的，而是学生自己发现、概括的.教师的工作是把教学设计成学生动手操 作、多媒体辅助、观察猜想、揭示规律、引入定义、形成概念等一系列过程.从情境任务与 问题表达、情境对问题解决的暗示程度来看，折纸情境相比设计1中的机械画法，较隐性、 间接，有一定的探究的空间，是在“最近发展区”的一种恰当的度.
案例2：e值的讨论与抛物线——情境设计需要讲究适时
设计方案：
1.折纸游戏：阅读游戏规则，动手操作折纸(如图2).
2.观察、发现1：折线的交点是抛物线.
3.几何画板动态演示折纸过程及抛物线(如图3).
4.探究、发现2：抛物线上的点到定点的距离等于到纸边的距离.
5.形成定义、推导抛物线标准方程.
6.知识应用和变式练习.
评注：如果孤立地看这个设计，和上述椭圆的设计一样是个很有效的情境设 计.但从圆锥曲 线整个单元系统来看，采用复习椭圆、双曲线的统一定义，由对离心率e<1、e>1的分类讨 论 ，引出问题e=1，并直接告诉抛物线定义，进而推导抛物线方程.这种方式自然、直接、省时 ，在这节课的三个教学目标，抛物线定义、方程推导、性质应用的实施中可以重心适当后移 ，更经济、高效地达成教学目标.有效的情境设计应该是“一章节(单元)教学中情境—问题 教学的总体设计”［3］，所以说从整个单元系统来看，这个设计不适时.
同样另外的几种情境的设计，都不是很适切.一种是通过多媒体展现生活中抛物线的现象， 如姚明投篮、绍兴桥的图片等，从现象引入课题，直接给出定义，丰富、精美的画面能很好 地渲染气氛、调动学生情绪，也能直观地、简单地说明抛物线的现实性，但缺少对抛物线定 义本质的揭示过程.另一种是从一个具体的应用问题情境引入课题，直接给出抛物线定义， 如绍兴环城河的水位、船载物高度与绍兴廊桥的形状及通航的关系等具体情景，这种现实生 活中具有挑战性的问题，学生运用已有知识无法解决的问题情境，能使学生在实际情境中产 生“疑”，但情境与定义的发生没有联系.
案例3：李白和酒杯中的数学——情境不只是为了渲染
设计方案1：
1.多媒体播放李白的资料：生平、画像、诗词，所用时间1分钟.
2.配音朗诵并分析李白的《将进酒》：诗深沉浑厚，气象不凡.情极悲愤狂放，语极豪纵 沉着，大起大落，奔放跌宕.诗句长短不一，参差错综，节奏快慢多变，一泻千里等等，所 用时间8分钟.
3.用“莫使金木尊空对月”引出“酒杯”：“人生得意 须尽欢，莫使金木尊空对月.天生我材必有用，千金散尽 还复来.”其中的“金木尊”为何意?——酒杯，所用时 间1分钟.
4.介绍酒杯(课件演示)：直角酒杯、椭圆酒杯、抛物线酒杯(按酒杯的轴截面形状分)，所用 时间1分钟.
5.酒杯中的数学1：如果已知一抛物线酒杯，我们测量得杯口宽4cm，杯深8cm，能 否求出该抛物线方程?通过练习，复习抛物线的定义、标准方程等问题，为后面的探究在知 识上做好铺垫，所用时间3分钟.
6.酒杯中的数学2：定长为2的细棒AB的两个端点在抛物线酒杯x2=1/2y 上移动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标.
评注：这是一节抛物线知识的应用课，感觉
从声音、画面、情境都很有感染力，但前面的14 分钟，只引出了酒杯，不经济，浪费时间.从李白、酒杯到酒杯中的数学，这样的故事情境 具有一定的人文性和生活化，但情境指向的仅仅是酒杯，不是本节课的本质问题，这样的情 境太重形式，表面的东西，没有意义.设计中的1至4步与课的目标及内容没有什么联系，远 离数学本质，为情境化而设计情境.
设计方案2：
1.李白豪饮、狂书、甩笔：假如李白一手握杯，一手执笔.先将美酒一饮而尽，将酒杯置于 身后.然后挥笔草书《将进酒》.写完后，甩笔，恰入酒杯中.假设此杯为大号抛物线酒杯， 因唐朝制杯工艺优秀，古杯壁光滑可忽略摩擦，现视笔为粗细均匀的细棒.问题当笔最后达 到平衡状态时，笔在酒杯中的位置如何?(课件演示).
2.从物理学科角度看：“物体处于平衡位置与其重心有什么关系”?(细棒的中心即细棒的重 心处于最低位置).
3.请学生编写数学题：“根据上述现象的结论，举例编写出数学问题”.
4.酒杯中的数学：定长为2的线段AB的两个端点在抛物线x2=1/2y上移 动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标.
评注：“李白豪饮、狂书、甩笔”的故事情境，描述了笔“从滑动到最后平 衡状态”的物理现象，情境设计中的2、3两个“问题串”，引导学生从物理的角度揭示问题 本质，进一步数学化为本节课的核心问题.与设计1比较，这样的情境既有故事的趣味性、又 有 问题的本质的东西，这样的“问题串”“适度”，能“引导学生从实际情境中发现问题，并 归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题.”［4］
有效的数学情境设计“不要脱离课堂教学目标”，“为情境而设置情境”，不要刻意追求“ 为课件而制作课件”.要恰当处理“复杂的情境”，要注重“虚拟情境”中的数学信息探析 ，要处理好核心知识学习与学生兴趣的关系”.［5］
参考文献
［1］黄翔，李开慧.关于数学课程的情境化设计［J］.课程教材教法，2006(9)：39-43.
［2］李晓明.例说“情境”中问题设置的改造［J］.数学教学，2006(7)：0-2.
［3］吕传汉，汪秉.论中小学“数学情境与提出问题”的教学［J］.数学教育学报，2006(5 )：74-79.
［4］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［S］.北京：人民教育出版社，2003.1 09.
［5］吕传汉，汪秉.论中小学“数学情境与提出问题”的教学［J］.数学教育学报，2006(5 )：74-79.
新课程实施以来，许多教师的教学理念发生了变化，在教学中都很注重问题情境的创设，出 现了一些优秀的问题情境设计方案，也有一些情境设计只是讲究外面的包装，看似很新、 奇、亮，但不知道其真正的目的是什么?是否有效地达成了目标?
情境设计的有效性是指情境设计所指向教学目标的达成度，包括显性目标和隐性目标的达成 度，以及情境设计所展现的教学过程是否适切、是否经济，包括45分钟的课堂效率.
一个有效的情境设计，“应该有鲜明的目标指向，能融数学教与学为一体，具有数学教学活 动的内驱力，并使数学课堂具有自我生长性的立体的环境”［1］.
一个有效的情境设计应该包括它的问题性、指向性、适切性、探究性、现实性、趣味性.一 个情境设计的有效性的标准是看是否设置了一种问题的环境、背景和条件，有助于学生的探 究、发现和体验，“是否选择了有效的最近发展区，有助于本节课的核心目标达成，是否重 视 了问题的呈现方式，有助于学生自主发现，是否关注了学生学习的元认知因素，有助于提升 问题的思维价值，是否强调了数学本质的认识，有助于探究有价值的真实问题，是否注重了 策略方法的研究，有助于提供新的学习渠道”［2］.
案例1：折纸游戏与椭圆——情境设计需要讲究适度
设计方案1：
1.生活实际例子及图片显示：汽车油罐的横截面的轮廓，行星和卫星运行的轨迹等.
2.动手画椭圆：教师利用两个图钉，一条一定长的细线，一根粉笔，在小黑板上演示画一个 椭圆的过程.
3.学生观察画椭圆过程，思考椭圆的特征.
4.给出椭圆定义，推导椭圆的标准方程.
评注：设计1以教师在黑板上用椭圆的机械画法，引入椭圆定义以及焦点的概 念.生活实际例 子、图片、机械画法，所设置的情境指向明确，椭圆的机械画法这种情境中蕴涵着椭圆内部 的数学本质联系，粉笔到两个图钉的距离和等于细线的定长，但这种呈现方式过于显性、直 接、简单、容易.缺少探究的空间，几乎是教师直接地、生硬地把概念“抛”给学生.本节课 的教学目标是椭圆定义的发生、椭圆方程的推导和简单的应用，其中探索椭圆定义是认识椭 圆并掌握椭圆方程的前提，因此，教学的重点是基于过程性的探索椭圆定义、方程和知识技 能性的简单运用，从这个意义出发，该情境与本节课的核心目标达成有一定的距离和偏差.
设计方案2：
1.折纸活动：(如图1)在一张圆形纸片内部设置一不同于圆心的一点，折叠纸片，使圆的周 界上有一点落于设置点.如图折叠数次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮 廓.
2.观察、猜想：众多折痕围出一个椭圆.
3.几何画板动态演示折纸过程及形成的椭圆.
4.探究本质特征，发现形成定义：椭圆上的点到点C、点O的距离和等于圆半径，由学生概括 、教师补充，整理成定义.
5.根据椭圆定义，推导椭圆的标准方程.
评注：设计2引入了折纸活动，使原本单调、枯燥的数学变得生动、有趣.定 义的给出，不是 教师直接“抛”出的，而是学生自己发现、概括的.教师的工作是把教学设计成学生动手操 作、多媒体辅助、观察猜想、揭示规律、引入定义、形成概念等一系列过程.从情境任务与 问题表达、情境对问题解决的暗示程度来看，折纸情境相比设计1中的机械画法，较隐性、 间接，有一定的探究的空间，是在“最近发展区”的一种恰当的度.
案例2：e值的讨论与抛物线——情境设计需要讲究适时
设计方案：
1.折纸游戏：阅读游戏规则，动手操作折纸(如图2).
2.观察、发现1：折线的交点是抛物线.
3.几何画板动态演示折纸过程及抛物线(如图3).
4.探究、发现2：抛物线上的点到定点的距离等于到纸边的距离.
5.形成定义、推导抛物线标准方程.
6.知识应用和变式练习.
评注：如果孤立地看这个设计，和上述椭圆的设计一样是个很有效的情境设 计.但从圆锥曲 线整个单元系统来看，采用复习椭圆、双曲线的统一定义，由对离心率e<1、e>1的分类讨 论 ，引出问题e=1，并直接告诉抛物线定义，进而推导抛物线方程.这种方式自然、直接、省时 ，在这节课的三个教学目标，抛物线定义、方程推导、性质应用的实施中可以重心适当后移 ，更经济、高效地达成教学目标.有效的情境设计应该是“一章节(单元)教学中情境—问题 教学的总体设计”［3］，所以说从整个单元系统来看，这个设计不适时.
同样另外的几种情境的设计，都不是很适切.一种是通过多媒体展现生活中抛物线的现象， 如姚明投篮、绍兴桥的图片等，从现象引入课题，直接给出定义，丰富、精美的画面能很好 地渲染气氛、调动学生情绪，也能直观地、简单地说明抛物线的现实性，但缺少对抛物线定 义本质的揭示过程.另一种是从一个具体的应用问题情境引入课题，直接给出抛物线定义， 如绍兴环城河的水位、船载物高度与绍兴廊桥的形状及通航的关系等具体情景，这种现实生 活中具有挑战性的问题，学生运用已有知识无法解决的问题情境，能使学生在实际情境中产 生“疑”，但情境与定义的发生没有联系.
案例3：李白和酒杯中的数学——情境不只是为了渲染
设计方案1：
1.多媒体播放李白的资料：生平、画像、诗词，所用时间1分钟.
2.配音朗诵并分析李白的《将进酒》：诗深沉浑厚，气象不凡.情极悲愤狂放，语极豪纵 沉着，大起大落，奔放跌宕.诗句长短不一，参差错综，节奏快慢多变，一泻千里等等，所 用时间8分钟.
3.用“莫使金木尊空对月”引出“酒杯”：“人生得意 须尽欢，莫使金木尊空对月.天生我材必有用，千金散尽 还复来.”其中的“金木尊”为何意?——酒杯，所用时 间1分钟.
4.介绍酒杯(课件演示)：直角酒杯、椭圆酒杯、抛物线酒杯(按酒杯的轴截面形状分)，所用 时间1分钟.
5.酒杯中的数学1：如果已知一抛物线酒杯，我们测量得杯口宽4cm，杯深8cm，能 否求出该抛物线方程?通过练习，复习抛物线的定义、标准方程等问题，为后面的探究在知 识上做好铺垫，所用时间3分钟.
6.酒杯中的数学2：定长为2的细棒AB的两个端点在抛物线酒杯x2=1/2y 上移动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标.
评注：这是一节抛物线知识的应用课，感觉
从声音、画面、情境都很有感染力，但前面的14 分钟，只引出了酒杯，不经济，浪费时间.从李白、酒杯到酒杯中的数学，这样的故事情境 具有一定的人文性和生活化，但情境指向的仅仅是酒杯，不是本节课的本质问题，这样的情 境太重形式，表面的东西，没有意义.设计中的1至4步与课的目标及内容没有什么联系，远 离数学本质，为情境化而设计情境.
设计方案2：
1.李白豪饮、狂书、甩笔：假如李白一手握杯，一手执笔.先将美酒一饮而尽，将酒杯置于 身后.然后挥笔草书《将进酒》.写完后，甩笔，恰入酒杯中.假设此杯为大号抛物线酒杯， 因唐朝制杯工艺优秀，古杯壁光滑可忽略摩擦，现视笔为粗细均匀的细棒.问题当笔最后达 到平衡状态时，笔在酒杯中的位置如何?(课件演示).
2.从物理学科角度看：“物体处于平衡位置与其重心有什么关系”?(细棒的中心即细棒的重 心处于最低位置).
3.请学生编写数学题：“根据上述现象的结论，举例编写出数学问题”.
4.酒杯中的数学：定长为2的线段AB的两个端点在抛物线x2=1/2y上移 动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标.
评注：“李白豪饮、狂书、甩笔”的故事情境，描述了笔“从滑动到最后平 衡状态”的物理现象，情境设计中的2、3两个“问题串”，引导学生从物理的角度揭示问题 本质，进一步数学化为本节课的核心问题.与设计1比较，这样的情境既有故事的趣味性、又 有 问题的本质的东西，这样的“问题串”“适度”，能“引导学生从实际情境中发现问题，并 归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题.”［4］
有效的数学情境设计“不要脱离课堂教学目标”，“为情境而设置情境”，不要刻意追求“ 为课件而制作课件”.要恰当处理“复杂的情境”，要注重“虚拟情境”中的数学信息探析 ，要处理好核心知识学习与学生兴趣的关系”.［5］
参考文献
［1］黄翔，李开慧.关于数学课程的情境化设计［J］.课程教材教法，2006(9)：39-43.
［2］李晓明.例说“情境”中问题设置的改造［J］.数学教学，2006(7)：0-2.
［3］吕传汉，汪秉.论中小学“数学情境与提出问题”的教学［J］.数学教育学报，2006(5 )：74-79.
［4］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［S］.北京：人民教育出版社，2003.1 09.
［5］吕传汉，汪秉.论中小学“数学情境与提出问题”的教学［J］.数学教育学报，2006(5 )：74-79.
