关于函数压轴题的解题策略探讨与建议

2023.08.21

周华

[摘 ?要] 函数压轴题的解题过程是知识调用、问题转化的过程，该过程中需要使用相应的解题技巧，其中数形结合是直观呈现问题、构建模型、严密推理的常用策略. 文章通过分析函数压轴题，思考数形解题策略，结合实例探讨函数压轴题的突破过程，提出相應的教学建议.

[关键词] 函数;策略;思想;数形结合

函数是初中数学的重点内容，也是知识综合性最强的内容之一. 纵观近几年的中考题，函数作为压轴题出现的频次很高，常联合平面几何、代数方程、不等式等内容来命制考题. 命题特征鲜明，常采用连续设问方式，难度逐问递增，各问之间具有一定的关联性和铺垫作用，能够引导学生思考，全面考查学生的知识水平和逻辑推理能力.

实际上函数是数形结合最为紧密的内容，函数解析式与图像之间存在着对应关系，从思想层面来看，是对数形结合思想的体现. 函数问题考查的知识内容十分丰富，在实际研究时需要全面考量函数图像，分析变量关系，总结结论. 基于数形结合思想建议采用如下解题策略：

1. 画图解信息，由图析关系（由形析数）

对于函数压轴题可利用图像来解析题干条件，提取隐含信息. 首先绘制图像，充分解读题干条件，利用图像的直观性来挖掘其中的几何特性.

2. 列式得未知，代数分析解（用数解形）

把握隐含信息，利用图像中的点来求解所涉函数关系式，通过解方程、不等式或函数分析的方式来获取关键量，逐步剖解问题.

考题探究

函数压轴题的综合性很强，其解法也不唯一，从不同的角度分析可以获得不同的信息条件，但均可以按照上述所推荐的数形策略来构建思路，下面以一道函数压轴题为例加以探讨.

问题：（函数与几何的综合）已知抛物线的解析式为y=ax- 2-2，其顶点为A，点B- ，2和C ，2是抛物线上的两个点，试回答下列问题.

（1）求该抛物线的解析式;

（2）如图1所示，过点A和B的直线与x轴和y轴的交点分别为点M和E，抛物线与y轴的交点为F，点P位于直线AB上，若有∠OPM=∠MAF，试求△POE的面积;

（3）如图2所示，点Q位于折线A-B-C上，过点Q作y轴平行线，再过点E作x轴的平行线，设两线交点为N，将△QNE沿着直线QE翻折，可得△QEN1，若点N1刚好落在x轴上，试求点Q的坐标.

思路突破：

第（1）问求抛物线的解析式，只需要将抛物线上已知坐标的一点代入解析式即可，将- ，2代入y=ax- 2-2中，可解得a=1，则该抛物线的解析式为y=x- 2-2.

第（2）问求所构三角形的面积，核心条件是等角关系“∠OPM=∠MAF”. 基于数形结合策略进行问题分析，根据条件信息理解图像，显然△POE由直线AB、OP和y轴合围所成. 点A坐标已知，点B、E、F、M的坐标均可以联立方程获得. 连接AF后，由“∠OPM=∠MAF”可知OP∥AF，后续需要分两步进行：第一步构建面积模型，第二步利用条件列方程求相关未知量. 有以下两种方法.

若将△POE视为以OE为底、点P为顶点的三角形，则其面积可以表示为S△POE= ·OE·h，其中h表示点P到y轴的距离，数值上与点P横坐标的绝对值相等. 将直线AB的解析式设为y=kx+b，分别代入点A和B的坐标，则可求得解析式为y=-2x-1，从而可得点E（0，-1），F0，- ，M- ，0. 由∠OPM=∠MAF可知OP∥AF，从而可证△OPE∽△FAE，由相似性质可得 = . 其中利用两点之间的距离公式可得OE=1，EF= ，AF= ，代入可解得OP= . 点P位于直线AB上，可将其坐标设为（t，-2t-1），从而可解得t1= - ，t2=- ，分析可知点P的两个位置均满足等角条件，将其分别代入面积模型可求得△POE的面积，当t1=- 时，可得S△POE= ;当t2=- 时，S△POE= ，所以△POE的面积为或 .

第（3）问涉及几何折叠，同时点Q在折线A-B-C上运动，需要利用折叠特性进行分类讨论. 结合图像分析可知需要分为三种情形：①点Q在AB上运动，②点Q在BC上运动，且位于y轴的左侧;③点Q在BC上运动，且位于y轴的右侧. 具体分析时需要提取其中的基本图形，结合图形性质来构建方程求坐标.

①当点Q在AB上运动时，如图3所示，设点Q（a，-2a-1），则NE=-a，QN= -2a，根据翻折特性可得QN′=QN=-2a，N′E=NE=-a. 分析可知△QRN′～△N′SE，根据相似性质可得 = = ，代入可解得QR=2，结合NE+ES=NS=QR，可得-a+ =2，则a=- ，所以点Q的坐标为- ， .

②当点Q在BC上运动，且位于y轴的左侧时，如图3所示. 设NE=-a，则N′E=-a，易得RN′=2，SN′=1，QN′=QN=3，则QR= ，SE= +a. 在Rt△SEN′中使用勾股定理可得SE2+SN′2=EN′2，解得a=- ，所以点Q的坐标为- ，2.

③当点Q在BC上运动，且位于y轴的右侧时，如图4所示，按照情形2的思路进行方程构建，设NE=a，则N′E=a，易得RN′=2，SN′=1，QN′=QN=3，则QR= ，SE= -a. 在Rt△SEN′中使用勾股定理可得SE2+SN′2=EN′2，解得a= ，所以点Q的坐标为，2.

综上可知，满足条件点Q的坐标有三个，分别为- ，、- ，2和，2.

上述是抛物线与平面几何相综合的压轴题，其中涉及几何角相等、求解三角形模型、图形翻折等几何内容，这也是函数综合题常见的命题方向. 上述采用了数形结合构建思路的策略，过程中体现了该策略解题的三个关键点：一是利用图像来理解题意，这是解题的前提;二是利用图像来转化条件，主要体现在后两问上，以第（2）问为例，结合图像将等角关系转化为三角形相似关系，以及直线斜率相等关系;三是利用图像模型来构建方程，无论是求直线解析式，还是求点坐标参数，均体现得淋漓尽致.

解后反思

函数与几何压轴题的突破需要完成图像分析与代数转化两个过程，上述呈现了数形结合解题的具体步骤，下面提出两点教学建议.

1. 重视观察，探析特性

函数与几何压轴题的特点是信息含量大，图像较为复杂，基于数形结合开展解题教学时需要使学生明晰信息理解的重要性，包括文字、符号和图像信息，在该阶段要完成题干条件与问题图像的对照转化. 因此需要引导学生重视观察图像，掌握读图技巧，例如提取曲线与坐标的交点、曲线之间的交点，关注其中的特殊图形，提取图形特性，以此为切入点来挖掘隐含条件，构建相应的思路. 考虑到图像较为复杂，具体教学时可以采用简图分析的方式，引导学生对复合图形进行拆解，构建模型，如上述第（3）问分类讨论时分别提取了动点图模型.

2. 直观猜想，严谨论证

函数压轴题所涉线条较多，结合了几何运动内容的问题更为复杂，部分几何元素的内容不完全确定，此时就需要引导学生发挥想象来做出猜想. 猜想时需要整合题干中的基本条件，综合考虑、合理猜想，例如上述结合条件可以想到点P的位置有两个，后续只需要加以论证即可. 在论证过程中需要充分运用函数与几何性质，构建相应的方程、不等式，通过求解获得准确的点坐标、取值范围等内容，从而剔除其中的错误猜想，得出正确的结论. 教学中教师要充分贯彻“先假设，后验证”的思路，培养学生的直观想象、严谨推理能力.