明教知识暗传思想
吴志群
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）在教学建议中指出：“教师应该揭示知识的数学实质及其体现的数学思想.”数学思想是经过概括后对数学事实与数学理论的本质认识，是从具体数学知识认知过程中提炼出的观点，揭示了数学发展中普遍的规律.它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.因此，数学教学贯穿着两条主线，第一条是数学知识，第二条是数学思想.数学知识是明线，用文字的形式写在教材里，反映了知识之间的纵向联系；数学思想是暗线，反映知识之间的横向联系，需要老师在教材中加以揭示.数学知识是数学的躯体，数学思想是数学的精髓，掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.
在全县研训活动中，笔者参加设计一节公开课，课题为北师大版数学教材七年级下册第四章《三角形》第三节“探索三角形全等的条件”.现摘录主要环节，结合自己的思考，浅议结合数学思想设计初中数学教学.
1环节再现
环节1旧知回顾，新知引入
问1到目前为止，已学过哪些方法判定两个三角形全等？怎么得到的？
（生：三边：边边边“SSS”；两角一边：角边角“ASA”，角角边“AAS”）
设计意图括号部分是预设学生的回答（下同），回顾三角形全等的条件及探索方法，唤醒已有知识的认知.
情景引入如图1，池塘两侧A，B处各有一棵树，只有一条米尺，利用现有米尺无法直接量出A，B问的距离.请你设计一种方案，测出A，B问的距离，并说明理由.
设计意图创设有意义的问题情境，具有挑战性，激发学生的求知欲和学习兴趣.
环节2自主探究，合作提升
问2根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述情况外，还有哪种情况？
（生：两边一角相等）
问3有几种可能的情况呢？
（生：两边及夹角“边角边”或两边及其一边的对角“边边角”）
设计意图通过有效设问和追问，感悟类比的学习方法和养成对比的学习习惯，培养学生善于反思总结的意识，培养学生勇于探索的精神.
活动1
（探究：两边及夹角“SAS”）已知三角形两条边分别为3cm，4cm，它们所夹的角为30°，你能画出这个三角形吗？与同伴交流，你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
设计意图学生动手操作，画满足特殊角的三角形，运用30°三角板容易操作，培养形象思维能力和动手操作能力，自主探究后，通过交流比较，达到合作提升.
活动2同桌之间商量好，任意确定一个角的度数及两条线段的长度.画三角形，以这两条线段作为三角形的两边，它们的夹角就是确定的已知角，观察比较，同桌问的两个三角形是否会全等.
归纳基本事实（公理）：两边及夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”，（公理的几何语言板书一略）
设计意图分组合作活动，同桌一小组，组数最大化，条件完全开放，条件一般化，以期有各种角度（锐角、直角、钝角）和长度，说明结论的合理性，理解“边角边”公理知识的形成，培养合情推理能力和动手操作能力.通过板书几何语言，养成几何语言、文字语言和图形语言的互译，培养审题能力和板书语言能力。
活动3（探究：两边一对角“SSA”）已知三角形两条边分别为3cm，5cm，长度为3cm的边所对的角为30°，你能画出这个三角形吗？与同伴交流，你画的三角形与同伴画的一定全等吗？你发现了什么？
设计意图给学生充分的时间与空间，结合数学画图.
使学生完整地经历动手操作、总结结论的活动过程，深刻体会实践是科学判断问题的有力依据，再次感悟通过举反例说明假命题的知识方法.培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力.
环节3引导发展，成效评价
例题如图2，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，请说明AABC≌AADC.
问4上题条件不变，BC与DC会相等吗？为什么？
设计意图新知应用，应用“边角边”知识证明三角形全等和线段相等的问题，加强知识理解和应用.培养逻辑思维能力和演绎推理能力.
问题解决解决情境引入中的问题.
小明设计方案：如图3，先在池塘旁取一个能直接到达A，B处的点C，连结AC并延长至E点，使CE=AC，连结BC并延长至D点，使CD=BC，连结DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离.你能说明理由吗？
设计意图首尾呼应，充分应用情境素材，能灵活应用所学知识，解决实际问题，感悟学数学知识意义.
练一练（1）如图4，在下列图中，找出全等三角形.
（2）如图5，在AABD和AACD中，∠BAD=∠CAD，要使AABD≌AACD，只需添加一个什么条件？为什么？
设计意图给学生提供充分从事数学活动的机会，第1题独立尝试解决，当堂检测学生掌握“边角边”公理的情况，适时作出恰当评价，第2题通过一个条件开放，让学生总结判断三角形全等的知识，培养学生边学习边总结的好习惯.
2揭示数学思想
《标准（2011年版）》在教材设计建议中指出：数学教学中数学思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的.因此，平时要主动设计利于学生感悟数学思想的课堂教学，基于课标和教学大纲，笔者研读教材，解读本节教学内容，结合数学思想的渗透，设计以上教学过程，在教学中有效地渗透思想，表面上是教学数学知识，同时也在渗透数学思想，从而提高课堂教学的有效性.以下揭示本节教学表象的数学思想。
2.1揭示特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识.本节课环节二探究“边角边”公理中，活动1设计30度的特殊角和3厘米、4厘米的特殊边，内容具体、容易操作，探究特殊条件下公理的存在；接着，活动2中条件完全开放，探究在一般条件下公理存在，从而归纳出“SAS”公理，水到渠成.在探究“SSA”成立与否中，用特殊反例说明一般结论不成立.由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程.在环节三中，运用探究出“SAS”公理（即一般结论），解决本节例题和情境问题，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.这就是数学研究中的特殊与一般思想.这是本节课渗透的最重要的数学思想。
2.2揭示分类与整合思想
《标准（2011年版）》在教学建议中指出：分类是一种重要的数学思想.在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程.本节课中分类与整合思想也处于重要地位，在探究“两边一角”中，根据角相对两边不同位置，分“边角边”和“边边角”两种情况分别探究.在活动2中，探究“SAS”的一般情况又分钝角、锐角和直角三种情况，从而整合得到“SAS”公理；在活动3探究“SSA”中，通过特殊值验证，分类得到两种不全等图形，从而整合得到“SSA”不成立，最后整合只有“SAS”成立，而“SSA”不成立.还有在环节三练习2中，要根据不同判定，分三种情况讨论，整合有三个答案.在解数学问题时，若问题包含了多种情况，就必须抓住问题发展方向的主要因素，划分为若干部分分别研究，最后整合在一起.这种“合一分一合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想.
2.3揭示数形结合思想
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.在探究“SAS”和“SSA”活动中，给出角和线段的数值，通过画出相应的图形，来探究命题的成立与否，要成立必需满足图形重合，若不重合则不成立.如图6，根据相同的数值，画出不同的图形，非常直观说明“SSA”不成立，借助形的直观性来解决数的问题.如图4，数形结合很容易找出全等三角形，从而解决问题，数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休，”
2.4揭示建模思想
《标准（2011年版）》在教材设计建议中指出：模型思想是义务教育阶段数学课程内容的核心之一，教材应当围绕核心内容进行设计.模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.因此，在情境引入中，设计测量池塘两树的实际问题，激发学习兴趣，同时，学了新知后，必需建立数学模型来解决实际问题，这内容的学习有助学生形成模型思想，渗透数学建模思想.
2.5揭示化归与转化思想
为了渗透化归与转化思想，根据教材内容，在环节三例题的教学中，设计一个证明线段相等的问题4，该问题必需转化证明三角形全等的路径来解决.化归与转化思想是指在研究解决数学问题时，将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.常将待解决的问题转化为已解决的问题，将复杂的问题通过化归转化为简单的问题.
3设计启示
由于结合数学思想的渗透，本节课设计时主线明了，层次清晰，在实践中发现效果很好.为了设计有效课堂教学，结合数学思想的设计也是很好的途径.以下笔者将一些经验和心得，与同仁分享，以期抛砖引玉.
3.1参透课标，解读教材，挖掘数学思想
在初中数学课堂教学里，数学知识是一条明线，数学思想是一条暗线，它隐含于知识发生发展过程中.教师要参透课标，宏观把握有关数学思想的要求与目标，认真解读教材，活用教材，挖掘教材中可以渗透的数学思想.数学思想的教学，首先需要从对教材的分析入手，挖掘其中蕴含的数学思想，如本节课就蕴含五种数学思想.
3.2新知建构，巩固应用，渗透数学思想
对于数学而言，知识的发生过程，实际上也是数学思想的发生过程.如本节课中，“SAS”判定公理的新知构建过程，也就是特殊与一般思想、分类与整合思想的发生过程.因此，设计时要考虑到教学过程中渗透数学思想的时机.如概念的形成过程、结论的推导过程、方法的选择过程、思路的探索过程、规律被揭示过程等，都是渗透数学思想的极好机会.数学思想不能机械记忆，也不能只喊“口号”，只有将数学思想内化为数学思维意识和习惯才有意义.如：通过例题、练习题学习，不仅能进一步加深学生对数学知识的理解，而且对数形结合思想、转化思想、分类思想和建模思想有更加深刻的认识.
3.3课堂小结，构建系统，归纳数学思想
数学思想贯穿在整个初中数学教材的知识中，以隐形的方式蕴含于数学知识的体系中，教师在教学中，要适时归纳和概括数学思想.设计时要设置一些归纳数学思想的步骤，设置有关归纳数学思想的问题，并适时地强化，让学生在脑海中留下深刻的印象.这样有意识、有目的地结合数学基础知识系统建构，归纳数学思想，可避免单纯追求数学思想教学的问题。
总之，不管是课前设计，还是课中的实践，都是为了提高教学效率.教师要树立让学生感悟数学思想的意识，自觉渗透数学思想；数学思想要与数学知识教学中有机结合，自然渗透数学思想；数学思想的教学是一个慢过程，不能急功近利，要循序渐进，反复渗透数学思想。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）在教学建议中指出：“教师应该揭示知识的数学实质及其体现的数学思想.”数学思想是经过概括后对数学事实与数学理论的本质认识，是从具体数学知识认知过程中提炼出的观点，揭示了数学发展中普遍的规律.它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.因此，数学教学贯穿着两条主线，第一条是数学知识，第二条是数学思想.数学知识是明线，用文字的形式写在教材里，反映了知识之间的纵向联系；数学思想是暗线，反映知识之间的横向联系，需要老师在教材中加以揭示.数学知识是数学的躯体，数学思想是数学的精髓，掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.
在全县研训活动中，笔者参加设计一节公开课，课题为北师大版数学教材七年级下册第四章《三角形》第三节“探索三角形全等的条件”.现摘录主要环节，结合自己的思考，浅议结合数学思想设计初中数学教学.
1环节再现
环节1旧知回顾，新知引入
问1到目前为止，已学过哪些方法判定两个三角形全等？怎么得到的？
（生：三边：边边边“SSS”；两角一边：角边角“ASA”，角角边“AAS”）
设计意图括号部分是预设学生的回答（下同），回顾三角形全等的条件及探索方法，唤醒已有知识的认知.
情景引入如图1，池塘两侧A，B处各有一棵树，只有一条米尺，利用现有米尺无法直接量出A，B问的距离.请你设计一种方案，测出A，B问的距离，并说明理由.
设计意图创设有意义的问题情境，具有挑战性，激发学生的求知欲和学习兴趣.
环节2自主探究，合作提升
问2根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述情况外，还有哪种情况？
（生：两边一角相等）
问3有几种可能的情况呢？
（生：两边及夹角“边角边”或两边及其一边的对角“边边角”）
设计意图通过有效设问和追问，感悟类比的学习方法和养成对比的学习习惯，培养学生善于反思总结的意识，培养学生勇于探索的精神.
活动1
（探究：两边及夹角“SAS”）已知三角形两条边分别为3cm，4cm，它们所夹的角为30°，你能画出这个三角形吗？与同伴交流，你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
设计意图学生动手操作，画满足特殊角的三角形，运用30°三角板容易操作，培养形象思维能力和动手操作能力，自主探究后，通过交流比较，达到合作提升.
活动2同桌之间商量好，任意确定一个角的度数及两条线段的长度.画三角形，以这两条线段作为三角形的两边，它们的夹角就是确定的已知角，观察比较，同桌问的两个三角形是否会全等.
归纳基本事实（公理）：两边及夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”，（公理的几何语言板书一略）
设计意图分组合作活动，同桌一小组，组数最大化，条件完全开放，条件一般化，以期有各种角度（锐角、直角、钝角）和长度，说明结论的合理性，理解“边角边”公理知识的形成，培养合情推理能力和动手操作能力.通过板书几何语言，养成几何语言、文字语言和图形语言的互译，培养审题能力和板书语言能力。
活动3（探究：两边一对角“SSA”）已知三角形两条边分别为3cm，5cm，长度为3cm的边所对的角为30°，你能画出这个三角形吗？与同伴交流，你画的三角形与同伴画的一定全等吗？你发现了什么？
设计意图给学生充分的时间与空间，结合数学画图.
使学生完整地经历动手操作、总结结论的活动过程，深刻体会实践是科学判断问题的有力依据，再次感悟通过举反例说明假命题的知识方法.培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力.
环节3引导发展，成效评价
例题如图2，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，请说明AABC≌AADC.
问4上题条件不变，BC与DC会相等吗？为什么？
设计意图新知应用，应用“边角边”知识证明三角形全等和线段相等的问题，加强知识理解和应用.培养逻辑思维能力和演绎推理能力.
问题解决解决情境引入中的问题.
小明设计方案：如图3，先在池塘旁取一个能直接到达A，B处的点C，连结AC并延长至E点，使CE=AC，连结BC并延长至D点，使CD=BC，连结DE，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离.你能说明理由吗？
设计意图首尾呼应，充分应用情境素材，能灵活应用所学知识，解决实际问题，感悟学数学知识意义.
练一练（1）如图4，在下列图中，找出全等三角形.
（2）如图5，在AABD和AACD中，∠BAD=∠CAD，要使AABD≌AACD，只需添加一个什么条件？为什么？
设计意图给学生提供充分从事数学活动的机会，第1题独立尝试解决，当堂检测学生掌握“边角边”公理的情况，适时作出恰当评价，第2题通过一个条件开放，让学生总结判断三角形全等的知识，培养学生边学习边总结的好习惯.
2揭示数学思想
《标准（2011年版）》在教材设计建议中指出：数学教学中数学思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的.因此，平时要主动设计利于学生感悟数学思想的课堂教学，基于课标和教学大纲，笔者研读教材，解读本节教学内容，结合数学思想的渗透，设计以上教学过程，在教学中有效地渗透思想，表面上是教学数学知识，同时也在渗透数学思想，从而提高课堂教学的有效性.以下揭示本节教学表象的数学思想。
2.1揭示特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识.本节课环节二探究“边角边”公理中，活动1设计30度的特殊角和3厘米、4厘米的特殊边，内容具体、容易操作，探究特殊条件下公理的存在；接着，活动2中条件完全开放，探究在一般条件下公理存在，从而归纳出“SAS”公理，水到渠成.在探究“SSA”成立与否中，用特殊反例说明一般结论不成立.由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程.在环节三中，运用探究出“SAS”公理（即一般结论），解决本节例题和情境问题，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.这就是数学研究中的特殊与一般思想.这是本节课渗透的最重要的数学思想。
2.2揭示分类与整合思想
《标准（2011年版）》在教学建议中指出：分类是一种重要的数学思想.在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程.本节课中分类与整合思想也处于重要地位，在探究“两边一角”中，根据角相对两边不同位置，分“边角边”和“边边角”两种情况分别探究.在活动2中，探究“SAS”的一般情况又分钝角、锐角和直角三种情况，从而整合得到“SAS”公理；在活动3探究“SSA”中，通过特殊值验证，分类得到两种不全等图形，从而整合得到“SSA”不成立，最后整合只有“SAS”成立，而“SSA”不成立.还有在环节三练习2中，要根据不同判定，分三种情况讨论，整合有三个答案.在解数学问题时，若问题包含了多种情况，就必须抓住问题发展方向的主要因素，划分为若干部分分别研究，最后整合在一起.这种“合一分一合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想.
2.3揭示数形结合思想
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.在探究“SAS”和“SSA”活动中，给出角和线段的数值，通过画出相应的图形，来探究命题的成立与否，要成立必需满足图形重合，若不重合则不成立.如图6，根据相同的数值，画出不同的图形，非常直观说明“SSA”不成立，借助形的直观性来解决数的问题.如图4，数形结合很容易找出全等三角形，从而解决问题，数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休，”
2.4揭示建模思想
《标准（2011年版）》在教材设计建议中指出：模型思想是义务教育阶段数学课程内容的核心之一，教材应当围绕核心内容进行设计.模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.因此，在情境引入中，设计测量池塘两树的实际问题，激发学习兴趣，同时，学了新知后，必需建立数学模型来解决实际问题，这内容的学习有助学生形成模型思想，渗透数学建模思想.
2.5揭示化归与转化思想
为了渗透化归与转化思想，根据教材内容，在环节三例题的教学中，设计一个证明线段相等的问题4，该问题必需转化证明三角形全等的路径来解决.化归与转化思想是指在研究解决数学问题时，将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.常将待解决的问题转化为已解决的问题，将复杂的问题通过化归转化为简单的问题.
3设计启示
由于结合数学思想的渗透，本节课设计时主线明了，层次清晰，在实践中发现效果很好.为了设计有效课堂教学，结合数学思想的设计也是很好的途径.以下笔者将一些经验和心得，与同仁分享，以期抛砖引玉.
3.1参透课标，解读教材，挖掘数学思想
在初中数学课堂教学里，数学知识是一条明线，数学思想是一条暗线，它隐含于知识发生发展过程中.教师要参透课标，宏观把握有关数学思想的要求与目标，认真解读教材，活用教材，挖掘教材中可以渗透的数学思想.数学思想的教学，首先需要从对教材的分析入手，挖掘其中蕴含的数学思想，如本节课就蕴含五种数学思想.
3.2新知建构，巩固应用，渗透数学思想
对于数学而言，知识的发生过程，实际上也是数学思想的发生过程.如本节课中，“SAS”判定公理的新知构建过程，也就是特殊与一般思想、分类与整合思想的发生过程.因此，设计时要考虑到教学过程中渗透数学思想的时机.如概念的形成过程、结论的推导过程、方法的选择过程、思路的探索过程、规律被揭示过程等，都是渗透数学思想的极好机会.数学思想不能机械记忆，也不能只喊“口号”，只有将数学思想内化为数学思维意识和习惯才有意义.如：通过例题、练习题学习，不仅能进一步加深学生对数学知识的理解，而且对数形结合思想、转化思想、分类思想和建模思想有更加深刻的认识.
3.3课堂小结，构建系统，归纳数学思想
数学思想贯穿在整个初中数学教材的知识中，以隐形的方式蕴含于数学知识的体系中，教师在教学中，要适时归纳和概括数学思想.设计时要设置一些归纳数学思想的步骤，设置有关归纳数学思想的问题，并适时地强化，让学生在脑海中留下深刻的印象.这样有意识、有目的地结合数学基础知识系统建构，归纳数学思想，可避免单纯追求数学思想教学的问题。
总之，不管是课前设计，还是课中的实践，都是为了提高教学效率.教师要树立让学生感悟数学思想的意识，自觉渗透数学思想；数学思想要与数学知识教学中有机结合，自然渗透数学思想；数学思想的教学是一个慢过程，不能急功近利，要循序渐进，反复渗透数学思想。
