从一道高考题谈“单峰”、 “单谷”函数问题

卢阳 李勇



在所考虑的区间中只有一个严格局部极大(小)值的函数称为单峰(谷)函数[1],如二次函数,双勾函数等,这些函数常见于零点存在性和函数不等式问题中,采用常规思路解决问题往往难度较大,如若分离出单峰(谷)函数,其次再对分离后的函数进行比较,则会简化解题过程.
1 引例呈现
2017年高考理科数学新课标Ⅲ卷第11题(见例1)是一道将单峰和单谷函数融合在一起的难题,该题成为了当年学生的“老大难”.2018年,这类题型在高考中再次出现,我们有必要对其进行研究.
点评该题是以二次函数和双勾函数为背景出题的零点问题,构造了两个单峰(谷)函数,运用分离函数法,拆出两个函数,画出图象可得出答案.
2 单峰(谷)函数梳理
上例由于两个单峰(谷)函数很常见,所以我们可以很快分离出来,那么高中阶段还有哪些函数是单峰(谷)函数呢?请看图2:
笔者将图2中的图象归为两类,一类是具有最低谷的单谷函数,见图①②③④;一类是具有最高峰的单峰函数,见图⑤⑥,[2]
通过对近年来的考题进行研究,发现以③⑤、②⑥为背景的题目较多.
点评该方法是以上述图②⑥为背景想到的,参考答案从代数式的运算出发,变形难度较大.
小结图2中的6图在高考题中多次出现,证明这类不等式需要构造出一个“单峰函数”与一个“单谷函数”,然后证明f(x)min≥g(x)max即可,他山之石,可以攻玉,我们自己也可以编出如此题目,下面是两道笔者自编的小题,
点评此题参考答案给出的做法是运用二次求导,将不等式看成一个函数去解决,笔者的做法将不等式变成一个单峰、一个单谷函数进行“单挑”比较大小,思路不同,同样精彩.
最后得出g(x)min≥h(x)max,且不在同一点取最值,此题得证.
点评一个复杂的不等式,从中分离出两个单峰(谷)函数,变形解题,如探囊取物,手到擒来,再次说明分离出单峰(谷)函数进行比较在这类问题中的妙用.
例6 (2016年高考全国卷I.理21(I))已知函数f (x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点,求a的取值范围.
分析本题参考答案给出的解法较为复杂,且技巧性较强,学生在解题时会产生畏难情绪,而分离函数后,变成学生容易画出的两个图象,从另一角度看待此题,有着意想不到的效果.
解析此题按照直接求导的方法需要分类讨论,且计算烦琐,若观察到(x- 2)ex与a(x-1)2(a≠o)时都是单峰函数且极值點都在x=l处取到,那么便可找到捷径,f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点g(x)=(x- 2)ex与h(x)= -a(x-l)2有两个交点,求导易得g(x)在(-∞,1)上单调递减且恒小于0,在(1,+∞)上单调递增,又因为h(x)的顶点为(1,0)点,所以h(x)=-a(x-l)2只需开口向下,即a>0时满足条件,(a=0时,两函数只有一个交点,不符题意).对比参考答案,这种解法大大简化此题,关键在于了解(x-2)ex为单峰函数.
小结从上述三例可以看出,复杂的函数如若拆成两个简单的单峰(谷)函数,从另一角度解决问题,更易于让学生接受,体现了数学思维的灵活性与数学解题中蕴含的魅力.
下面是一道新高考题,本题参考答案的解法相对复杂,用本文所说的方法可以很快解决(提示:≥为单峰函数).
练习 (2018年高考全国卷Ⅱ.理21)已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:当x>0时,f(x)≥1.
(2)若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,求a.
4 总结
对于单峰(谷)函数问题,尤其是同时含有ex和Inx的式子,直接求导一般不能或很难解决问题,此时,需要对原式进行合理“拆迁”,分离出两个函数,再对变形后的两个函数进行比较,[3]解决此类问题最大的难点在于如何“慧眼识珠”,找到隐藏其中的单峰(谷)函数,平时应注意对上述6幅图及其推广后的情况进行积累,解题时,我们需要具备函数与方程思想,并运用数形结合、分离函数等基本方法进行合理变形,大胆求证.
参考文献
[1]甘志国,田玉杰.V型函数在闭区间上的最大值只可能在端点取到[J].中学数学杂志,2017 (09): 30-33
[2]郭朋贵.例析分离函数法[J].中学数学教学参考,2017 (12): 39-40
[3]王卫勤.不拘一格,化整为零——从分离变量到分离函数[J].新高考(高三数学),2014 (10): 39-40
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