关注几何函数，拓展问题模型

    陈丽琴

    

    

    

    [摘 ?要] 函数与几何压轴题是中考数学的重点题型，一般以压轴题的形式出现，该类问题的突破需要融合众多基础知识，采用适当的方法策略.文章对一道中考函数压轴题开展思路突破，拓展解题模型，并提出相应的教学建议.

    [关键词] 函数;面积;几何;模型;思想方法

    真题呈现

    （2019年江苏省徐州市中考数学卷第28题）如图1所示，在平面直角坐标中，O为原点，点A和B分别在x轴、y轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y= 的图像上.PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD，回答下列问题：

    （1）求∠P的度数及点P的坐标;

    （2）求△OCD的面积;

    （3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积;若不存在，请说明理由.

    思路突破

    上述属于与几何相关的函数综合题，其中涉及反比例函数、角平分线、三角形性质和几何面积等知识，下面对其突破思路进行探索.

    第一步：几何性质利用，突破点P特性

    该问求角的度数和曲线上点的坐标，属于较为基础的问题. ∠P是由三角形的两个外角的角平分线相交形成的，因此只需要利用角平分线的性质及三角形外角和知识即可.

    过点P作y轴的垂线，垂足为点E，再过点P作x轴的垂线，垂足为点F，过点P作AB上的垂线，垂足为点M，如图2. 根据角平分线的性质可知，∠PAM= ∠EAM，∠PBM= ∠FBM，则∠PAM+∠PBM= （∠EAM+∠FBM），由三角形的外角和可知∠EAM+∠FBM+∠AOC=360°，其中∠AOC=90°，则∠EAM+∠FBM=270°，∠PAM+∠PBM=135°，所以∠P=180°-135°=45°.

    求点P的坐标，由于点P位于函数曲线上，因此只需要求得横坐标或纵坐标其中的一个即可.根据角平分线的性质可得PE=PM=PF，因此可将点P的坐标设为（m，m），代入反比例函数解析式可得m2=9，由于点P位于第一象限，则m>0，解得m=3，所以点P（3，3）.

    第二步：勾股相似合用，突破三角面积

    该问求△OCD的面积，由于该三角形是由PA和PB的延长线以及坐标轴相交形成的，故△OCD为直角三角形，由面积公式可知只需要求得线段OC和OD的长即可.设点A（0，a），B（b，0），由△PEA≌△PMA，△PMB≌△PFB可得AM=AE，BM=BF，于是AB=AM+BM=AE+BF=6-a-b，在Rt△ABO中，由勾股定理可得AB2=OA2+OB2，代入后可解得b= .

    分析可证△PEA∽△COA，△PBF∽△DBO，由相似三角形性质可得 = ， = ，代入化简可得OC= ，OD= ，所以S△OCD= OC·OD= · · =9.

    第三步：不等式性质借用，突破面积最值

    该问分析△AOB是否存在最大面积，属于面积存在性问题，由OA+OB+AB=a+b+6-a-b=6可知a+b+ =6，所以2 + ≤6，解得 ≤3（2- ），所以ab≤54-36 ，所以S△AOB= ab≤27-18 ，最大面积为27-18 .

    评析 本题目属于函数与几何相结合的综合题，求解时利用到了反比例函数知识、矩形和正方形的性质、全等三角形判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，几何与函数内容结合紧密，主要考查学生的知识应用和逻辑推理能力.问题的核心是第（2）和第（3）问的几何面积分析，相对而言面积模型的构建过程较为简单，难度主要集中在代换运算上，解析时巧妙利用几何性质实现了参数的代换和简化.

    模型拓展

    上述考题的后两问属于以函数曲线为背景的几何面积问题，其特殊之处在于所涉三角形依托两个坐标轴而构建，且为直角三角形，因此在构建面积模型时可以结合坐标上的点，利用面积公式直接获得. 实际上，求函数中的几何面积属于一类较为典型的问题，根据函数曲线不同、三角形的形状以及所知点坐标不同，其模型的构建过程也大不相同，下面对函数曲线背景下的三角形面积模型的构建方式进行拓展探究.

    1. 巧用函数性质，直接构建模型

    该方式指的是利用函数的几何性质，建立三角形的面积模型，适用于反比例函数背景下的几何面积问题. 如图3所示，设反比例函数的解析式为y= ，根据其性质特征可知常数k可表示为两个变量y和x的乘积，即k=xy，实际上对于该式存在一定的几何意义. 过曲线上任意一点P，分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点M和N，如图3，连接OP，则k表示的就是矩形PMON的面积，即S矩形PMON=PM·PN=y ·x =k，而S△OPM=S△OPN= k.因此对于三角形的两个顶点分别为原点和反比例函数曲线上的点，以及一条边与坐标轴相重合的三角形，其面积可以表示为 k.

    例1：点M为x轴正半轴上的任意一点，过点M作与y轴相平行的直线，与函数y= （x>0）和y= （x>0）的图像分别相交于点P和Q，如图4所示，连接OP和OQ，试求△OPQ的面积.

    解析 x轴将△OPQ分割成兩部分，所以其面积可以表示为S△OPQ=S△OPM+S△OQM，而结合反比例函数的几何性质可得S△OPM= k1，S△OQM= k2，即S△OPQ= （k1+k2）.

    2. 巧作面积割补，构建“铅垂高—水平宽”模型

    在函数背景中经常出现求一般三角形的面积问题，此时就无法直接利用面积公式来直接构建求解模型，实际上我们可以通过面积割补的方式借用“铅垂高—水平宽”模型，如图5所示，分别过△ABC的三个顶点作三条与水平方向垂直的垂线，则外侧两条垂线之间的距离称之为“水平宽”，记为a;而穿过三角形内部的直线长度称之为“铅垂高”，记为h，则S△ABC= ah.

    证明过程如下 穿过三角形的垂线将△ABC分割为△ADB和△ADC两部分，则△ADB和△ADC可以视为是有共同底AD和不同顶点的三角形，即同底三角形. 设AD分别到点B和点C的距离为h1和h2，则S△ABC= S△ADB+S△ADC= a（h1+h2）= ah. 而在函数背景下使用该模型时就可以结合点的坐标来表示a和h，即a=xC-xB，h=yA-yD，则S△ABC= ·xC-xB·yA-yD，因此解析时只需要分析直角坐标系中关键点的坐标即可.

    例2：如图6所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，-1），B（3，-3），若抛物线经过A，B，O三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C，试回答下列问题：

    （1）求抛物线的解析式.

    （2）若点P是线段OB上的一个动点，直线PC与抛物线相交于点D和E，其中点D位于y轴的右侧，连接OD和BD.

    ①分析△OPC为等腰三角形时点P的坐标;

    ②试求△BOD面积的最大值以及此时点D的坐标.

    解析 这里只分析第（2）问的第②小问，可求得抛物线的解析式y=- x2+ x，过点D作y轴的平行线，与OB相交于点Q，过点B作x轴的垂线，垂足为点H，则△BOD的“铅垂高”为DQ，“水平宽”为OH，所以S△BOD= DQ·OH. 设Q（x，-x），则Dx，- x2+ x，QD= - x2+ x，OH=3，所以S△BOD= ×- x2+ x×3=- x- 2+ ，分析可知x= ，S△BOD取得最大值 ，此时点D的坐标为 ，- .

    教学思考

    1. 聚焦问题重点，强化基础知識

    上述属于中考常见的函数与几何图形相结合的考题，从问题突破的过程来看，充分把握问题重点，灵活使用性质定理是关键. 例如上述第（3）问分析面积最大值时，把握了构建面积模型、转化线段参数的解析重点，充分利用三角形的面积公式和基本不等式的性质等知识来加以突破. 因此在开展考题教学时，需要教师首先引导学生对问题结构进行拆解，挖掘问题实质，然后结合所涉内容来思考问题突破所需的定理定义、公式方法等，并进行系统的整理，帮助学生完成知识的强化.

    2. 关注思路构建，拓展解题思维

    函数背景中的几何面积问题是初中数学的代表性问题，因融合了几何与函数相关知识，具有极高的综合性，因此在问题突破时特别需要关注思路的构建过程，包括构建模型，转化策略，解析方法等. 例如上述在分析几何面积时由面积公式出发，将问题转化为代数问题，利用基本不等式的性质来分析最值. 另外在教学时还需要教师引导学生探究类型问题的突破策略，总结模型构建的方法，逐步提升学生的解题思维.

    3. 渗透思想方法，提升综合素养

    考题突破的过程中需要使用对应的思想方法来指导问题转化. 例如上述在分析面积问题时涉及了模型思想、化归转化思想和数形结合思想，这也是函数与几何综合题常用到的数学思想. 因此教学时需要教师适度渗透数学思想，合理引导思考，让学生经历思想方法指导解题的过程，在解题中逐步感知数学思想. 考题教学的最终目标是提升学生的综合素养，而渗透了数学思想的问题探究能够全方面地提高学生的素质，值得倡导.