从三则教学案例看数学问题情境的有效设计

刘智强
新课程实施以来,许多教师的教学理念发生了变化,在教学中都很注重问题情境的创设,出 现了一些优秀的问题情境设计方案,也有一些情境设计只是讲究外面的包装,看似很新、 奇、亮,但不知道其真正的目的是什么?是否有效地达成了目标?
情境设计的有效性是指情境设计所指向教学目标的达成度,包括显性目标和隐性目标的达成 度,以及情境设计所展现的教学过程是否适切、是否经济,包括45分钟的课堂效率.
一个有效的情境设计,“应该有鲜明的目标指向,能融数学教与学为一体,具有数学教学活 动的内驱力,并使数学课堂具有自我生长性的立体的环境”[1].
一个有效的情境设计应该包括它的问题性、指向性、适切性、探究性、现实性、趣味性.一 个情境设计的有效性的标准是看是否设置了一种问题的环境、背景和条件,有助于学生的探 究、发现和体验,“是否选择了有效的最近发展区,有助于本节课的核心目标达成,是否重 视 了问题的呈现方式,有助于学生自主发现,是否关注了学生学习的元认知因素,有助于提升 问题的思维价值,是否强调了数学本质的认识,有助于探究有价值的真实问题,是否注重了 策略方法的研究,有助于提供新的学习渠道”[2].
案例1:折纸游戏与椭圆——情境设计需要讲究适度
设计方案1:
1.生活实际例子及图片显示:汽车油罐的横截面的轮廓,行星和卫星运行的轨迹等.
2.动手画椭圆:教师利用两个图钉,一条一定长的细线,一根粉笔,在小黑板上演示画一个 椭圆的过程.
3.学生观察画椭圆过程,思考椭圆的特征.
4.给出椭圆定义,推导椭圆的标准方程.
评注:设计1以教师在黑板上用椭圆的机械画法,引入椭圆定义以及焦点的概 念.生活实际例 子、图片、机械画法,所设置的情境指向明确,椭圆的机械画法这种情境中蕴涵着椭圆内部 的数学本质联系,粉笔到两个图钉的距离和等于细线的定长,但这种呈现方式过于显性、直 接、简单、容易.缺少探究的空间,几乎是教师直接地、生硬地把概念“抛”给学生.本节课 的教学目标是椭圆定义的发生、椭圆方程的推导和简单的应用,其中探索椭圆定义是认识椭 圆并掌握椭圆方程的前提,因此,教学的重点是基于过程性的探索椭圆定义、方程和知识技 能性的简单运用,从这个意义出发,该情境与本节课的核心目标达成有一定的距离和偏差.
设计方案2:
1.折纸活动:(如图1)在一张圆形纸片内部设置一不同于圆心的一点,折叠纸片,使圆的周 界上有一点落于设置点.如图折叠数次,形成一系列折痕,它们整体地勾画出一条曲线的轮 廓.

2.观察、猜想:众多折痕围出一个椭圆.
3.几何画板动态演示折纸过程及形成的椭圆.
4.探究本质特征,发现形成定义:椭圆上的点到点C、点O的距离和等于圆半径,由学生概括 、教师补充,整理成定义.
5.根据椭圆定义,推导椭圆的标准方程.
评注:设计2引入了折纸活动,使原本单调、枯燥的数学变得生动、有趣.定 义的给出,不是 教师直接“抛”出的,而是学生自己发现、概括的.教师的工作是把教学设计成学生动手操 作、多媒体辅助、观察猜想、揭示规律、引入定义、形成概念等一系列过程.从情境任务与 问题表达、情境对问题解决的暗示程度来看,折纸情境相比设计1中的机械画法,较隐性、 间接,有一定的探究的空间,是在“最近发展区”的一种恰当的度.
案例2:e值的讨论与抛物线——情境设计需要讲究适时
设计方案:
1.折纸游戏:阅读游戏规则,动手操作折纸(如图2).

2.观察、发现1:折线的交点是抛物线.
3.几何画板动态演示折纸过程及抛物线(如图3).
4.探究、发现2:抛物线上的点到定点的距离等于到纸边的距离.
5.形成定义、推导抛物线标准方程.
6.知识应用和变式练习.
评注:如果孤立地看这个设计,和上述椭圆的设计一样是个很有效的情境设 计.但从圆锥曲 线整个单元系统来看,采用复习椭圆、双曲线的统一定义,由对离心率e<1、e>1的分类讨 论 ,引出问题e=1,并直接告诉抛物线定义,进而推导抛物线方程.这种方式自然、直接、省时 ,在这节课的三个教学目标,抛物线定义、方程推导、性质应用的实施中可以重心适当后移 ,更经济、高效地达成教学目标.有效的情境设计应该是“一章节(单元)教学中情境—问题 教学的总体设计”[3],所以说从整个单元系统来看,这个设计不适时.
同样另外的几种情境的设计,都不是很适切.一种是通过多媒体展现生活中抛物线的现象, 如姚明投篮、绍兴桥的图片等,从现象引入课题,直接给出定义,丰富、精美的画面能很好 地渲染气氛、调动学生情绪,也能直观地、简单地说明抛物线的现实性,但缺少对抛物线定 义本质的揭示过程.另一种是从一个具体的应用问题情境引入课题,直接给出抛物线定义, 如绍兴环城河的水位、船载物高度与绍兴廊桥的形状及通航的关系等具体情景,这种现实生 活中具有挑战性的问题,学生运用已有知识无法解决的问题情境,能使学生在实际情境中产 生“疑”,但情境与定义的发生没有联系.
案例3:李白和酒杯中的数学——情境不只是为了渲染
设计方案1:
1.多媒体播放李白的资料:生平、画像、诗词,所用时间1分钟.
2.配音朗诵并分析李白的《将进酒》:诗深沉浑厚,气象不凡.情极悲愤狂放,语极豪纵 沉着,大起大落,奔放跌宕.诗句长短不一,参差错综,节奏快慢多变,一泻千里等等,所 用时间8分钟.
3.用“莫使金木尊空对月”引出“酒杯”:“人生得意 须尽欢,莫使金木尊空对月.天生我材必有用,千金散尽 还复来.”其中的“金木尊”为何意?——酒杯,所用时 间1分钟.
4.介绍酒杯(课件演示):直角酒杯、椭圆酒杯、抛物线酒杯(按酒杯的轴截面形状分),所用 时间1分钟.
5.酒杯中的数学1:如果已知一抛物线酒杯,我们测量得杯口宽4cm,杯深8cm,能 否求出该抛物线方程?通过练习,复习抛物线的定义、标准方程等问题,为后面的探究在知 识上做好铺垫,所用时间3分钟.
6.酒杯中的数学2:定长为2的细棒AB的两个端点在抛物线酒杯x2=1/2y 上移动,记线段AB的中点为M,求点M到x轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
评注:这是一节抛物线知识的应用课,感觉
从声音、画面、情境都很有感染力,但前面的14 分钟,只引出了酒杯,不经济,浪费时间.从李白、酒杯到酒杯中的数学,这样的故事情境 具有一定的人文性和生活化,但情境指向的仅仅是酒杯,不是本节课的本质问题,这样的情 境太重形式,表面的东西,没有意义.设计中的1至4步与课的目标及内容没有什么联系,远 离数学本质,为情境化而设计情境.
设计方案2:
1.李白豪饮、狂书、甩笔:假如李白一手握杯,一手执笔.先将美酒一饮而尽,将酒杯置于 身后.然后挥笔草书《将进酒》.写完后,甩笔,恰入酒杯中.假设此杯为大号抛物线酒杯, 因唐朝制杯工艺优秀,古杯壁光滑可忽略摩擦,现视笔为粗细均匀的细棒.问题当笔最后达 到平衡状态时,笔在酒杯中的位置如何?(课件演示).
2.从物理学科角度看:“物体处于平衡位置与其重心有什么关系”?(细棒的中心即细棒的重 心处于最低位置).
3.请学生编写数学题:“根据上述现象的结论,举例编写出数学问题”.
4.酒杯中的数学:定长为2的线段AB的两个端点在抛物线x2=1/2y上移 动,记线段AB的中点为M,求点M到x轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
评注:“李白豪饮、狂书、甩笔”的故事情境,描述了笔“从滑动到最后平 衡状态”的物理现象,情境设计中的2、3两个“问题串”,引导学生从物理的角度揭示问题 本质,进一步数学化为本节课的核心问题.与设计1比较,这样的情境既有故事的趣味性、又 有 问题的本质的东西,这样的“问题串”“适度”,能“引导学生从实际情境中发现问题,并 归结为数学模型,尝试用数学知识和方法去解决问题.”[4]
有效的数学情境设计“不要脱离课堂教学目标”,“为情境而设置情境”,不要刻意追求“ 为课件而制作课件”.要恰当处理“复杂的情境”,要注重“虚拟情境”中的数学信息探析 ,要处理好核心知识学习与学生兴趣的关系”.[5]
参考文献
[1]黄翔,李开慧.关于数学课程的情境化设计[J].课程教材教法,2006(9):39-43.
[2]李晓明.例说“情境”中问题设置的改造[J].数学教学,2006(7):0-2.
[3]吕传汉,汪秉.论中小学“数学情境与提出问题”的教学[J].数学教育学报,2006(5 ):74-79.
[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社,2003.1 09.
[5]吕传汉,汪秉.论中小学“数学情境与提出问题”的教学[J].数学教育学报,2006(5 ):74-79.
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