透视图形折叠，探讨问题策略

2023.05.04

刘燕

[摘? 要] 图形折叠是初中数学的重点内容，其中的“变”与“不变”性质是该类问题解答的关键. 教学中首先要使学生理解图形折叠的本质，掌握相关的性质，其中存在一些问题，文章将对其加以探讨.

[关键词] 图形折叠;几何问题;教学微设计

问题起源

“图形的折叠”是初中数学几何模块重要的知识内容，是构建几何体系的关键，初中阶段学生需要掌握图形折叠的本质、关键参数以及图形折叠的性质. 图形折叠会带来众多的关联问题，如折叠点的具体位置、折线的长度、重叠面积以及相关的角度和线段长问题. 考虑到折叠对象涉及三角形、矩形和正方形等图形，若学生对图形折叠知识理解不到位，则很容易陷入思维误区，造成解题错误. 因此十分有必要对图形折叠内容进行解读，开展教学微设计，深入探讨折叠的关联问题.

知识解读

几何中的折叠实际上就是图形变换的一种方式，折叠的过程实际上就是轴对称变换的过程，因此折线就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于折线成轴对称关系. 考虑到折叠图形完全重合，因此折叠过程存在图形全等关系，根据图形全等可知折叠前后图形的形状、大小、对应边、对应角不变，仅发生位置的改变，因此图形折叠的关联问题是图形的全等以及相关几何关系的证明.

图形的折叠相对较为复杂，在实际操作中需要绘制折线和图形折叠前后的位置，方便图形几何关系的分析，而在解决实际问题时同样可以采用该种方式，通过添加辅助线的方式用数学语言表述折叠的性质，然后利用特殊图形和几何定理来突破考题.

教学微设

初中数学的教学除了需要指导学生掌握基本的知识，还需要引导学生体验知识探求的过程，促进学生思维的发展，教学图形的折叠内容同样不例外，需要从基本几何知识开展教学微设.

微设一：本质的探寻

课堂上准备一矩形ABCD，如图1，将△ABD沿着对角线BD进行折叠，使得顶点A落在矩形外的点E处，设BE与CD的交点为点O，AE与BD的交点为点F，分析△ABD折叠过程中存在哪些结论.

引导1：关注图形的折叠过程，分析折叠前后的对应点，以及图形的折痕.

引导2：关注折叠前后图形在大小和形状上的关系，从几何全等或相似角度分析.

引导3：分析图形中的全等三角形，根据全等性质从边和角两方面总结结论.

引导4：分析折叠前后图形关于折痕的关系，从轴对称的角度概述折叠的本质.

微设二：通法的探寻

继续以矩形ABCD为例，设AB=8，BC=6，此次以图2所示情形进行折叠，将△ABP沿BP进行折叠，使得点A落到矩形的边DC上，落点设为E.

设问1：上述折叠过程存在哪些特点？（分析折痕）

设问2：根据已知条件还可以求出哪些线段长？

设问3：若要求AP的长，如何构建思路？

引导：首先让学生分析上述图形折叠的特点，根据已知条件求出一些线段长，然后分析其中的直角三角形，通过设未知数，利用勾股定理构建代数方程来求线段长.

类题探析

初中数学以图形折叠为基础衍生的几何问题类型较多，涉及众多的典型问题，中考还涉及一些关联知识，因此在问题分析时除了需要利用图形折叠的知识外，还需要把握问题的结合点构建思路，下面举例探析.

1. 通过折叠，求解线段长

例1? 在图3所示的矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，现将△ABE沿着AE进行折叠，点B最终落在了点F处，且位于矩形的内部，连接CF，则CF的长为______.

分析? 本题目主要考查图形折叠和矩形的性质，首先需要提炼折叠的对象、折线和折叠后的图形，根据折叠性质明确等量关系. 求CF的长需要将其放在特定的三角形中，利用三角形的相关定理构建求解模型. 连接BF后，根据三角形的面积公式可求BH，进而可得BF的长，分析可知△BFC为直角三角形，可以利用勾股定理来求CF.

解答? 连接BF，交AE于点H，如图4所示，根据折叠性质可知BE=EF，BH=FH，AE⊥BF，对△ABE使用等面积法，可得S=AB·BE=AE·BH，可求得BH=，BF=2BH=. 由于EF=BE=CE，所以△BFC为直角三角形，即∠BFC=90°，在Rt△BFC中使用勾股定理，可得CB2=BF2+CF2，代入线段长可解得CF=，即CF的长为.

2. 分析折叠，求解图形面积

例2? 如图5所示，四边形ABCD为一矩形，边长BC=8 cm，AB=6 cm，现将矩形ABCD沿着对角线BD进行折叠，最终点C落在矩形外的点E处，设折叠后AD与BE的交点为点F，则折叠后重叠部分△BFD的面积为______.

分析? 本题为以矩形折叠为背景求重叠面积的几何题，首先需要根据题意明确图形折叠的过程，即矩形沿着对角线BD进行对折，点D的对称点为点E. 然后根据折叠特性提炼几何条件，主要有两类：一是等角，二是等边. 然后基于面积公式求解关键的线段长.

解答? 折叠前后的图形为全等三角形，即△BDE≌△BDC，则∠1=∠2，BE=BC，DE=DC. 矩形中AD∥BC，則∠1=∠3，所以∠2=∠3，必然有BF=DF. 重叠的图形为△BFD，则其面积S=BF·DE=FD·DE，在Rt△BAF中构建求解三角形边长的方程，设FD=x，FA=8-x，由勾股定理可得BA2+AF 2=BF 2，及62+（8-x）2=x2，解得x=，所以S△FBD=××6= cm.

3. 透视折叠，突破三角函数

例3? 如图6所示，将矩形ABCD的一边AD进行折叠，使得点D落在矩形底边BC上，对应点为点F，若矩形的AB=8 cm，BC=10 cm，则tan∠EAF=______.

分析? 本题目同样为典型的图形折叠问题，特殊之处在于融合了三角函数，在初中阶段求解三角函数值一般需要将其放置在直角三角形中，利用三角形的边长比值关系求解. 由题意可知△ADE≌△AFE，则△AFE为直角三角形，所以tan∠EAF=，因此只需要利用题干条件求解线段EF和AF的长度即可.

解答? 四边形ABCD为矩形，则CD=AB=8，AD=BC=10，分析折叠过程可知△ADE≌△AFE，所以∠AFE=90°，AF=AD=10，在Rt△ABF中利用勾股定理，可得BF=6. 设EF=x，则DE=EF=x，CE=8-x，CF=BC-BF=4，在Rt△CEF中利用勾股定理，可解得x=5，即EF=5. 在Rt△AEF中，tan∠EAF==.

上述剖析了與折叠相关的几类问题，涉及了基本问题以及较为复杂的综合问题. 从问题分析的本质来看，实际上就是分析图形折叠的本质，利用折叠的性质求解相关的条件. 无论是求解三角形面积，还是求三角函数值，均需要将问题转化为求解相应的线段长，常规的方法主要有两种：一是利用三角形全等或相似来直接获得，二是借助直角三角形的勾股定理，构建求解线段长的方程，通过解方程的方式获得.

教学反思

图形折叠是初中数学的重点内容，从“四基”理念出发需要教师在教学中回归教材基础，剖析知识本质，突出重难点，关注考点类题，下面提出几点教学建议.

1. 立足折叠本质，串联知识内容

图形折叠作为几何的重要部分，有着一定的特殊性，属于几何动态知识，学生在学习时必然存在一定的难度，因此在教学中需要把握知识的本质，引导学生剖析图形折叠背后的内容，即折叠的本质和性质. 考虑到其知识内容又具有关联性，教学中十分有必要引导学生对其加以串联，将三角形全等、轴对称相结合，构建完整的知识体系，强化学生对折叠的理解，为后续的问题探析打下基础.

2. 关注问题方法，构建解题思路

图形折叠是中考较为典型的一类问题，涉及求基本的线段长、几何角，以及复杂的面积、三角函数等，前者求解较为简单，但后者具有一定的综合性，需要教师启发思路，帮助学生掌握方法. 一般以折叠为载体的综合性问题，教学中首先需要引导学生复述图形折叠的过程，然后从中提炼关联条件，对具体问题进行转换，建立问题与条件的联系，最后借助对应的数学模型求解. 例如求折叠中的几何面积，可以基于面积公式将问题转化为求线段长，利用特殊三角形的性质构建代数方程.

3. 渗透数学思想，提升数学思维

折叠问题的求解过程涉及众多的思想方法，从思想内容来看，解题的过程就是在思想方法的指导下完成问题转化与建模，其中最为重要的思想有数形结合思想、方程思想和构造思想. 数形结合渗透在整个问题的分析过程中，而方程思想和构造思想蕴含在求解相关线段长的模型中. 教学中需要关注两点：一是严格按照思想方法的意义进行教学指导，二是使学生经历利用思想方法解题的过程，领悟运用思想方法的解题思路. 在教学中合理地渗透数学思想，不仅可以使学生掌握解题策略，还可以提升学生的思维，使学生获得长足的发展.