精心设计核心问题 发展学生思维能力
蓝晓君
[摘? 要] 发展学生的核心素养是教学的目标，发展思维能力，是提高核心素养的重要途径，而课堂教学的每一个环节通常都蕴含着一个解决问题的过程. 问题的有效设计是发展学生思维能力的关键. 因此根据教学目标设计学生思维的发展点，以问题的有效设计把目标落实在课堂中，推进核心素养的发展是教师每天要面临的任务. 现以“直角三角形相似复习”为例，对教学发展学生思维能力转化为落实有效的核心问题的这一策略，进行阐述和分析.
[关键词] 核心问题;思维能力;直角三角形相似;学科素养
问题是数学的心脏，以有效的核心问题设计为载体，发展学生的数学思维，是每一节课中落实核心素养重要的做法. 所谓的“核心问题”也可以称为“核心任务”，它是一节课或某一个板块环节中“牵一发而动全身”的中心问题. 这个问题是课堂教学的一条主线，它既能激发和推进学生主动活动，又能整合现行教材中应该学习的重点内容，为学生打开一道自主探究的通道，使之在教师的引领下充分展开高层次的思维过程，以实现知识的自主建构和能力的合面发展[1]. 下面笔者以一节复习课的设计，来阐述自己的想法.
暴露学生思维层次，预测学生思维的最近发展区
“选择”是思维能力的重要体现. 为了客观、系统地分析好学生学习起点状态，可结合学生实际在课前设计的预习作业. 对比学生不同的解法，渗透优化解题的思想，让学生懂得如何“选择”. 同时可以预估学生思维的最近发展区域.
核心问题一头连接着核心内容、核心目标，另一头连接着学生. 因此，设计核心问题的基础是正确地预测学生的知识水平和最近发展区域.
下面是本节课的例2，考虑到本节课的教学容量和例题本身的经典性、难度性，特将此例题设置为课前预习，以便检测学生原有的知识水平、技能等. 检测结果发现正确率很高，但很多学生耗时很长！例2如下：
如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4厘米，BC=5厘米，点D在边BC上，且CD=3厘米.现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动.过点P作EP∥BC交AD于点E，连接EQ.设动点运动时间为t秒（t > 0）.
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由.
（2）连接PQ，求证：PQ∥AB.
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？
学生的学习需求表现为解法优化的指导，解法的优化性也确定为本节课要解决的关键问题. 故上课的引入环节设置为练习分析，大致环节如下：
（1）从整体上分析课前作业的完成情况，展示大多数学生的第1小题的解题过程并整理解题思路后，展示、分析其他班学生的解法，暴露学生的思维层次：
师：我们完成本题的最快时间为20分钟，而其他班同学用了不到10分钟.
提问：哪一种更简洁？为什么？
生：第二种，短！
師：短就是书写简洁，优化解题;利用相似法求线长时还要证相似，而三角函数法则可直接计算. 其实它还有一个好处：关系简单！相似是在两个三角形中找对应关系，三角函数是在一个三角形中找！本小题做错的同学恰恰错在：利用相似找对应边时，对应边顺序比错了！
练习巩固：
已知在Rt△ADC中，DC=3，AC=4，EP⊥AD.
①若AE=4，则AP的长为多少？
②若AE=4-t，请用t的代数式分别表示AP的长.
（2）展示并分析问题3的解题过程：
比较得出：能用一次方程解决的问题，尽量不要用二次方程解决.
师：这个题除了这么解答外，还可以这么做！看看其他班同学的解答：
教师引导学生再一次感受用三角函数解答的简洁性！
思考：三角函数法与相似法是两种不同的解法吗？
师：回顾昨天的解题过程，我们得到怎样的一些解题经验呢？
优化解题思路：①能用一次方程解决的问题，尽量不要用二次方程解决. ②优化解题思想，时间成本就是分数成本. 直角三角形相似与三角函数都是解决数学问题的常用工具，他们在解题本质上是一致的. 但三角函数格式更简单，解法更简洁、更直接.
重组教材，设计核心问题，发展学生思维
“直角三角形相似复习”这一课，安排了3个较难的例题. 如果按复习导引顺序进行例题教学，那么学生将疲于应付，只能“走马观花”，不让他们自主将知识进行内化，因此笔者重组教材，精心设计核心问题，提高课堂效益.
重组教材，在设计核心问题之前，教师首先应站在命题思考的高度，认真研读考试要求. 其次，从整体把握考试要求与课本三大例题的联系，用心揣摩教材编者的意图，对三大例题进行全面的解读，以便精准地把握本节课的重点及难点，设计出合理明确的教学目标. 本节课的核心任务为：如何在复杂图形识别直角三角形相似，将它作为一种工具，帮助我们解决问题，并体会转化的思想和培养优化解题的能力.
寻找到恰当的切入口重组教材是设计核心问题的有效方式. 数学知识是一个动态的发展的知识体系，由于学生的差异性，在教学中需要寻找到恰当的切入口拓展或重组教材. 课本例1的第2小题的难度系数很大，一般的学生根本无法解答. 为了能有效地调动学生主动参与学习的积极性，使他们能完成知识的自主建构，突破本节课的核心问题，即把相似作为一种工具.
如何在以直角三角形为背景下的复杂图形中帮助我们解决问题，特挖出例题中隐含的直角三角形（即分别延长AE，BC交于一点G，则△ABG为直角三角形），教学实录大致如下：
1. 在学生已有的知识点附近，设置适度的开放题
问题一：已知在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点E从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，连接AE，设动点运动的时间为t，请大家锁定△ABE，你能提出怎样的数学问题？
这是在重现例2所隐藏的直角三角形后设置的一个开放题，起点较低. 其目的除了能有效地向学生展示他们最熟悉的知识点，让他们有足够的空间去凭借自己的知识经验设计问题、解决问题.
（1）当t为何值时，△ABE是等腰三角形？
（2）当t为何值时，AE平分∠BAC？
虽然这两个问题较为简单，学生能较快解决，但教学中注意强调以下几点：
（1）注意基本图形的提炼. 例如，等腰三角形→角平分線.
（2）体现转化思想，例如，等腰三角形中可将腰的数量关系转化为底的数量关系;角平分线中可将角的关系转化为线段的数量关系，帮助学生将知识自主建构.
师梳理总结：解决这两个问题的方法有多样，要注意强调方法的优化. 注意提炼解决这类问题的关键，即找等量关系，用方程思想解决问题. 并总结找等量关系常用方法，如勾股法、相似法、三角函数法等.
2. “转化”与“推理”的问题设计，是发展思维能力的重要演绎
在问题一的基础上，以AC为直径作一个圆，得到如下问题：
问题二：已知在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点E从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，连接AE，以AC为直径作圆，分别交AB，AE于点D，M. 设动点运动的时间为t，随着E点的移动，新产生的量，哪些量会变化，哪些量不会变化？请问：
（1）当t为何值时，点M是弧CD的中点？
可做适当提示：看到弧的中点，你想到了什么？
生：角等. 即∠EAC=∠BAE.
师：此问题就可转化为哪个问题？
生：哦！就可转化为前面的第二小题，即当t为何值时，AE平分∠BAC.
师：学数学，我们要善于联想！如前面看到等腰三角形、角平分线就要想到它们的基本图形;看到弧的中点，就要联想到圆周角等. 善于联想、善于转化，你会发现原来复杂的问题就是由简单的问题转化而成的！
（2）当t为何值时，点D是弧AM的中点？
此问看似与上一问相似，其实难度提升了不少！但解决的策略与上题一致. 学生通过上一小题的解决会有模糊、不完整的思路，教师通过追问将其清晰化，如：
生：连接CD.
师：你为什么会想到连接CD？
生：因为弧相等就有圆周角相等;还有直径所对的圆周角等于90°.
师：这里除了有角相等外，还产生了新的直角三角形，为此你们又发现此题还隐含着哪些基本图形呢？
引导学生发现“母子相似”的基本图形，由此得到∠EBA=∠BAE，感受题目是由问题一中的第一小题转化而成，即当t为何值时，△ABE是等腰三角形？找到题目的“本质”，突破本节课的核心问题，即把相似作为一种工具，如何在以直角三角形为背景下的复杂图形中帮助我们解决问题.
如果上课时间充足，可继续解决下面的问题：求证EC=EN;求CN ∶ DN的值.
课堂核心问题的设计直接影响学生思维能力的发展，同时也影响课堂效率的高低，需要我们不断地实践与反思. 常常有老师会叹息：“如何让学生喜爱数学？”也有很多老师试图用情境化的有趣引入等外部人文因素来促使学生喜爱数学，而忽略了学生在学习数学的过程，学生经历的探究、深度思维、发现数学本身的“内在美”，然后获得无法用言语描述的美妙的体验. 设计有价值的核心问题，引导学生思考，感受数学内在魅力才是学生喜爱数学的决定因素.
期盼老师们都能根据教学目标和教学重难点，将内容设计成使学生觉得有趣、有意义、有挑战性的核心问题，让学生体会整体思想、转化思想、方程思想等数学思想方法，体会数学的美妙. 达到以问题为载体，落实数学教学中发展学生思维这一核心任务，明确目标，实现学生学科素养的提升.
参考文献：
[1]周建勋. 发展学生的思维能力是数学教学的核心任务——2018年无锡市数学中考试题选析. 中学数学教学参考，2018（26）.
