三角形与三棱锥的两个性质命题的逆命题

王本民
文［1］讨论了三角形的一个向量性质并将其推广到三棱锥中.
命题1 如图1所示，已知△ABC及其内部一点P，若│霜1㏄A擢+λ2㏄B+λ3㏄C=0,λ1，λ2，λ3都是正实数，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B撸〢N=y〢C
命题2 如图2所示，已知三棱锥ABCD及其内部一点P，若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D
笔者进一步研究后发现上述两个命题的逆命题也成立，现将其叙述并证明如下.
命题3 如图1所示，已知△ABC及其内部一点P，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B
证明：∵M、N、P三点共线(A不在直线MN上)，∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y〢C撸(且μ1+μ2=1) ①
=0.故命题成立.
命题4 如图2所示，已知三棱锥ABCD及其内部一点P，过点P作平面与AB、AC、AD三边分别交于M、N、K三点，且
故命题成立.
显然，由上述命题及证明可以得到如下两个“充要性”的命题：
命题5 如图1所示，已知△ABC及其内部一点P，过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且〢M=x〢B
命题6 如图2所示，已知三棱锥ABCD及其内部一点P，过点P作平面与AB、AC、AD三边分别交于M、N、K三点，且
参考文献
［1］田富德.三角形的一个向量性质及其空间拓广.数学通讯.2007(13).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”