高中数学方程类问题解题思路研究

    王海青

    在新课程改革工作的进行过程中，高中数学越来越注重数学思维的培养.数学是高中教学体系中的重要组成科目，是逻辑思维的体现.在素质教育的背景下，培养学生的数学应用能力是数学教学的核心，也是学生需要掌握的应试技巧之一.本文笔者从方程思想入手，对高中数学方程解题思路进行归纳和总结.一、从定义入手，与实际问题相结合

    首先，如果同学们留心观察方程的定义的话，就会发现从本质上来讲，方程其实首先就是一种等量关系，但是在这个等量关系中，数量是不确定的，所以用未知量x来表示，这就是方程思想的形成了.只要能够使这个等式成立，就是正确的方程的解，而探求这两个具体的数量的过程就叫解方程了，并且最终能够使得等式成立的未知量x就叫作方程的“解”或是“根”. 所以在解决问题时若能巧妙地设定未知单位量k，就能轻松地列出方程求解.

    例如，在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度下，溶解于100份水中的硝酸钠份数的数据如下：

    xi0410152129365168

    yi66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1

    描出散点图并求其回归直线方程.

    解：建立坐标系，绘出散点图如下：

    

    由散点图可以看出：两组数据呈线性相关性.设回归直线方程为：y=ax+b.

    b=（x1-x）（y1-y）+（x2-x）（y2-y）+……+（xn-x）（yn-y）（x1-x）2+（x2-x）2+……+（xn-x）2

    =x1y1+x2y2+……+xnyn-nx yx21+x22+……+x2n-nx2

    =∑ni=1（xiyi-x y）∑ni=1（x2i-x2）.

    a=y-bx.

    x=26，y=90.14，x y=2343.76，x2=676，

    ∑x2i=10144，

    ∑xiyi=24628.6.

    可求得：b=0.87，a=67.52，从而回归直线方程为：y=0.87x+67.52.

    我们不难发现，利用表格中的x、y的数据和b的计算公式能够帮助我们解决方程中的未知量，最后只剩下一個a是我们需要求解的方程的根.所以这是一道非常直观的方程求解问题，只需要耐心地细致计算，便能够得出正确的答案.二、利用方程性质进行解题

    通过以往的数学知识积累，从最初的一元一次方程这样的直线方程再到圆这样的曲线方程，可以说每一个方程都有它独特的性质特点.比如，在二次函数中，可以通过计算图像和x轴的交点来判断该二次函数的开口方向和有多少个根等，圆心的焦点坐标、对称轴方程，以及双曲线渐近线方程等.熟练掌握这些公式特征在解决问题的时候，学生就能够敏锐地把题目中所给的条件转化为数学语言和数学方程式进行求解.更重要的是通过这些特定方程的特点，还有助于二级结论的推理.例如，若圆的直径端点A（x1，y1），B（x2，y2），则圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0;点（x，y）关于直线ax+by+c=0的对称点坐标为：x-2A（Ax+By+C）A2+B2，y-2B（Ax+By+C）A2+B2……如果同学们能够熟练地掌握这些二级结论，便能够在做题的过程中更快速地进行求解.在解决方程类的问题时最重要的是要进行分析，首先要明确考查的知识点，并针对性地回忆相关知识，从已知推测未知，并且需要从多个角度进行分析探索，写出可能出现的所有结果.其次，应加强常见解题思路的练习，如“消元”“整体带入”思想等，切实提高分析能力和解题效率.

    综上，同学们在遇到问题时，首先可以从基本定义下手，养成画函数方程图像的习惯，其次要熟练掌握方程的性质，掌握方程性质对于解决应用问题非常必要.并且由于方程思想在许多其他章节的考查中均有体现，在新课改的号召下，高考数学的应用模式更加多元化，考查内容更加广泛，所以熟练掌握同学们也要学会用方程思想去解决其他问题，将知识巧妙地融会贯通.