基于体验培养初中生数学抽象能力的研究

    邓厚来

    [摘 ?要] 初中学生在数学学习的过程中，总表现出抽象能力不足以支撑数学知识学习的一面，原因之一就是经验的缺乏. 在数学课堂上引入体验的环节，可以弥补生活经验缺乏的不足，从而使得学生的数学抽象有本可依，因而“体验”客观上也就可以为数学概念、规律的学习提供基础. 体验是学生在数学学习中经历的动手过程，在教师的问题驱动之下，体验往往有着更为明确的数学知识建构的目标指向. 将体验与数学抽象能力培养结合起来，可以对当前初中数学教学方式形成有益的补充.

    [关键词] 初中数学;体验;数学抽象;能力培养

    数学抽象是数学学科核心素养的重要组成部分，同时也可以认为是数学学习能力的重要组成部分. 多年的教学经验表明，初中学生在数学学习的过程中，总表现出抽象能力不足以支撑数学知识学习的一面，原因之一就是初中学生更习惯形象思维，大脑习惯于加工形象的表象，而抽象思维能力较为薄弱（当然也正处于从形象思维转向抽象思维的重要阶段）. 因此，在初中阶段进行数学抽象能力的培养，既符合初中学生的认知发展特点，同时也是数学知识学习的需要.

    对于数学抽象能力的培养，早有同行进行过研究，提出的培养策略也呈现出丰富多彩的情形. 通过不完全归纳发现，在这些措施中，更多的是从教师教学的角度进行的努力，而面向学生学习过程本身的努力则相对较少. 显然，这是以生为本理念的缺席，同时也意味着面向学生进行数学抽象能力的培养，有着迫切的研究需要. 基于这样的认识，笔者以学生在数学学习中的体验为切入口，并以此培养学生的数学抽象能力，研究结果表明，这样的思路是正确的，研究的过程与结果是具有一定的参考意义的. 现对研究过程进行一个总结，以期对同行有抛砖引玉的作用.

    数学抽象能力与体验之间的关系

    数学抽象能力的形成与学生的数学学习体验之间的关系是密切的，这可以从两者的基本内涵角度来建立认识. 所谓数学抽象，通常是指抽取出同类数学对象共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程. 数学抽象是数学的第一个基本特征（史宁中语），体现着数学的一般性. 笔者注意到，在数学学科核心素养中，数学抽象是六个要素之一，而且是首要因素，而数学抽象在数学知识建构过程中的作用则可以理解为：数学抽象既是学生建构数学概念的基础，同时也是数学学习品质的重要组成部分.

    而所谓的体验，通常指通过亲身实践获得经验的过程. 国家督学、原江苏省教科所所长成尚荣用一句简练的话概括体验，即体验就是“以身体之，以心悟之”. 一般认为，体验可以丰富学生的经验，而根据建构主义学习理论，学生的经验是建构知识的三大基础之一（另两个基础是学习共同体和学习情境）. 所以体验之于初中学生的数学学习，肯定是有引入价值的. 上面提到，初中学生的数学抽象能力是比较弱的，其中的一个原因，就是学生大脑中能够支撑数学学习的素材不够丰富. 因为素材缺乏，所以支撑数学概念形成的经验就不足，同样也就使得数学抽象如同无源之水一般. 而学生经验的缺乏，与当前初中学生的生活方式有关，由于学习压力大，又由于信息技术的发展，学生直接接触的自然世界较少，接触的虚拟世界较多，这造成了学生的生活体验缺失.

    因此在数学课堂上引入体验的环节，可以弥补学生生活经验缺乏的不足，从而使得学生的数学抽象有本可依，因而体验客观上也就可以为数学概念、规律的学习提供基础.

    基于体验培养学生数学抽象能力

    既然已经认识到数学抽象是第一核心素养，且数学本质上研究的就是抽象问题，数学发展的基本思想也是抽象的，那就应当认识到培养数学抽象能力的重要性. 考虑到初中阶段学生的思维特点是形象思维与抽象思维并重，且学生的思维方式正由形象思维向抽象思维转化，所以在教学过程中会伴随着抽象概念的学习. 通过抽象的方式得出概念，前提依然是学生大脑中要有可以抽象的对象，因此在实际教学中对初中生数学抽象能力的培养，可以提出的教学建议是：创设氛围，引导学生体会“具体”与“抽象”的辩证关系;搭建平台，助力学生数学抽象能力的形成. 下面通过一则案例来说明.

    在“直线和圆的位置关系”的教学中，笔者注意到有教材是这样引入的：日出的时候，将太阳看作一个圆，将地平线看作一条直线，那在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？利用日出这个素材，来创设直线和圆的位置关系的学习情境，可以说是别出心裁. 但是笔者在实际教学中发现，相当一部分学生实际上没有这样的生活经验，而如果靠想象又不足以将地平线抽象成直线，而这正是情境能够发挥作用的关键地方. 于是笔者在教学中进行了一些改进，实际上也就是为学生创设了一个体验的过程，这个过程包括以下几个环节：

    一是选材环节. 在上这节课之前，让学生准备一个“圆”的物体和一个“直”的物体，具体不限. 实践表明，学生准备的圆的物体包括小到硬币、大到一些金属环等，甚至有一个学生带来了一个自行车轮圈;而准备的直的东西则相对统一得多，多是一根木棒或者是竹棒、金属棒等.

    二是体验环节. 这个环节的主要任务，是让学生将准备好的“圆”与“直”进行摆放，考虑到空间关系，在摆放的时候可以强调一点，那就是要让圆的东西和直的东西在同一个平面内——比如说都放在桌面上. 由于过程开放，因此学生放置的情况也是五花八门：有的学生将棒搁在圆上，有的学生将棒放在圆的很远处;当然也有学生将棒与圆的关系变成了垂直关系，教师要提醒此时两者不在同一个平面之内……总之在这样的过程中，直线和圆的相离、相切、相交的情形都会出现.

    三是抽象环节. 教师可以通过拍摄照片的方式，将学生所摆放的情形用照片借助投影仪呈现，然后让学生去分类. 学生分类的时候，实际上就是数学抽象开始的时候，因为分类必定要选择分类标准，而分类标准的选择则意味着学生要在大脑中加工那些圆形物体与直的物体的关系，这样他们自然就会对不同的圆的物体和直的物体进行抽象，而抽象所得到的就是数学意义上的圆和直线. 这个时候，数学抽象还会发挥一个作用，那就是学生体验中出现的直的物体搁在圆的物体之上所出现的“高低”关系，在抽象之后就变成了平面上的两个图形，就没有这种立体关系了. 有学生在下面窃窃私语：还是简洁的圆和直线更容易认识它们之间的关系. 在学生有了这个认识之后，再建立直线和圆的位置关系就变得方便多了.

    在上面的三个环节中，体验的过程是丰富的，数学抽象的过程是有效的，更关键的是，学生是在自发的需要驱动之下进行的数学抽象，这就使得他们能够更为高效地形成数学抽象的能力. 实际上正是在这三个环节的基础上，学生理解同一平面内直线和圆的位置关系时，几乎没有让笔者进行太多的讲授，他们就顺利建立起了相关的认识.

    重视体验与数学抽象的学生指向

    体验是学生在数学学习中经历的动手过程，在动手的过程中又有充分的思维，尤其是在教师的问题驱动之下，这样的体验往往有着更为明确的数学知识建构的目标指向. 从实际体验的物体，到数学意义上的数或形，这是一个数学抽象的过程，且这两者能够自然地衔接起来. 因此可以认为将体验与数学抽象能力培养结合起来，可以对当前初中数学教学方式形成有益的补充.

    将这样的教学思路与传统的教学思路进行对比，可以发现传统的初中数学教学过于重视知识的学习，学生的思维主要集中在数学概念及其之间的逻辑关系上，这固然体现了数学学科的基本特征，但同时也加大了数学学习的难度. 对于初中学生而言，难度过大的危害是明显的，而通过体验，可以降低数学学习的难度，可以增强学生数学学习的兴趣，从而弥补讲授式教学方式的不足，同时也能够为数学抽象提供丰富的素材.

    再从数学学习能力培养的角度来看，需要认识到数学是研究数与形的学科，学生数学抽象能力的培养，应当成为学生数学学习能力培养的基础. 因此基于体验去培养学生的数学抽象能力，无论是从理论的角度来看，还是从实践的角度来看，都有显著的价值. 当然，这一切都是建立在学生指向的认识基础之上的. 所谓学生指向，实际上就是体验过程的设计和数学抽象能力的培养，都要建立在自己所教學生的基础之上，只有弄清了自己所教学生在数学学习中表现出来的特点，尤其是在哪些方面存在经验的缺失，才能设计出有针对性的体验过程，也才能让学生经历一个数学抽象过程，从而培养其数学抽象的能力，并为核心素养的落地奠定坚实的基础.