应重视对数学难点概念的深度解读
孔小明 项美霞 陈蕾
在中学数学教学中，数学概念教学始终处于数学教学的核心地位，几乎所有高中数学教师都有这样体会：在对高中数学几百个概念进行教学时，的的确确存在着这样一些重要的数学概念，学生在学习这些概念时普遍感到难以理解和掌握，成为他们在概念学习中的难点；教师对这些概念的教学也感到难以把握、难以突破，成为教师在概念教学中的难点，这样的一些概念，我们不妨称之为难点概念，
通过查阅相关资料与讨论，笔者认为，高中数学难点概念的成因主要有：（1）概念本身问题：部分概念抽象层级多，抽象思维和逻辑思维要求高，表征方法少，具体化、形象化困难，理解难度大；（2）教材编写中的问题：部分概念定义的文字表述过长、语言枯燥、符号抽象难懂，教材中对概念的形成提供的感性材料不够充分，巩固概念的配套练习不够恰当，教学课时安排过于紧张，学生缺乏深入理解所必须的时间；（3）教师教学中的问题：对所引入概念的必要性（背景）阐述不够重视；对概念本质属性的剖析不够到位，没有从文字叙述、图形、数学符号等多角度地揭示概念的内涵和外延；对概念辨析的教学环节重视不够，普遍存在以解题代替巩固练习的现象；（4）学生学习中的问题：不能理解部分概念学习的必要性，学习动力不足；上位概念理解不深、固定点知识薄弱；语言转换能力缺乏，难以用自己的语言表述概念；表征方法少，缺乏原型和样例支撑；不清楚相关概念的内在联系，无法形成恰当的概念网络结构，
有效提升学生学习力的基础之一就是让学生理解概念，而要让学生理解概念，教师首先自己要理解概念，为此，我校数学学科组开展了“高中数学难点概念解读”为主题的学科校本研修活动，提出概念的解读也要高立意的要求，体现在能宏观把握数学概念在中学阶段的地位与作用，明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围，挖掘依附于概念的数学思想方法，从前后知识联系的角度审视概念，在概念体系中认识概念等，只有这样，概念的教学才能循序渐进，具体教学才能抓住教学核心，摒弃细枝末节，即一节课中到底讲些什么，哪些重点讲，哪些不需讲，哪些本课之前讲，哪些后续讲等，提高概念的教学效率，
以下我们以“曲线与方程”的概念解读为例，谈谈如何对数学难点概念进行深入解读，
1.地位作用
“曲线与方程”是人教c版教材选修2一l中第二章“圆锥曲线与方程”第一节“曲线与方程”第一课时的内容，是在学生已学过必修2中的直线与方程、圆与方程内容的基础上，继续学习“圆锥曲线与方程”的起始课，具有承上启下的作用，由于解析几何的本质是用代数的方法来研究几何问题，即通过研究曲线的方程来研究曲线的性质，这就带来一个关键性的问题，为什么能通过研究方程来研究曲线？即怎样保证这种研究的可靠性，
“曲线的方程”与“方程的曲线”是解析几何的基本概念，解析几何的两个基本问题（建立曲线方程和利用方程研究曲线的性质），都是以这两个概念为基础的，该内容安排于直线与圆的方程之后，是让学生对曲线的方程的认识经历从“观念”到“概念”的螺旋上升过程，又使后续研究圆锥曲线等内容的理论基础，使得学生对曲线与方程的关系有一个更加系统、完整的认识，更为重要的是，人们可以借助曲线与方程之间互为表示的等价关系，通过方程来研究曲线，因此，“曲线的方程”与“方程的曲线”概念是解析几何的核心概念，
2.内容解析
“曲线的方程”与“方程的曲线”的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线，
在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有惟一的方程，任何方程也都有惟一确定的曲线（或点集），曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所成的集合与方程所有解所构成的集合之间存在一一对应关系来建立的，定义中，条件（1）中“都”字阐明了曲线上每一点的坐标都满足方程，保证了曲线对于方程的纯粹性；同样地，（2）中“都”字阐明了符合条件的所有点都在曲线上，保证了曲线对于方程的完备性，纯粹性与完备性合起来，保证了曲线与方程的等价性，这是曲线的方程概念的本质属性，
从集合角度看，如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应点的集合记作日，那么定义中（1）用集合关系表示就是A∈B，定义中（2）用集合关系表示就是B∈A，两者合起来即A=B，这是从集合角度对曲线与方程关系的解释，
“曲线的方程”与“方程的曲线”是同一事物的两种表现形式，只是定义的主体不同，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形，“曲线与方程”概念所界定的既不是具体直观的曲线，也不是具体实在的方程，而是它们之间相互的“隶属关系”，跨越几何和代数两界，认识这种隶属关系并能应用，是教学的着力点和落脚点，
“曲线与方程”一方面要从形到数，即绘出曲线，写出相应方程；另一方面要从数到形，即给出方程及其要求，画出相应曲线，揭示几何中的形与代数中的数相互统一的关系，体现解析几何的核心——数形结合的思想，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，是数学方法论上的一次飞跃，
3.学情分析
3.1知识与认知基础
就学生而言，在这节课之前，他们已经在必修课程《数学2》的直线与方程、圆与方程中，讨论了曲线与方程的关系，加上初中和高一学过的函数在内，学生已有了曲线与方程的初步观念（还不能说是“概念”），有了一定的感性认识，也有了处理相关问题的基本数学活动经验，这是学生学习曲线与方程的认知基础，是学生理解曲线与方程概念的最近发展区，
3.2可能的理解障碍
首先，学生在学习曲线与方程概念之前，对曲线与方程的关系更多是从整体、宏观角度认识的，一般情况下，会认为直线就是直线、圆就是圆，不会想到把它们看作满足某种条件的点的集合，方程就是方程，不会想到把它们看作满足某种条件的解的集合，而曲线与方程概念是通过“曲线上的点”和“方程的解（有序实数对）”之间一一对应关系来定义的，这种考察问题角度与思维方式的变化会导致学生理解上的思维障碍，因此，教学设计的着力点是借助实例，将学生对曲线与方程之间的“能相互替代”“等价”“不多不少”等观念进行精确描述，将已有观念明确化、概念化，
其次，在经历由直观表象上升到抽象概念的过程中，学生容易对定义中为什么要规定两个方面产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，同时学生易将定义中的（1）（2）两点孤立开来，认为曲线上的点的坐标都是方程的解，那么曲线就是方程的曲线，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么方程就是曲线的方程，未能将两个方面统一起来，因此，教学要通过对正、反例的充分辨析，引导学生明确概念的内涵与外延，认识到曲线的方程与方程的曲线是同一事物的两种表现形式，
再次，之前学生求得的直线或圆往往是一条完整的直线或一个完整的圆，不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题，而进入到一般的曲线的研究过程，在给定曲线一部分确定其方程时，学生会受函数定义域与值域负迁移的影响，出现变量范围错误的现象，例如，对单位圆的上半圆（不含端点），其方程应为X2+y2=1（y>o），学生会写成X2+y2=1（-1
4.1关注知识体系的螺旋上升
教师要从全套教材的结构来认识曲线与方程的地位，弄清知识的前后安排顺序，把握好要求，体现知识体系的螺旋上升过程，教学要循序渐进，水到渠成，在函数教学中，要让学生体会到直角坐标系中的点与其坐标的一一对应关系；在直线与方程、圆与方程的内容学习中，要明确提出曲线上的点与方程的解的对应关系，使学生能熟练地判断给定坐标的点是否在曲线上，熟悉曲线上点的坐标求法，为得出曲线的方程概念埋下伏笔；在圆锥曲线方程的内容学习中，引导学生进一步体会“曲线的方程”与“方程的曲线”的关系，强化概念的理解，
4.2重视概念的生成过程
从既要让学生理解“曲线与方程”的概念、又要让学生体会“为什么要引入这个概念”出发，以学生熟悉的“直线与方程”“圆与方程”为载体，在给出抽象概念之前，通过实例，让学生建立起“纯粹性”“完备性”的充分体验，体会到引入曲线与方程概念的必要性与合理性后，再给出严格的数学定义，并借助反例引导学生进行概念辨析，使学生从内心接受“曲线的方程”“方程的曲线”这样“颠来倒去”的数学定义，再通过给出曲线写方程、给出方程画出曲线的图象，以及证明“已知方程是给出曲线的方程”等问题的探究，让学生充分理解“曲线与方程”这一概念的内涵与外延，领悟定义中①②的缺一不可性，把握概念的深层结构，
4.3善于举例，使抽象概念具体化
由于“曲线与方程”的概念比较抽象，教学要通过简单、具体而又较为丰富的例子（直线、圆及其变式）完成概念同化，在概念应用中通过进一步的变式训练完成概念的顺应，从而建立起良好的认知结构，教学时，应该为学生提供各种感性材料，不断改变其表现形式，合理运用变式，使学生从不同的角度去认识概念的本质属性，其中，反例（非概念变式）的引入对于概念的正确理解、防止或纠正学生各种可能的错误观念具有重要作用，
4.4充分发挥现代教育技术的作用
由于曲线的方程概念的高度抽象性，教学可借助一些软件（如几何画板等）加强几何直观，使学生进一步理解曲线与方程的关系，如在概念的生成阶段，利用几何画板的可操作性，拖动曲线上的点，观察其坐标是否满足方程，由学生说点坐标，再绘制出点验证其在不在曲线上，给学生直观的体验，让学生初步体验曲线上的点与方程的解之问的对应关系，体会数与形之问的内在联系，为学生深刻理解曲线与方程的本质奠定基础，
在中学数学教学中，数学概念教学始终处于数学教学的核心地位，几乎所有高中数学教师都有这样体会：在对高中数学几百个概念进行教学时，的的确确存在着这样一些重要的数学概念，学生在学习这些概念时普遍感到难以理解和掌握，成为他们在概念学习中的难点；教师对这些概念的教学也感到难以把握、难以突破，成为教师在概念教学中的难点，这样的一些概念，我们不妨称之为难点概念，
通过查阅相关资料与讨论，笔者认为，高中数学难点概念的成因主要有：（1）概念本身问题：部分概念抽象层级多，抽象思维和逻辑思维要求高，表征方法少，具体化、形象化困难，理解难度大；（2）教材编写中的问题：部分概念定义的文字表述过长、语言枯燥、符号抽象难懂，教材中对概念的形成提供的感性材料不够充分，巩固概念的配套练习不够恰当，教学课时安排过于紧张，学生缺乏深入理解所必须的时间；（3）教师教学中的问题：对所引入概念的必要性（背景）阐述不够重视；对概念本质属性的剖析不够到位，没有从文字叙述、图形、数学符号等多角度地揭示概念的内涵和外延；对概念辨析的教学环节重视不够，普遍存在以解题代替巩固练习的现象；（4）学生学习中的问题：不能理解部分概念学习的必要性，学习动力不足；上位概念理解不深、固定点知识薄弱；语言转换能力缺乏，难以用自己的语言表述概念；表征方法少，缺乏原型和样例支撑；不清楚相关概念的内在联系，无法形成恰当的概念网络结构，
有效提升学生学习力的基础之一就是让学生理解概念，而要让学生理解概念，教师首先自己要理解概念，为此，我校数学学科组开展了“高中数学难点概念解读”为主题的学科校本研修活动，提出概念的解读也要高立意的要求，体现在能宏观把握数学概念在中学阶段的地位与作用，明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围，挖掘依附于概念的数学思想方法，从前后知识联系的角度审视概念，在概念体系中认识概念等，只有这样，概念的教学才能循序渐进，具体教学才能抓住教学核心，摒弃细枝末节，即一节课中到底讲些什么，哪些重点讲，哪些不需讲，哪些本课之前讲，哪些后续讲等，提高概念的教学效率，
以下我们以“曲线与方程”的概念解读为例，谈谈如何对数学难点概念进行深入解读，
1.地位作用
“曲线与方程”是人教c版教材选修2一l中第二章“圆锥曲线与方程”第一节“曲线与方程”第一课时的内容，是在学生已学过必修2中的直线与方程、圆与方程内容的基础上，继续学习“圆锥曲线与方程”的起始课，具有承上启下的作用，由于解析几何的本质是用代数的方法来研究几何问题，即通过研究曲线的方程来研究曲线的性质，这就带来一个关键性的问题，为什么能通过研究方程来研究曲线？即怎样保证这种研究的可靠性，
“曲线的方程”与“方程的曲线”是解析几何的基本概念，解析几何的两个基本问题（建立曲线方程和利用方程研究曲线的性质），都是以这两个概念为基础的，该内容安排于直线与圆的方程之后，是让学生对曲线的方程的认识经历从“观念”到“概念”的螺旋上升过程，又使后续研究圆锥曲线等内容的理论基础，使得学生对曲线与方程的关系有一个更加系统、完整的认识，更为重要的是，人们可以借助曲线与方程之间互为表示的等价关系，通过方程来研究曲线，因此，“曲线的方程”与“方程的曲线”概念是解析几何的核心概念，
2.内容解析
“曲线的方程”与“方程的曲线”的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线，
在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有惟一的方程，任何方程也都有惟一确定的曲线（或点集），曲线与方程之间的一一对应的关系，是通过曲线上的点所成的集合与方程所有解所构成的集合之间存在一一对应关系来建立的，定义中，条件（1）中“都”字阐明了曲线上每一点的坐标都满足方程，保证了曲线对于方程的纯粹性；同样地，（2）中“都”字阐明了符合条件的所有点都在曲线上，保证了曲线对于方程的完备性，纯粹性与完备性合起来，保证了曲线与方程的等价性，这是曲线的方程概念的本质属性，
从集合角度看，如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应点的集合记作日，那么定义中（1）用集合关系表示就是A∈B，定义中（2）用集合关系表示就是B∈A，两者合起来即A=B，这是从集合角度对曲线与方程关系的解释，
“曲线的方程”与“方程的曲线”是同一事物的两种表现形式，只是定义的主体不同，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形，“曲线与方程”概念所界定的既不是具体直观的曲线，也不是具体实在的方程，而是它们之间相互的“隶属关系”，跨越几何和代数两界，认识这种隶属关系并能应用，是教学的着力点和落脚点，
“曲线与方程”一方面要从形到数，即绘出曲线，写出相应方程；另一方面要从数到形，即给出方程及其要求，画出相应曲线，揭示几何中的形与代数中的数相互统一的关系，体现解析几何的核心——数形结合的思想，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，是数学方法论上的一次飞跃，
3.学情分析
3.1知识与认知基础
就学生而言，在这节课之前，他们已经在必修课程《数学2》的直线与方程、圆与方程中，讨论了曲线与方程的关系，加上初中和高一学过的函数在内，学生已有了曲线与方程的初步观念（还不能说是“概念”），有了一定的感性认识，也有了处理相关问题的基本数学活动经验，这是学生学习曲线与方程的认知基础，是学生理解曲线与方程概念的最近发展区，
3.2可能的理解障碍
首先，学生在学习曲线与方程概念之前，对曲线与方程的关系更多是从整体、宏观角度认识的，一般情况下，会认为直线就是直线、圆就是圆，不会想到把它们看作满足某种条件的点的集合，方程就是方程，不会想到把它们看作满足某种条件的解的集合，而曲线与方程概念是通过“曲线上的点”和“方程的解（有序实数对）”之间一一对应关系来定义的，这种考察问题角度与思维方式的变化会导致学生理解上的思维障碍，因此，教学设计的着力点是借助实例，将学生对曲线与方程之间的“能相互替代”“等价”“不多不少”等观念进行精确描述，将已有观念明确化、概念化，
其次，在经历由直观表象上升到抽象概念的过程中，学生容易对定义中为什么要规定两个方面产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，同时学生易将定义中的（1）（2）两点孤立开来，认为曲线上的点的坐标都是方程的解，那么曲线就是方程的曲线，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么方程就是曲线的方程，未能将两个方面统一起来，因此，教学要通过对正、反例的充分辨析，引导学生明确概念的内涵与外延，认识到曲线的方程与方程的曲线是同一事物的两种表现形式，
再次，之前学生求得的直线或圆往往是一条完整的直线或一个完整的圆，不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题，而进入到一般的曲线的研究过程，在给定曲线一部分确定其方程时，学生会受函数定义域与值域负迁移的影响，出现变量范围错误的现象，例如，对单位圆的上半圆（不含端点），其方程应为X2+y2=1（y>o），学生会写成X2+y2=1（-1
4.1关注知识体系的螺旋上升
教师要从全套教材的结构来认识曲线与方程的地位，弄清知识的前后安排顺序，把握好要求，体现知识体系的螺旋上升过程，教学要循序渐进，水到渠成，在函数教学中，要让学生体会到直角坐标系中的点与其坐标的一一对应关系；在直线与方程、圆与方程的内容学习中，要明确提出曲线上的点与方程的解的对应关系，使学生能熟练地判断给定坐标的点是否在曲线上，熟悉曲线上点的坐标求法，为得出曲线的方程概念埋下伏笔；在圆锥曲线方程的内容学习中，引导学生进一步体会“曲线的方程”与“方程的曲线”的关系，强化概念的理解，
4.2重视概念的生成过程
从既要让学生理解“曲线与方程”的概念、又要让学生体会“为什么要引入这个概念”出发，以学生熟悉的“直线与方程”“圆与方程”为载体，在给出抽象概念之前，通过实例，让学生建立起“纯粹性”“完备性”的充分体验，体会到引入曲线与方程概念的必要性与合理性后，再给出严格的数学定义，并借助反例引导学生进行概念辨析，使学生从内心接受“曲线的方程”“方程的曲线”这样“颠来倒去”的数学定义，再通过给出曲线写方程、给出方程画出曲线的图象，以及证明“已知方程是给出曲线的方程”等问题的探究，让学生充分理解“曲线与方程”这一概念的内涵与外延，领悟定义中①②的缺一不可性，把握概念的深层结构，
4.3善于举例，使抽象概念具体化
由于“曲线与方程”的概念比较抽象，教学要通过简单、具体而又较为丰富的例子（直线、圆及其变式）完成概念同化，在概念应用中通过进一步的变式训练完成概念的顺应，从而建立起良好的认知结构，教学时，应该为学生提供各种感性材料，不断改变其表现形式，合理运用变式，使学生从不同的角度去认识概念的本质属性，其中，反例（非概念变式）的引入对于概念的正确理解、防止或纠正学生各种可能的错误观念具有重要作用，
4.4充分发挥现代教育技术的作用
由于曲线的方程概念的高度抽象性，教学可借助一些软件（如几何画板等）加强几何直观，使学生进一步理解曲线与方程的关系，如在概念的生成阶段，利用几何画板的可操作性，拖动曲线上的点，观察其坐标是否满足方程，由学生说点坐标，再绘制出点验证其在不在曲线上，给学生直观的体验，让学生初步体验曲线上的点与方程的解之问的对应关系，体会数与形之问的内在联系，为学生深刻理解曲线与方程的本质奠定基础，
