算法思想在数学基础课程教学中的应用研究
赵慧
摘要：依据《普通高中数学课程标准》对算法提出的基本要求，分析算法思想在财经类院校数学基础课程教学中应用的可行性。以《经济管理类本科数学基础课程教学基本要求》为指导，结合财经类院校数学基础课程的教学现状，设计《线性代数》课程中算法思想的应用案例。
关键词：算法思想；财经类院校；数学基础课程
在我国教育部颁布的《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）[1]的指导下，高中数学课程从模式到内容有了重大改变。首先，数学课程的设置转变为“必修+选修”模式。其次，课程内容增加了数据处理、矩阵变换、数学建模、算法、框图等模块。而这些模块实际上是高等院校数学基础课程中的重要内容。其中的算法、框图模块可以作为数学基础课程教学的辅助手段，帮助学生理解数学学科知识的知识体系和掌握特定知识点的方法步骤。
通过面向贵州财经大学经济管理类专业630名学生分批分期的集中访谈，发现：学生普遍认同數学课程在专业发展（如会计学、投资学、工商管理等专业）中的重要性，近一半的学生还是表现出对数学课程的学习兴趣。但大部分学生在数学的学习过程中存在一定的困难。学生认为：（1）数学学科的知识内容多，难以构建数学学科的知识体系。（2）数学题目的类型繁多，解决技巧方法多样且巧妙，难以归纳总结分类掌握。因此，部分学生提出：希望教师能够在数学知识的教学过程中，将知识步骤化程序化，辅助学生掌握、识记与应用。学生的这种步骤化程序化的愿望恰与算法思想的本质不谋而合。
因此，高等院校数学基础课程教师了解高中新课程算法、框图的知识基础，挖掘算法思想的内涵，开展算法思想在数学基础课程中应用的探索研究，是十分必要的。
一、高等院校数学基础课程应用算法思想的必要性和可行性
众所周知，公理化思想和算法化思想是数学发展中的两种基本思想，这两种思想都在数学进程史中发挥着不可忽视的作用。公理化思想起源于古代希腊，以欧几里得的《几何原本》为代表。算法化思想则以中国古代数学名著《九章算术》为代表，并贯穿于我国整个古代数学的发展历程。以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为特色的算法体系，为人们提供了认识世界的算法构造思维模式。我国吴文俊院士认为：算法化思想——这种最古老的的数学，实际上是最现代化的数学，它是计算机时代最适合的数学。相对以古希腊的公理化思想的演绎特点，我国古代数学不过于考究命题的形式推导，更看重问题解决的算法化思想呈现。广义意义上的算法就是针对某一类问题的解决办法或者策略。算法基本知识的学习和运用，能够辅助学生对数学知识、数学运算的理解。在现代科学技术高速发展的背景下，算法对学生精确数学概念和有条理地进行思维的提出了挑战[2]。从学生的数学素养方面看，算法思想可以发展学生思维的逻辑性、条理性和精确性。从学生的后继发展方面看，算法思想在为学生进一步学习和工作打下基础的同时，将程序化思考融入学生日常生活和工作中，成为一种算法化思考的习惯。
针对经济管理类本科数学基础课程的教学，我国教育部数学与统计学教学指导委员颁布的《基本要求》对学生的算法化思想的培养提出了新的高度：运用数学的思想模式进行定量思维和定性分析是衡量民族科学文化素质的一个重要标志[3]。
作为高等学校经济类和管理类专业本科生的重要必修数学基础课程——微积分、线性代数、概率论与数理统计，在其知识传授的过程中，培养学生抽象思维和逻辑推理的思维能力是十分必要的。而算法化思考方式的养成能够培养学生综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力，以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力[4]。
在高等财经院校数学基础课程的教学中广泛应用算法知识，体现算法思想，既适应我国高中数学课程的改革，也为进一步增强经济管理类专业学生的数学专业知识，提高数学素养提供了一种有效的辅助手段。
二、算法思想的应用案例
高等院校数学基础课程有诸多知识内容和解题思路是可以采用算法化思想和算法化步骤呈现的。需要强调的是，这些数学学科知识重要考虑与算法思想的结合与应用，而不要求用计算机语言将算法思想程序化处理。例如，《线性代数》课程中的主体知识模块之一——线性方程组解的结构就可采用算法化展现。实际上，《线性代数》的数学教师在线性方程组解的结构教学中，通常从最简单的二元一次线性方程组的消元法过程出发，将消元法的过程再展现在增广矩阵的初等变换过程中。而二元一次线性方程组的求解问题正是高中数学算法知识教学的引例。
对于任意的线性方程组，采用自然语言来描述该线性方程组解的判定及解的结构。
S1：输入系数矩阵A；
S2：输入未知量个数n；
S3：输入常数项矩阵b=（b1，b2，…，bm）T，
S4：利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵A=（A b）化为简化行阶梯形矩阵；
S5：如果b=（b1，b2，…，bm）T≠0，输出“该线性方程组为非齐次线性方程组”，进行S6；如果b=（b1，b2，…，bm）T=0，输出“该线性方程组为齐次线性方程组”，进行S7；
S6：当R（A）=R（A）=r
S8：当R（A）=r
S10：确定自由未知量；
S11：令自由未知量全为零，得到非齐次线性方程组的特解γ0；
S12：令自由未知量取线性无关组，得到对应的齐次线性方程组的基础解系η1， η2， …， ηn-r；
S13：输出非齐次线性方程组有无穷多组解，通解为γ0+c1η1+c2η2+…+cn-r ηn-r，进行S11；
S14：输出该非齐次线性方程组有唯一解η，进行S11；
S15：输出该非齐次线性方程组无解；
S16：输出该齐次线性方程组有唯一解，即零解，进行S17；
S17：结束。
虽然这一程序化过程较为繁杂并且计算量也较大，但学生每做一步都确切得知道下一步应该做些什么，这就是算法思想的体现。这一步骤化整理便于学生理解线性方程组的判定条件，掌握不同选择条件下解的情况。在掌握非齐次线性方程组与齐次线性方程组解的结构知识的同时，对比两者的不同。
再如，《线性代数》课程中的向量组的线性关系问题，实际上在高中阶段向量部分已有展现，但更多地局限在平面向量或空间向量。运用向量性质或坐标运算判定向量是否平行。该问题实际就是判定所给向量是否线性相关。以向量组的秩的角度判定的思路和方法也可采用算法形式展现。同时，向量组的线性关系问题也可以转换为齐次线性方程组是否有非零解的问题。这一角度也恰可用上一算法思路中的齐次线性方程组的部分来解决。
三、总结
问题解决方法的算法的步骤化呈现，首先便于學生的问题解决方法的理解与识记。在熟练运用的基础上，进一步增进学生的步骤化程序化思考问题的意识。将算法思想应用于财经类院校数学基础课程的教学中，能够有效地培养学生的逻辑思维能力。为了凸显算法思想在《线性代数》知识的实用性，教师还需结合经济管理类学生的专业特点以及学生的数学基础，选用典型的案例。通过实际案例的深入挖掘，同学生一同经历思考分析、算法思想呈现、问题应用推广的过程，深入提高学生的数学应用能力。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民 教育出版社，2003.4：25.
[2]项昭主编.普通高中数学选修课程的设置与教师培训实验研究[M].贵州人民出版社，2008.
[3]中华人民共和国教育部数学与统计学教学指导委员会.经济管理类本科数学基础课程教学基本要求.中国教育和科研计算机网www.edu.cn[W].
[4]伍建华.大学数学教学的现状调查和分析[J].数学教育学报，2007.8 16（3）：36.
（作者单位：贵州财经大学数统学院）
摘要：依据《普通高中数学课程标准》对算法提出的基本要求，分析算法思想在财经类院校数学基础课程教学中应用的可行性。以《经济管理类本科数学基础课程教学基本要求》为指导，结合财经类院校数学基础课程的教学现状，设计《线性代数》课程中算法思想的应用案例。
关键词：算法思想；财经类院校；数学基础课程
在我国教育部颁布的《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）[1]的指导下，高中数学课程从模式到内容有了重大改变。首先，数学课程的设置转变为“必修+选修”模式。其次，课程内容增加了数据处理、矩阵变换、数学建模、算法、框图等模块。而这些模块实际上是高等院校数学基础课程中的重要内容。其中的算法、框图模块可以作为数学基础课程教学的辅助手段，帮助学生理解数学学科知识的知识体系和掌握特定知识点的方法步骤。
通过面向贵州财经大学经济管理类专业630名学生分批分期的集中访谈，发现：学生普遍认同數学课程在专业发展（如会计学、投资学、工商管理等专业）中的重要性，近一半的学生还是表现出对数学课程的学习兴趣。但大部分学生在数学的学习过程中存在一定的困难。学生认为：（1）数学学科的知识内容多，难以构建数学学科的知识体系。（2）数学题目的类型繁多，解决技巧方法多样且巧妙，难以归纳总结分类掌握。因此，部分学生提出：希望教师能够在数学知识的教学过程中，将知识步骤化程序化，辅助学生掌握、识记与应用。学生的这种步骤化程序化的愿望恰与算法思想的本质不谋而合。
因此，高等院校数学基础课程教师了解高中新课程算法、框图的知识基础，挖掘算法思想的内涵，开展算法思想在数学基础课程中应用的探索研究，是十分必要的。
一、高等院校数学基础课程应用算法思想的必要性和可行性
众所周知，公理化思想和算法化思想是数学发展中的两种基本思想，这两种思想都在数学进程史中发挥着不可忽视的作用。公理化思想起源于古代希腊，以欧几里得的《几何原本》为代表。算法化思想则以中国古代数学名著《九章算术》为代表，并贯穿于我国整个古代数学的发展历程。以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为特色的算法体系，为人们提供了认识世界的算法构造思维模式。我国吴文俊院士认为：算法化思想——这种最古老的的数学，实际上是最现代化的数学，它是计算机时代最适合的数学。相对以古希腊的公理化思想的演绎特点，我国古代数学不过于考究命题的形式推导，更看重问题解决的算法化思想呈现。广义意义上的算法就是针对某一类问题的解决办法或者策略。算法基本知识的学习和运用，能够辅助学生对数学知识、数学运算的理解。在现代科学技术高速发展的背景下，算法对学生精确数学概念和有条理地进行思维的提出了挑战[2]。从学生的数学素养方面看，算法思想可以发展学生思维的逻辑性、条理性和精确性。从学生的后继发展方面看，算法思想在为学生进一步学习和工作打下基础的同时，将程序化思考融入学生日常生活和工作中，成为一种算法化思考的习惯。
针对经济管理类本科数学基础课程的教学，我国教育部数学与统计学教学指导委员颁布的《基本要求》对学生的算法化思想的培养提出了新的高度：运用数学的思想模式进行定量思维和定性分析是衡量民族科学文化素质的一个重要标志[3]。
作为高等学校经济类和管理类专业本科生的重要必修数学基础课程——微积分、线性代数、概率论与数理统计，在其知识传授的过程中，培养学生抽象思维和逻辑推理的思维能力是十分必要的。而算法化思考方式的养成能够培养学生综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力，以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力[4]。
在高等财经院校数学基础课程的教学中广泛应用算法知识，体现算法思想，既适应我国高中数学课程的改革，也为进一步增强经济管理类专业学生的数学专业知识，提高数学素养提供了一种有效的辅助手段。
二、算法思想的应用案例
高等院校数学基础课程有诸多知识内容和解题思路是可以采用算法化思想和算法化步骤呈现的。需要强调的是，这些数学学科知识重要考虑与算法思想的结合与应用，而不要求用计算机语言将算法思想程序化处理。例如，《线性代数》课程中的主体知识模块之一——线性方程组解的结构就可采用算法化展现。实际上，《线性代数》的数学教师在线性方程组解的结构教学中，通常从最简单的二元一次线性方程组的消元法过程出发，将消元法的过程再展现在增广矩阵的初等变换过程中。而二元一次线性方程组的求解问题正是高中数学算法知识教学的引例。
对于任意的线性方程组，采用自然语言来描述该线性方程组解的判定及解的结构。
S1：输入系数矩阵A；
S2：输入未知量个数n；
S3：输入常数项矩阵b=（b1，b2，…，bm）T，
S4：利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵A=（A b）化为简化行阶梯形矩阵；
S5：如果b=（b1，b2，…，bm）T≠0，输出“该线性方程组为非齐次线性方程组”，进行S6；如果b=（b1，b2，…，bm）T=0，输出“该线性方程组为齐次线性方程组”，进行S7；
S6：当R（A）=R（A）=r
S8：当R（A）=r
S10：确定自由未知量；
S11：令自由未知量全为零，得到非齐次线性方程组的特解γ0；
S12：令自由未知量取线性无关组，得到对应的齐次线性方程组的基础解系η1， η2， …， ηn-r；
S13：输出非齐次线性方程组有无穷多组解，通解为γ0+c1η1+c2η2+…+cn-r ηn-r，进行S11；
S14：输出该非齐次线性方程组有唯一解η，进行S11；
S15：输出该非齐次线性方程组无解；
S16：输出该齐次线性方程组有唯一解，即零解，进行S17；
S17：结束。
虽然这一程序化过程较为繁杂并且计算量也较大，但学生每做一步都确切得知道下一步应该做些什么，这就是算法思想的体现。这一步骤化整理便于学生理解线性方程组的判定条件，掌握不同选择条件下解的情况。在掌握非齐次线性方程组与齐次线性方程组解的结构知识的同时，对比两者的不同。
再如，《线性代数》课程中的向量组的线性关系问题，实际上在高中阶段向量部分已有展现，但更多地局限在平面向量或空间向量。运用向量性质或坐标运算判定向量是否平行。该问题实际就是判定所给向量是否线性相关。以向量组的秩的角度判定的思路和方法也可采用算法形式展现。同时，向量组的线性关系问题也可以转换为齐次线性方程组是否有非零解的问题。这一角度也恰可用上一算法思路中的齐次线性方程组的部分来解决。
三、总结
问题解决方法的算法的步骤化呈现，首先便于學生的问题解决方法的理解与识记。在熟练运用的基础上，进一步增进学生的步骤化程序化思考问题的意识。将算法思想应用于财经类院校数学基础课程的教学中，能够有效地培养学生的逻辑思维能力。为了凸显算法思想在《线性代数》知识的实用性，教师还需结合经济管理类学生的专业特点以及学生的数学基础，选用典型的案例。通过实际案例的深入挖掘，同学生一同经历思考分析、算法思想呈现、问题应用推广的过程，深入提高学生的数学应用能力。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民 教育出版社，2003.4：25.
[2]项昭主编.普通高中数学选修课程的设置与教师培训实验研究[M].贵州人民出版社，2008.
[3]中华人民共和国教育部数学与统计学教学指导委员会.经济管理类本科数学基础课程教学基本要求.中国教育和科研计算机网www.edu.cn[W].
[4]伍建华.大学数学教学的现状调查和分析[J].数学教育学报，2007.8 16（3）：36.
（作者单位：贵州财经大学数统学院）
