深度理解 揭示本质

    徐芬

    

    

    

    [摘? 要] 教师对“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学的高度. 宏观角度讲，这种理解水平体现在教者对章、单元、一节课的整体设计上;从微观角度讲，这种理解水平表现在教师对例题、练习等具体问题的分析引导上. 文章从微观角度，以代数中常见的两个计算题和两个应用题为例，探讨教师应该怎样进行深度理解，才能带领学生触及问题本质，提升学生的学科能力.

    [关键词] 深度理解;问题本质;数学学科能力

    章建跃博士提出，“理解数学、理解学生、理解教学”是教师专业发展的基石. 章博士特别指出，“教师下功夫于中学数学核心概念、思想方法及其结构体系的理解. ”笔者多年的教学体会是，教师的这种理解水平，从宏观角度讲，体现在教者对章、单元、一节课的整体设计上;从微观角度讲，表现在教师对例题、练习等具体问题的分析引导上. 《义务教育数学课程标准》指出，初中数学教学要从关注学习结果转变到不仅关注结果而且关注学习过程、方法、态度与价值观. 当教师真正关注学生的学习过程时就会发现，学生数学学科能力的“缺陷”折射出的是教师教学时未能达到应有的高度，未能做到深度理解、揭示本质.

    案例1

    1. 问题呈现

    八年级的学生学习“分式”一章时，做了这样一道练习题：

    先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题.

    =1-，=-，=-…

    （1）计算：++++=__________;

    （2）探究：+++…+=__________（用含有n的式子表示）;

    （3）若+++…+=，求n的值.

    对全年级近504名同学的得分情况进行统计，发现85%的同学答对了第（1）题和第（2）题，3个题目全部正确的比例不到65%，即超过30%的同学没有完成第（3）题. 笔者与答对了第（3）题的部分同学交流，问他们当时是怎样想到的，基本是因为在小学学习时老师讲过此问题，加上（1）（2）两题做了铺垫. 不到65%的正确率与命题时预设的75%的正确率相差较大.

    2. 成因分析

    从学生的答题情况来看，有近15%的同学得了0分，这部分学生的数学基础相当令人担忧，其中不乏弃学的学生. 近三分之一的学生错解了第（3）题. 错解大部分是这种情形：-+-+-+…+-=. 从学生作答的过程可以看出，学生受到（1）（2）两小题的启发而想到了兩分数相减，但是没有注意到变形后所得到的式子是原式的2倍. 笔者分析产生这一错误的原因，认为有部分学生是非智力因素的问题，比如粗心，观察得不仔细，没能发现问题与问题之间的差异，学习习惯不好，没有进行验算等. 笔者认为，学生解此题时未能注意到“差别”，没能正确“迁移”，其背后的原因是学生分析问题和解决问题的能力未达到应有的水平. 那么，分析错误成因能给我们的课堂教学带来什么样的思考呢？

    3. 引发思考

    陕西师范大学罗增儒教授在解读与分析“教学应是一种学术活动”时说：“教学既是科学又是艺术. ”笔者的理解是，数学首先是科学，教学有方法. 课堂上教师是主导，教师首先要深度理解教学内容，要关注学生的学习过程及学生思维能力的提升，再用恰当的活动引领学生探寻问题的本质，从而提升学生的学科能力. 本题中，其“本质性”的内容是什么呢？作为教师我们知道，第（3）题方程的左边是数列之和，其通项是. 对初中生而言，就是要发现方程左边的每一项或者说每个数的组成规律，且能用字母表达出这个规律，然后根据第（1）题的解题经验把一个数写成两个数的差，进而求和. 实际上，用字母表示数已经隐含在题目之中了，但学生未必能意识到. 本题的关键点有两个：一是观察并理解第（2）题中的每个数都可以表达成，第（3）题中的每个数都可以表达成. 第二个关键点是每个分数都可以写成两数差的形式，即=-，=

    -. 教师引导学生体会用字母表示数的意义，感受从“特殊”到“一般”的数学思想方法. 这两个关键点就是教师课堂教学时要带领学生探索的“本质性”内容. 教学中还可以进行拓展，如=

    -，再让学生自己举出一组数并求和. 从能力角度分析，上述问题有两个层级：学生根据第（1）（2）两题的解题经验，猜测到新的结论并验算后得到第（3）题的解法，这是一个合情推理的过程，是较弱能力层级;思考后发现=-，=

    -是通分的逆向运用，发生了逆向思维，是演绎推理，属于较高的能力层级. 显然，课堂教学中不能仅仅停留在较弱的能力层级上，教师既要注意到，绝不是所有的学生都能轻而易举地完成这个推理思考过程，教师还要站在较高的高度上引领学生的思维向更加深刻、灵活、批判的方向发展，课堂教学的发力点要彰显本质性内容.

    本题也可以利用数形结合的思想来解决，如图1～图4所示，其中图中的正方形的边长均为1.

    于是图1～图4阴影部分的面积分别为：

    1-=，-=，-=，…，-=.

    又+++…+可以理解为图4中正方形的面积减去阴影部分的面积，所以+++…+=1-=.

    所谓深度理解，就是教师要多角度地理解教学内容，再用恰当的方式施教，这样才能体现出“教学应是一种学术活动”.

    “分式通分”的教学片段：确定分式，，的最简公分母.

    一般的教学流程是，教师带领学生一起研讨. 第一步，确定最简公分母的系数，即取各分母中系数的最小公倍数;第二步，取所有字母及其最高次幂;第三步，第一步和第二步结果的乘积即为最简公分母. 观察学生的作业会发现，有些学生恰恰是不会找各分母中系数的最小公倍数. 理论上，确定数的最小公倍数是小学的学习内容，现在进入“式”的学习，于是这里就可以把数和式进行统一，寻找最小公倍数时就不用去画短除法了. 教学中，教师可以带领学生做如下思考：把系数分解质因数后，用字母来表示质因数，那么最简公分母就是所有字母及其最高次幂的积. 由此，便做到了数和字母的统一，也是“特殊”和“一般”关系的表现，从而彰显了问题的本质. 这样的教学方式能让学生有豁然开朗的感觉，也能让他们再次加深“对字母表示数”意义的认识，避免简单模仿式的、程序化式的学习，从而发生“深度学习”.

    教师对教学内容的深度理解就是要透过表象看本质，用自己打开了的思维去打开学生的思维. 教师的作用是引导学生养成挖掘问题本质的思考习惯，切忌一算了之.

    案例3

    九年级上册“一元二次方程应用题”教学片段.

    题目呈现：把一个边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.

    （1）略.

    （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）.

    应用题教学时，很多教师会有这样的困惑：讲了很多，学生也练习了很多，可就是不怎么会. 背后有哪些原因呢？学生解决应用题时的第一大障碍是阅读困难，即无法用自己的理解描述题意;第二大障碍是选择模型障碍，即不确定是借助方程、函数还是不等式（组）来解决问题. 這道应用题表面上看字数不多，学生阅读起来并不困难，但实质是考查学生的“转化”数学思想及空间想象能力. 字面上看，是把平面图形裁剪后成为立体图形，即平面图形问题→立体图形问题，其实质是考查学生的“逆向”思考能力，即立体图形问题→平面图形问题，这是解决此问题的关键所在. 画立体图形的平面展开图时会出现如图5所示的四类情况，从而便理解了题目中“只需求出符合要求的一种情况”的这一要求.

    再如，某服装店花3000元购进一批服装，按50%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买. 结果又一次打折才售完. 经结算，这批服装共盈利645元. 若两次打折相同，则每次打?? ? ? ? 折.

    学生知道用“换元法”可以快速地解决某些方程，而“换元法”的本质就是“整体代入”思想. 如果学生有了“整体”的概念，那么解决此应用题就会得心应手. 在这里，“花3000元购进一批服装”可以理解成“花3000元购买了一件服装”，那么理解整个题目的难度系数立即降低了许多，问题便可迎刃而解.

    教师是主导. 教师的主导作用体现在课堂教学的整体设计和教学组织上，也更多地体现在教师对各种具体问题的剖析上，体现在如何引导学生把本质的内容即数学思想方法挖掘出来. 在挖掘、探索的过程中，学生的思维品质会自然而然地得到提升. 教师对具体问题的理解、分析和深度解读，就如一颗颗珍珠，引导学生的过程就如一条金链，金链串上珍珠将闪出耀眼的光芒. 教师的理解有深度了，那教学就会有高度.