二次函数的图像及性质在初中教学中的几点思考

    陈悦

    

    

    [摘? 要] 文章结合2019年福建中考数学的第10题、第25题进行分析,分享在初中数学中教学二次函数的图像及性质的几点经验:培养学生动手作图能力;密切联系其他数学知识;注重渗透数学思想;合理利用信息技术.

    [关键词] 二次函数的图像及性质;初中教学;数学思想

    问题背景

    从2017年福建省开始全省统一中考命题以后,二次函数的图像及性质就是考查的热点内容之一,而且往往会与其他数学知识点结合起来,考查学生解决数学问题的综合能力,对学生数学核心素养的要求比较高. 《义务教育数学课程标准(2011年版)》中提到,会用描点法画出二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质. 初中阶段学生所习得的二次函数的概念,将为高中阶段进一步学习函数做铺垫. 《普通高中数学课程标准(2017年版)》中提到,用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法. 借助二次函数的图像,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二次函数的图像及性质的学习,如果能够让学生感悟到这些知识与技能背后更为本质的东西,将对学生掌握数形结合思想、分类思想、转化思想产生积极的意义.

    案例分析

    例题1? (2019福建中考第10题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A(m,n),B(0,y■),C(3-m,n),D(■,y■),E(2,y■)五点,则y■,y■,y■的大小关系是(? ? ??摇)

    A. y■

    C. y■

    评析? 本题主要考查了二次函数的图像及性质、二次函数的对称轴以及轴对称的性质. 因为二次函数的关系式中a是大于0的,所以函数的开口方向向上. 但仅凭借这个条件还不能大致确定出函数的图像,所以我们需要从题目给的五个坐标入手. 本题要比较的是点B,D,E的纵坐标,这三个点的横坐标是已知的. 其中,A,C两点的横、纵坐标都是用字母表示. 仔细观察,发现A,C两点的纵坐标是相同的,都等于n. 所以我们可以得出一个重要的结论,即这两个点在二次函数的图像中是关于对称轴成轴对称的. 根据轴对称的性质,这两个点的横坐标到对称轴的距离相等,即可得到:x=■=■,从而得出二次函数的对称轴x=■,此时就可以画出二次函数的大致图像了. 利用几何画板去模拟出这个函数的图像,如图1所示. 把B,D,E三点的横坐标输入,就可以把这三个点直接在函数图像中表示出来了. 通过观察图像,可以很容易发现B点的纵坐标大于E点的纵坐标大于D点的纵坐标,即可得出:y2

    观察这个题目,我们可以发现其中所渗透的数学思想是很丰富的. 处理这个题目的关键是确定出二次函数的对称轴,并借助二次函数的图像来比较B,D,E三点的纵坐标,是把代数问题转化为几何问题来进行解决,体现了数形结合的数学思想和转化的数学思想. 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),可以借助二次项系数的正负判断二次函数图像的开口方向,当a>0?圳开口向上;当a<0?圳开口向下. 因为a>0,所以开口向上,体现了分类的数学思想. 数学思想是数学教学的核心和精髓,教师在教学中应该尽力反映和体现数学思想,让学生了解和体会数学思想,提高学生的数学素养.

    例题2? (2019福建中考第25题)已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.

    (1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a,c满足的关系式;

    (2)设A为抛物线上的一定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,垂足为点D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC为等腰直角三角形.

    ①求点A的坐标和抛物线的解析式;

    ②证明:对于每个给定的实数k,都有A,D,C三点共线.

    评析? 本题是一道代数与几何综合的问题,主要考查了二次函数、一次函数的图像及性质,二次函数的顶点式,轴对称的性质,等腰直角三角形的性质等基础知识,综合考查学生对初中阶段函数方面的基础知识的掌握水平. 要求学生对二次函数、一次函数的图像有比较深刻的领悟,要能够把相关的代数问题转化成数学符号,并利用函数的图像对其中所包含的图形元素进行分析.

    

    本题的第(1)问,已知抛物线与x轴的公共点只有一个,交点坐标(2,0),可以推出二次函数的顶点坐标为(2,0). 可以代入二次函数的顶点式,得到y=a(x-2)2=ax2-4ax+4a,所以c=4a.

    本题第(2)问的①小问要求点A的坐标和抛物线的解析式. 已知直线l的解析式y=kx+1-k可以变形为y=k(x-1)+1,会过定点(1,1). 当k=0时,直线l变为y=1,平行于x轴,与y轴的交点为(0,1). 因为(0,1)也是抛物线上的一点,所以c=1. 又因为△ABC为等腰直角三角形,且A,B,C三点都在抛物线上,由于二次函数的图像具有对称性,所以点A为抛物线的顶点. 因为c=1,所以顶点坐标为A(1,0). 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2,把(0,1)代入解析式可得a=1,抛物线的解析式:y=x2-2x+1.

    本题第(2)问的②小问要求证明A,D,C三点共线,这个问题主要考查了一次函数、二次函数的图像及性质. 这个题目的难度较大,首先本题没有配图,需要学生自己动手作出函数的图像;其次对学生的数学阅读能力要求比较高,要能够把相关的数學元素经过理解、表征之后呈现出来;最后,要能够借助函数的图像,把几何问题转化为相关的代数问题进行解决. 因为直线l与抛物线相交于B,C两点,可以联立方程组,解得点B横坐标:x■=■(2+k-■),点C的横坐标:x■=■(2+k+■). 因为点C在一次函数的图像上,代入后可以得到点C的坐标为1+■,1+■,画出函数的大致图像之后,如图2所示,可以观察得到,直线BD垂直于直线y=-1,点B和D的横坐标相同,点D的纵坐标为-1,所以D1+■,-1. 已求得A(1,0),可以得到k■=■=■,同理可得k■=■,所以k■=k■,点A,C,D三点共线.

    在初中教学的具体实践

    1. 在二次函数的图像及性质的教学中培养学生的动手作图能力

    在二次函数的图像及性质的教学中,教师应该充分给学生动手作图的时间,让学生掌握描点法的基本步骤. 教师应通过创设具有实际背景的问题,让学生在理解两个变量的基础之上,通过列表、计算、描点等过程,画出二次函数的大致图像. 动手作图是一种数学实践活动,也是学生自主学习的重要方法. 学生在参与数学活动的过程中,不仅仅能够促进其对二次函数的掌握,还可以帮助学生获得数学的基本活动经验.

    2. 在二次函数的图像及性质的教学中密切联系其他数学知识

    在初中阶段,对二次函数的图像及性质的学习是基于笛卡儿坐标系进行的,其实质就是把一些几何问题转化为代数问题. 在问题转化的过程中,往往需要借助到其他的数学知识,同时它并不是单一的数学方法的应用,可能涉及多种数学方法,因此对学生数学素养的要求比较高. 另一方面,在二次函数的图像及性质的学习中就需要用到其他的数学知识. 例如,在研究二次函数轴对称性的时候,就需要用到轴对称的性质.

    3. 在二次函数的图像及性质教学中应注重渗透数学思想

    数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和文化在更高層次上的抽象与概括. 在二次函数的图像及性质教学中,我们也可以充分挖掘其中所蕴含的数学思想,让学生在教学实践活动中,通过独立思考,动手操作,合作交流,进一步感悟数学思想. 特别是二次函数的图像及性质所蕴含的函数思想,可以说是为高中阶段学习函数做了很重要的铺垫. 依据解析式可以描绘出图像,从图像特征又可以读出函数的形态结构. 解决问题时,更重要的是利用函数的形态结构,量化地处理问题. 因此,函数形态结构的架构在初中阶段可以慢慢渗透,为高中的学习打下基础.

    4. 在二次函数的图像及性质教学中合理运用信息技术

    在二次函数的图像及性质教学中,合理地利用信息技术进行辅助教学,可以帮助学生直观地获取数学知识,也有助于提高学生的课堂效率. 比如,在研究二次函数的增减性时,可以结合几何画板动态模拟两个变量之间的变化情况,这样将帮助学生更加直观地感受二次函数的增减性. 又比如,在探究二次项系数a与二次函数图像的开口大小时,如果能够结合几何画板,学生就能更有效地、更快速地去理解它们之间的关系,这也有助于提高课堂效率.

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