浅谈等效法分析电学实验的系统误差
郑育坤
摘 要：用等效法分析半偏法的系统误差，进而将等效法利用到测量电源的电动势与内阻的系统误差的分析中，可以轻松得到正确的误差分析结论。
关键词：等效法；半偏法；系统误差；电动势；内阻
等效法在高中物理应用非常多，比如等效重力加速度在计算单摆的周期、计算复合场中的最高点的速度等问题中的应用，可以将比较繁琐的计算问题瞬间变成可以口算的题目。电学实验的系统误差分析一直是高考的热门考点，但是也是中学生最为害怕的一个点，因为一般要通过比较复杂的计算比较才得出系统误差结果。本文主要探讨半偏法测电表内阻及测量电源的电动势与内阻两个实验的系统分析。
1 半偏法测电表内阻实验的系统误差分析
日前笔者在一个QQ物理讨论群中与同行的朋友探讨一道有关半偏法误差的问题，群主的方法非常好，但是计算量大了些；所以笔者想能不能找到其他更好的解答方法，可以较快地解出结果。因为在现行的理综考试中即使会列式但是不会解或者没有时间解，对解填空题来说没有太大的意义。理综考试中时间分配很重要，大部分的同学不可能花大量的时间去解一道填空题，而要拿高分的尖子生更不敢轻易花这么多时间计算，万一后面题目更需要时间，那整个得分效率就太低了。
（1）在QQ群中讨论的题目
例1：某实验小组利用如图1所示电路测量一微安表（量程500μA，内阻RA约300Ω）的内阻。提供的器材有，定值电阻R0 （阻值为120Ω）、滑动变阻器R1（最大阻值为10Ω）、电源E（电动势2V，内阻很小），电阻箱R2 （最大阻值为999.9Ω）、开关和导线若干。
（i）完成下列填空：
①将滑动变阻器R1的滑片P移到最 （选填“左”或“右”）端，调节电阻箱R2的阻值为0；闭合开关S，移动滑片P，使微安表满偏。
应该说群主老师给出的解答非常准确，且求方程的解也是很厉害，但是笔者觉得计算量实在太大了，在考场上的考生临时计算是不切实际的，对于平时的讲解也是没有太大意义，老师们不适合花很长时间进行解方程计算给学生看，但是也不能说同学们回去自己算算看。所以，笔者试着给出下面的解法。
（3）利用等效法分析
由①②易解得：r1= RA +r等，则RA=r1-r等；而②③易解得：2r2=RA+r等，则RA=2r2-r等；所以常规计算法得到结论是一样的，但是计算量少很多。
实际电路（二端含电源的电路网络）中只要内部中电学元件是线性的，可以把两个端点开路时的路端电压看成这两端的等效电动势U等，而把内部除源后电阻视为等效内阻r等。这就是等效电压源原理，也称为戴维南定理[ 1 ]。如果利用这个原理，则上面讨论的半偏法问题，等效电路作如图5依次变换，下半部分等效成一个电源，其等效内阻 r等=。这个计算主要难点是理解什么是除源后等效电阻，其实就是这两端的外电路去掉后，再去掉原来电路的电动势而只保留电源内阻（而本题内阻视为零）的两端等效电阻。本题等效内阻的电路如图，只要能理解去源后留内阻后很快可得内阻的表达式与群主老师计算的结果是一样的。
（4） 深入思考得到的结果
这个实验的测量值与实际值的差值是一个并联的等效内阻，由于并联阻值一般较小，所以这种半偏法适合用于测量电表内阻较大的（比如电压表的内阻），且有以下几个结论：
①测量值比实际值大，差值就是并联电阻。
②滑动变阻器选择阻值较小的误差会更小，因为并联后阻值较小，差值就更小。
③电源的电动势要选择较大的，这样为使得电表满偏时并联部分的阻值更小些，误差小些。
2 测量电源的电动势与内阻实验的系统误差分析
高中物理的另外一个重要电学实验“测量电源的电动势与内阻”，系统误差的分析也有许多方法：图象法、计算法、等效法等。各种方法计算的繁简程度不一样，对于普遍认为比较好的图象法笔者也曾在教学中多届使用，但是最后总发现没有几个同学能够熟练地使用，而在考试中往往比背住答案的同学的准确率还要低，因为往往在图象法的外推时出错。下面我们来对比一下分别用计算法与等效法推导这个实验的系统误差的解答过程以及结论。
（1）先试试常规的计算法得出答案
例2：如图6所示是伏安法测电源电动势和内电阻的一種接法，假设只分析测量中的系统误差，试分析这种测法中电动势和内电阻的测量值与真实值的关系[ 2 ]。
解：用E测、r测表示测量值，E、r表示真实值，要测出电池的电动势和内电阻，至少要有两次测量数据。用I1、U1、I2、U2分别表示两次测量中电流表和电压表的读数，则电源电动势和内电阻的测量值由下式求出：
（2）使用等效法分析这种测量方法的系统误差
而其中另外一种电流表位置不一样的伏安法测量电源电动势与内阻的实验，如图11所示，也可以将电流表和电源那部分等效成一个新的等效电源，由于此部分开路后电压为U等=E，内阻去源后为两个电阻串联r等=RA+r，因此E测= U等=E=E真，r测=r等=RA+r >r真，这个方法与结论同样可以用到图12利用电阻箱与电流表测电动势与内阻的实验中。
显然，通过使用不同方法分析上面两个实验的系统误差的比较，我们发现结论是相同，但是不同的方法所需要的计算完全不同，有的非常繁琐，需要的计算量让人望而生畏，有的却非常简洁，可以口算或心算秒算出来。其实，解题方法的简洁与否，在很大程度上反映了答题者对物理原理认识的深刻程度。认识越深刻，选择的方法也必然越佳，解答也就自然越为简洁。对于半偏法测电表内阻及测量电源电动势与内阻的这两个电学实验的系统误差，如果能深刻认识等效电压源原理，那么基本不用繁琐计算便可以轻松得到误差分析的结论。
参考文献：
[1]梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版社，1980.
[2]范小辉.高中物理奥赛讲座二年级[M].西安：陕西师范大学出版社，2003.
摘 要：用等效法分析半偏法的系统误差，进而将等效法利用到测量电源的电动势与内阻的系统误差的分析中，可以轻松得到正确的误差分析结论。
关键词：等效法；半偏法；系统误差；电动势；内阻
等效法在高中物理应用非常多，比如等效重力加速度在计算单摆的周期、计算复合场中的最高点的速度等问题中的应用，可以将比较繁琐的计算问题瞬间变成可以口算的题目。电学实验的系统误差分析一直是高考的热门考点，但是也是中学生最为害怕的一个点，因为一般要通过比较复杂的计算比较才得出系统误差结果。本文主要探讨半偏法测电表内阻及测量电源的电动势与内阻两个实验的系统分析。
1 半偏法测电表内阻实验的系统误差分析
日前笔者在一个QQ物理讨论群中与同行的朋友探讨一道有关半偏法误差的问题，群主的方法非常好，但是计算量大了些；所以笔者想能不能找到其他更好的解答方法，可以较快地解出结果。因为在现行的理综考试中即使会列式但是不会解或者没有时间解，对解填空题来说没有太大的意义。理综考试中时间分配很重要，大部分的同学不可能花大量的时间去解一道填空题，而要拿高分的尖子生更不敢轻易花这么多时间计算，万一后面题目更需要时间，那整个得分效率就太低了。
（1）在QQ群中讨论的题目
例1：某实验小组利用如图1所示电路测量一微安表（量程500μA，内阻RA约300Ω）的内阻。提供的器材有，定值电阻R0 （阻值为120Ω）、滑动变阻器R1（最大阻值为10Ω）、电源E（电动势2V，内阻很小），电阻箱R2 （最大阻值为999.9Ω）、开关和导线若干。
（i）完成下列填空：
①将滑动变阻器R1的滑片P移到最 （选填“左”或“右”）端，调节电阻箱R2的阻值为0；闭合开关S，移动滑片P，使微安表满偏。
应该说群主老师给出的解答非常准确，且求方程的解也是很厉害，但是笔者觉得计算量实在太大了，在考场上的考生临时计算是不切实际的，对于平时的讲解也是没有太大意义，老师们不适合花很长时间进行解方程计算给学生看，但是也不能说同学们回去自己算算看。所以，笔者试着给出下面的解法。
（3）利用等效法分析
由①②易解得：r1= RA +r等，则RA=r1-r等；而②③易解得：2r2=RA+r等，则RA=2r2-r等；所以常规计算法得到结论是一样的，但是计算量少很多。
实际电路（二端含电源的电路网络）中只要内部中电学元件是线性的，可以把两个端点开路时的路端电压看成这两端的等效电动势U等，而把内部除源后电阻视为等效内阻r等。这就是等效电压源原理，也称为戴维南定理[ 1 ]。如果利用这个原理，则上面讨论的半偏法问题，等效电路作如图5依次变换，下半部分等效成一个电源，其等效内阻 r等=。这个计算主要难点是理解什么是除源后等效电阻，其实就是这两端的外电路去掉后，再去掉原来电路的电动势而只保留电源内阻（而本题内阻视为零）的两端等效电阻。本题等效内阻的电路如图，只要能理解去源后留内阻后很快可得内阻的表达式与群主老师计算的结果是一样的。
（4） 深入思考得到的结果
这个实验的测量值与实际值的差值是一个并联的等效内阻，由于并联阻值一般较小，所以这种半偏法适合用于测量电表内阻较大的（比如电压表的内阻），且有以下几个结论：
①测量值比实际值大，差值就是并联电阻。
②滑动变阻器选择阻值较小的误差会更小，因为并联后阻值较小，差值就更小。
③电源的电动势要选择较大的，这样为使得电表满偏时并联部分的阻值更小些，误差小些。
2 测量电源的电动势与内阻实验的系统误差分析
高中物理的另外一个重要电学实验“测量电源的电动势与内阻”，系统误差的分析也有许多方法：图象法、计算法、等效法等。各种方法计算的繁简程度不一样，对于普遍认为比较好的图象法笔者也曾在教学中多届使用，但是最后总发现没有几个同学能够熟练地使用，而在考试中往往比背住答案的同学的准确率还要低，因为往往在图象法的外推时出错。下面我们来对比一下分别用计算法与等效法推导这个实验的系统误差的解答过程以及结论。
（1）先试试常规的计算法得出答案
例2：如图6所示是伏安法测电源电动势和内电阻的一種接法，假设只分析测量中的系统误差，试分析这种测法中电动势和内电阻的测量值与真实值的关系[ 2 ]。
解：用E测、r测表示测量值，E、r表示真实值，要测出电池的电动势和内电阻，至少要有两次测量数据。用I1、U1、I2、U2分别表示两次测量中电流表和电压表的读数，则电源电动势和内电阻的测量值由下式求出：
（2）使用等效法分析这种测量方法的系统误差
而其中另外一种电流表位置不一样的伏安法测量电源电动势与内阻的实验，如图11所示，也可以将电流表和电源那部分等效成一个新的等效电源，由于此部分开路后电压为U等=E，内阻去源后为两个电阻串联r等=RA+r，因此E测= U等=E=E真，r测=r等=RA+r >r真，这个方法与结论同样可以用到图12利用电阻箱与电流表测电动势与内阻的实验中。
显然，通过使用不同方法分析上面两个实验的系统误差的比较，我们发现结论是相同，但是不同的方法所需要的计算完全不同，有的非常繁琐，需要的计算量让人望而生畏，有的却非常简洁，可以口算或心算秒算出来。其实，解题方法的简洁与否，在很大程度上反映了答题者对物理原理认识的深刻程度。认识越深刻，选择的方法也必然越佳，解答也就自然越为简洁。对于半偏法测电表内阻及测量电源电动势与内阻的这两个电学实验的系统误差，如果能深刻认识等效电压源原理，那么基本不用繁琐计算便可以轻松得到误差分析的结论。
参考文献：
[1]梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版社，1980.
[2]范小辉.高中物理奥赛讲座二年级[M].西安：陕西师范大学出版社，2003.
