开放性探究 动态式引导

章金玲



1 引言
2018年福建省质检理科试题第16题系动态三角形的最值问题,实测结果表明,学生的得分很不理想,考后笔者让学生再次思考,发现很多学生还是无从下手,三角形的“多个”、“动态”、“最值”集中在一题中,确实让学生望而生畏,在高三的二轮复习中,学生似乎都会了,又似乎都忘了,试卷讲评的满堂灌,教师的一言堂模式,似乎收效甚微,日本教育学者佐藤学说过,教育往往要在缓慢的过程中才能沉淀下来,于是,笔者在讲评课前,先给出3个问题进行探究,将“封闭题”改成“开放题”,让学生在发散性思维中感受三角形中边与角的关系,动与静的关系.
2 教学实录
环节1课前探究
探究1 已知AABC,A=60°,增加两个条件,能否确定三角形?若能确定,说出思路,
探究2 已知△ABC,A=60°,增加一个条件,能否确定三角形?若不能,研究有关最值或取值范围问题,
探究3 已知△ABC增加两个条件,能否确定三角形?若不能,研究有关最值或取值范围问题.(注:以上3个探究,各编一题,并附上完整解答)
设计意图 探究问题能否有效开展,一个很重要的原因是选取入口宽、操作性强的探究问题,将形式设置成开放性,这样学生的想法就多了,学习更为主动更有激情,不会束缚在同一题中,并且设计自编题环节,让学生当一回“老师”,学生的主动性增强,思考也更加深入和严密.
环节2 收集素材
学生的想法海阔天空,编拟的试题各式各样,感叹学生的活跃思维和巨大潜能,然而一堂课不能漫无目的,须有明确的引导方向和达到解决问题的目的,故在上课前对题目整理归类.
引导2:问题1中的④⑤,无法利用均值定理求解,考虑到均值定理的局限性,利用正弦定理将边化为角,通过三角函数求值域的方法来解决,但三角恒等变换具有一定的技巧性和繁琐性,请比较两种方法在求最值问题方面的利弊,
引导3:固定边a,点A在△ABC外接圆的圆弧上运动,以运动观点来解决AABC周长的取值范围、AABC面积的最大值和第⑥问,课堂上,笔者通过几何画板演示,让学生体验三角形动态变化过程,挖掘三角形的“变”与“不变”,问题1中的⑥,是将⑤改成选择题,只要拖动点A使AB过圆心,此时角C为直角,b2 +c2=5应舍去,轻松得到答案为A.
引导4:启发学生用运动观点来研究问题2至4,关注动点的轨迹,关注不变量,
问题2:已知AABC,BC=2,AB= √2Ac,求AABC面积的最大值,
问题3:已知△ABD,C在AD上,AD= 3AC,且BC⊥BD,求角A的最大值,
问题4:已知△ABC,b+c=4,a=2,求AABC面积的最大值,
生1:问题2中边BC为定值,△ABC面积的最大值取决于点A到直线BC的距离,将点B,C固定,则点A的轨迹为阿波罗尼斯圆,由此就可以求出高的最大值,进而得到面积的最大值,
生2:问题3中将边AD固定,点C就固定了,而点B在以(D为直径的圆0上运动,当AB与圆0相切时,角A达到最大,
生3:问题4与问题2相同,AABC面积的最大值取决于点A到直线BC的距离,将边BC固定,则点A的轨迹为椭圆,当点A运动到短轴端点时,面积达到最大值,
师:3位同学都回答得很好,用动态的观点去看待不确定三角形,挖掘三角形中的动与不动,避免了繁琐的代数运算,
教师用几何画板演示,让学生直观地感受三角形的动态变化,并且提出用动态的观点试着解决省质检的三角问题,于是,题目的三角形已由一个过渡到多个,动态点已由1个过渡到2个,这样,如何建立2个动点的关系是解题的突破口,这时再引导学生进行思考,来实现.
生5:作CE垂直于x轴,垂足为点E;作DF垂直于x轴,垂足为点F,则RtABEC∽RtADFB,相似比为1:2,进而得到坐标关系,
生6:从点的运动变换入手,将BC逆时针旋转90°再拉伸为原来2倍得到点D.以点B为坐标原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,设点C(r cosa,r sina),则D(2r cos(a +90°),2r sin(a+ 90°)),点C在圆上运动,c(-l+√5 cosθ√5sinθ),则D(-2√5sinθ-2+2√5cosθ),
师:3位同学回答得都很好,分别从向量、平面几何、图像变换来诠释点C和点D之间的联系,寻找到解题的突破口,接下来,请同学们试着用动态的观点解决两道高考题.
环节5 高考链接
启发学生用有限来解决无限的问题,抓住临界状态来研究问题,
师:你们回答的太棒了.这两道题从题型看是填空题和选择题,应尽量小解巧解,两位同学从动态的观点分析,并用有限与无限的思想,抓住临界状态来研究问题,真的很棒.
教师还可用几何画板进行动态演示(如下图).
环节6 归纳方法
提问:本节课,你有什么收获?
生:我对动态三角形有关最值问题的解决方法有了新认识:①利用基本不等式;②利用三角函数;③引进变量,构造函数;④解析法,坐标化;⑤做辅助线,利用几何性质;⑥运动观点,关注动点的轨迹,关注不变量;⑦极限思想,关注临界狀态.
师:回答得很好,方法多固然是好,但要引发我们深度思考:方法多样,如何精准选择切入点,不仅要与题目的条件和问题有关,而且也要与题目的类型有关,选择题、填空题、解答题的处理方式也应有所不同.
环节7 课后反思
如何选择恰当的方法来研究动态三角形的最值问题?如何合理地选择参数或变量,建立方程组或构造函数?如何联系三角形中的边与角的关系?如何建立多个三角形之间的联系?如何合理地建立坐标系?如何构造辅助线,利用平几知识解决三角形问题?
设计意图:笔者用6个“如何”引发学生在课外不断延展对动态三角形最值问题的处理与反思.学生思维的发展过程,不能仅仅局限于课堂,应延展到课后,通过作业与反思巩固提升.
3 教学反思
本节课以学生为主体,采用引导式教学和几何画板辅助教学,教师适当穿针引线,提高学生的参与度、思维度,激发学生的创造性.本节课标题中的“动态”,既形容三角形是在运动变化,又体现用运动观点处理三角形,更体现学生思维的动态发展,即从课前的发散思维到课上的理性思维,再到课后的深层思维.
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