几何动点问题的解题策略探讨

    廖晓青

    [摘 ?要] 几何动点问题是中考常见的重难点问题，在解析问题时需要采用合适的策略，构建合理的模型和思路，常用的策略有“动”“静”之间的转化与结合，文章结合实例探讨化动为静、动中取静、以静制动、动静结合四种策略.

    [关键词] 动点;几何;恒定条件;模型;函数关系;特殊位置

    几何动点问题是初中数学较为典型的问题，图形中由于点的位置变化会引起众多几何元素的变化，例如线变、面变和形变，因此学生在解析时容易陷入思维停滞，难以获得解题思路. 一般而言，解析思路有两条：一是提炼动态图形中的不变内容，二是利用特殊模型来研究动点状态. 下面对其转化策略进行探究.

    化动为静，把握不变条件

    动点问题的难点在于对几何动态的转化，因此某些动点问题可以采用“化动为静”的策略，从中提炼恒定条件，将问题转化为一般的静态问题，从而快速获得问题突破的思路. 例如，与速度相关的双动点问题，可以分析动点的速度，提取动点之间的位移关系.

    例1：如图1所示，△ABC为等边三角形，在顶点的A和C处各放置一只蜗牛，两只蜗牛同时以相同的速度，分别向着点B和点A爬行. 若经过时间t后，两只蜗牛分别爬行到了点D和点E处，回答下列问题：

    （1）在爬行的过程中，线段CD和BE是否一直相等.

    （2）若将原题中“分别向着点B和点A爬行”改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，而EB与CD的交点为Q，其他条件不变，如图2所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，试求证∠CQE =60°.

    分析 由于两只蜗牛分别从A和C出发，爬行的速度相同，则经过时间t后所走的路程也相同，即AD=CE，可利用该条件解析问题.

    解 （1）根据题意可知AC=BC，∠A=∠ACB=60°，且AD=CE，在△DAC和△ECB中，AD=CE，∠A=∠BCE，AC=BC，则△DAC≌△ECB，所以CD=BE，即CD和BE始终相等.

    （2）根据题干条件可得

    BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE，可证△BCD？艿△ABE，所以∠BCD=∠ABE. 所以∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=120°，进一步可得∠CQE =60°.

    评析 上述在分析动点问题时准确把握题目中的“同时以相同的速度爬行”的条件，获得了相应的等线段恒定条件，从而将问题视为是一般静态问题，利用全等三角形性质、角度换算等方式完成了线段证明和角度求值.

    动中取静，确定适用模型原理

    在研究几何动点问题时也可以采用“动中取静”的策略，根据题干信息确定动点轨迹，然后根据图形特点确定适用的模型原理，利用模型原理来研究满足条件时动点的位置，进而实现求解. 例如研究线段最值问题常用的“将军饮马模型”“胡不归模型”就是基于“两点之间，线段最短”原理，通过轴对称的方式确定了动点的位置，实现了动点问题的简化.

    例2：如图3所示，四边形ABCD是正方形，点E是位于边AD上的一个动点，现在过点A作BE的垂线，垂足为点H，然后连接DH，已知正方形的边长为4，试求线段DH的最小值.

    分析 DH的长度与点E的位置有关，由题干信息可知∠AHB始终为90°，则可以利用“直径所对的圆周角为直角”定理来构建关于点H的运动轨迹. 如图4所示，设圆心为点P，显然当三点P，H，D共线时，根据“两点之间，线段最短”原理可知此时PD与圆的交点就是DH取最小值时点H的位置，后续只需要借助几何性质求长度即可.

    解：以AB为直径画半圆，圆心设为点P，连接PD，PD为圆的交点就为满足条件时点H的位置，已知AD=4，AP=2，利用勾股定理可求得PD=2 ，而PH为圆的半径，则PH=2，所以DH=PD-PH=2 -2，即DH的最小值为2 -2.

    评析 上述是常见的与动点相关的线段最值问题，解题的关键是确定点的运动轨迹，然后根据轨迹来建立模型或使用原理. 上述所使用的三点共线模型及“两点之间，线段最短”原理是该类问题最为常用的解析策略.

    以静制动，建立函数关系

    采用“以静制动”的策略来解析几何动点问题的思路是：设出描述动点的运动参数，建立与问题相关的函数模型，利用函数的性质来分析求解. 该策略的优势在于忽略了因点动引起的次生问题，而采用发展的观点来建立运动元素之间的相互联系，可有效降低思维难度.

    例3：抛物线的解析式为y=-x2+bx+c，与x轴相交于点A（1，0）和B（-3，0）两点.

    （1）试求该抛物线的解析式;

    （2）点P是抛物线在第二象限上的一个动点，连接PB，PC，BC，试分析△PBC面积的最大值，以及此时点P的坐标.

    分析 （1）已知抛物线与x轴的两个交点，可以由两点坐标获得抛物线解析式. （2）分析抛物线上与动点相关的面积问题，可以设出动点的坐标，通过三角形面积割补的方式构建面积模型，从而建立与动点坐标相关的面积函数，利用函数性质来确定点P的坐标，求最大面积.

    解 （1）根据A（1，0）和B（-3，0）两点，可得抛物线解析式为y=-（x-1）（x+3），化简可得y=-x2-2x+3.

    （2）设点P（x，-x2-2x+3），过点P作x轴的垂线，垂足为点E，PE交BC于点F，如图5所示，通过面积割补可得S△PBC=S四边形BPCO-S△BOC，代入面积公式可得S△PBC= - x+ 2+ ，分析可知当x=- 时，S△PBC= ，此时点P的坐标为- ， .

    评析 上述是以抛物线为背景的动点问题，动点位于抛物线上，因此以动点为顶点建立的三角形面积与动点的坐标有关. 因此在分析时可以采用“以静制动”的策略，建立关于动点坐标参数的面積函数模型. 该策略是函数性质分析几何动点问题的典型代表，另外构建函数解析式还可以利用勾股定理、三角形相似性质等，解析时需充分提取图形特征.

    动静结合，分段特性讨论

    在某些几何动点问题中，由于动点的移动图形的结构存在规律性的变化，此时就可以采用“动静结合”的解析策略，基于图形结构来对动点的移动轨迹进行分段，然后通过分类讨论、特性分析的方式来确定答案. 该策略解析的关键点有两个：一是对图形特性的提取，二是对动点轨迹的分段. 解析时需要综合考虑，全面分析.

    例4 如图6所示，△ABC的内角∠ACB=90°，AC=6，BC=8，已知动点P从点A出发，以速度1沿着路径A→C→B运动，动点Q从点B出发，以速度3沿着路径B→C→A运动. 已知两动点同时出发，到对应的终点时才会停止. 在某一时刻，分别过P和Q作l的垂线，垂足分别为点E和F，则当点P运动多长时间时，可使△PEC和△QFC为全等三角形？

    分析 本题目属于双动点问题，需要根据路径对运动的时间进行分类讨论. 对于动点P：当0≤t≤6时，在线段AC上;而当6≤t≤14时，在线段BC上. 对于动点Q：当0≤t≤ 时，在线段BC上;当 ≤t≤ 时，在线段BC上;而当t≥ 时，点Q与点A相重合，则停止运动. 根据图形特性和动点位置关系可以分为四种情形：①点P在线段AC上，点Q在线段BC上;②点P和Q均位于AC上;③点P在线段AC上，而点Q与点A相重合，停止运动;④点P在线段BC上，点Q与点A相重合，停止运动. 则后续只需要根据运动区段，结合全等要求来确定讨论时间的合理性即可.

    解 设时间t后，△PEC？艿△QFC，由全等性质可得CP=CQ.

    ①当点P在线段AC上，点Q在线段BC上时，0≤t≤ ，如图7，CP=6-t，CQ=8-3t，由CP=CQ解得t=1.

    ②當点P和Q均位于AC上时， ≤t≤ ，如图8，只有两点重合才可能全等，则CP=6-t=3t-8，解得t=3.5.

    ③当点P在线段AC上，而点Q与点A相重合，停止运动，则 ≤t≤6，分析可知不满足全等条件.

    ④当点P在线段BC上，点Q与点A相重合，停止运动，则6≤t≤14，如图9，则CQ=6，CP=t-6，由CP=CQ解得t=12.

    综上可知，当点P运动时间为1、3.5或者12时，△PEC和△QFC可为全等三角形.

    评析 上述在分析与双动点相关的三角形全等问题时，根据动点所在位置情况确立了分类标准，确定了时间范围，进而根据三角形全等条件建立了关于时间的方程，完成求解. 上述使用的是“动静结合”的解析策略，其中“动”表示动点所在线段上的位置变化，而“静”表示时间范围确定、全等条件固定. 因此在采用“动静结合”策略解析时应明确其中的“动”“静”条件，灵活建模.