数学建模：从方法到思想

    沈磊

    [摘? 要] 初中数学教学，正面对着核心素养培育的需要，在数学学科核心素养中，有包括数学建模在内的六个要素，对数学建模的认识，要明确从“方法”到“思想”的途径，这样能有效促成数学建模作为数学学科核心素养要素的落地，进而促成整个数学学科核心素养的落地. 对于初中学生而言，数学建模要想从方法上升为思想，关键在于促进学生对数学建模的问题解决性认识，而这个促进的载体，就是实际问题的解决，就是学生在实际问题解决过程中对数学模型的认识.

    [关键词] 初中数学;核心素养;数学建模;教学认识;模型思想

    教师对教学的认识，往往建立在对具体教学思路、教学内容、教学方法的基础之上. 其中，教学思路往往由教学理念决定，而教学内容则由课程标准与教材确定，至于教学方法，这看起来是一个绝大多数教师耳熟能详的概念，譬如对于初中数学教学方法，教师脱口而出的往往就是数形结合、模型等，在实际教学中对教学方法的强调，更多的侧重于让学生掌握建构数学知识的思路与解决问题（解答习题）的办法. 相比较而言，很少有教师能够真正从“思想”的角度，引导学生建立对数学学习的认识.

    当下的初中数学教学，正面对着核心素养培育的需要，在数学学科核心素养中，有包括数学建模在内的六个要素，笔者以为对数学建模的认识，要明确从“方法”到“思想”的途径，这样才能有效促成数学建模作为数学学科核心素养要素的落地，进而促成整个数学学科核心素养的落地. 下面就结合这一观点，谈谈笔者的一些不成熟的思考.

    作为方法的数学建模

    数学建模首先是作为方法存在的，需要认识到的是，作为方法认知的数学建模，对于初中学生的数学学习来说，已经是一个重要的认识上的进步. 因为根据教学经验可以发现，相当一部分学生在数学学习中实际上处于高度的无意识状态，教师讲什么他就学什么，教师怎么讲他就怎么听. 这里固然与教师的教学导向有关系（没有真正将学生放在主体地位），其实也与学生自身的学习认识有关系. 笔者在教学中一直跟学生强调，数学学习中一定要以“我”（指学生自己）为主，教师的讲解、训练是“帮助”自己学习的. 而学生一旦形成这样的认识，在数学学习中就更加容易形成方法意识，于是数学建模作为一种方法的掌握也就成为可能.

    对于数学建模的认识，通常是这样的：数学建模是引导学生学会“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”的重要载体，是促进学生思维能力、实践能力和创新意识发展的重要素养. 在初中数学教学中，作为方法的数学建模教学，可以是这样的（以“一元二次方程解决实际问题”的教学为例）：

    给学生提供具有实际生活意味的素材，如笔者到生活中寻找到传播类的题材给学生创设了这样的一个情境：某地某次爆发了急性传染性流感，假如该流感传染时每轮都以相同比例传染，在其传染了两轮之后达到121人，那每轮传染是传染给多少人？（设最初是1个人患此流感）

    对于这个问题的解决，学生首先需要读懂问题的表述，弄清“传播”过程，建立清晰的“传染模型”. 实际教学中，作为方法的数学建模，笔者的引导是基于学生的分析过程而进行的，具体包括：设未知数，寻找等量关系，求解方程. 其中建立等量关系是最关键的，如果设每次传播x个人，则在建立等量关系的时候，逻辑就是先判断一轮传染后有多少人患上流感（用x来表示），第二轮传染后有多少人患上流感. 这两个问题一解决，等量关系自然建立.

    从数学建模方法掌握的角度来看，最关键的一步是反思上述问题解决的过程，通过思路的整理，让学生明确本问题的解决，关键就在于一元二次方程思路下的等式建立. 学生一旦形成这个认识，那就是方法性的认识，也就从方法的角度对数学建模建立了理解.

    作为思想的数学建模

    从数学建模的方法诞生的角度来看，人们认识到数学建模的价值，就在于其在解决实际问题的时候所起的作用. 众所周知，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养. 数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题;分析问题，建立模型;确定参数，计算求解;检验结果，改进模型，最终解决实际问题. 当然，对于初中学生而言，数学建模的过程没有这么复杂（譬如上面的例子就具有一定的代表性），但可以肯定的是，在学生掌握了数学建模的方法之后，要帮学生形成一种思想性认识，这样能够促使学生更好地建构数学知识，同时形成对数学学科的认识. 有研究表明，建立数学模型思想能够帮助学生更好地体会数学和外部世界之间的联系，建构基本的数学模型、推广已有的数学模型、演绎更多的数学模型其实都是包含在模型思想范畴内的具体环节，教师有意识、有计划的训练能帮助学生获得以一当十的数学建模与演绎能力. 在实际教学中，笔者进行了这样的尝试（仍以“一元二次方程解决实际问题”的教学为例）：

    问题情境的创设：根据世界卫生组织的界定，甲型流感是传染性最强的疾病之一，假设某地1人患甲型流感之后，在两天之内就有可能传染为9人，试判断1周内的传染人数;如果采取措施将传染速度降至原来的一半，那一周后有多少人感染？

    学生在分析第一个问题的时候，可以用上面例子中形成的认识进行迁移，困难相对不大，这里不再赘述. 对于第二个问题，学生很容易想到运用相同的一元二次方程的模型来解决，但是这里更会让学生形成的一个认识是：一元二次方程不仅是数学课堂上用来解题、得分的工具，更是可以解决人们在生活中遇到的类似疾病传播类问题的工具. 这就是数学知识的实用价值！

    这样一个问题的解决，看起来与上面的例子相同，但实际上这里的两个问题各具价值：对于第一个问题而言，是利用学生已经形成的对数学建模的方法认识，去再次分析、解决问题，从而巩固对数学建模的认识;第二个问题其实非常关键，因为这是学生运用数学建模的方法独自解决实际问题的过程，这个过程中既要用到原来建立的模型，同时还会让学生认识到在类似疾病传播类的问题中，建立科学的模型，并调整其中的参数，是真真实实的可以治病救人、化解社会矛盾的举措. 这种从生活走向数学，又从数学走向社会的认识过程中，数学模型起着不可替代的作用，其在强化学生对数学建模的认识时，很容易在学生的心目中烙下深刻印象，从而使得学生对数学建模的认识真正实现从方法到思想的转变. 也因此笔者以为：对于初中学生而言，数学建模要想从方法上升为思想，关键在于促进学生对数学建模的问题解决性认识，而这个促进的载体，就是实际问题的解决，就是学生在实际问题解决过程中对数学模型的认识.

    核心素养与数学建模

    在理解了数学建模从方法向思想转变的认识之后，再从核心素养培育的角度来认识数学建模，还可以发现数学建模存在的价值远远超过对其在日常教学尤其是应试形态下的理解.

    实际教学中，由于应试的需要，包括数学建模在内的数学思想方法，更多地被作为提升学生解题能力的工具，这显然让数学建模的价值大打折扣. 实际上分析学生在数学建模过程中的心理活动，会发现在建模的时候，学生都能够非常广泛、充分地调动已经学习过的数学知识，尤其是能够发挥想象去猜想可能的模型（包括所用到的数学知识，但这个时候的数学知识常常是以模型的形态存在的），这种猜想、想象对于学生的数学学习来说，影响巨大. 著名科学家爱因斯坦有一句名言：想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉. 从这个角度讲，基于想象力、思维力（组成智力的核心要素）去促进学生进行数学建模，并在建模过程中形成建模能力，形成方法认知，最终形成建模思想，就是初中数学教学中数学建模的重要思路.

    由此思考数学学科核心素养的落地，笔者以为在初中数学教学中，核心素养的落地如果说需要寻找一个载体的话，那这个载体除了与具体的教学内容相关之外，更与数学思想方法有关. 而数学建模既是数学学科核心素养的六个要素之一，同时也是初中数学教学的优秀传统. 在数学建模的过程中，學生通过对数学知识的综合运用，进而建立起能够解决数学问题、实际问题的模型，最终存在于学生大脑当中的，除了这些数学知识，也包括数学建模之类的数学思想方法. 而且相比较而言，数学思想方法更容易实现从数学向其他学科、其他领域的迁移，这种能力的迁移恰恰是核心素养所强调的关键能力. 因此数学建模作为最重要的思想之一，帮学生形成从方法到思想的认知，就是为核心素养的培育奠定基础，其应当成为初中数学教师的教学取向.