探析杆模型受力与做功的问题
刘扬春
摘 要：杆可分为轻杆（杆的重力可忽略）和非轻杆（杆的重力不可忽略），轻杆产生的弹力可以沿杆的方向，也可以沿其它方向。自由转动的轻杆因只能发生拉伸（或压缩）形变，产生的弹力一定沿杆的方向，对物体不做功；而一端固定的轻杆能发生不同方向的形变，产生的弹力可以不沿杆的方向，可由力的平衡或牛顿第二定律确定方向，对物体可能做功。非轻杆由于重力作用产生的弹力也可能不沿杆的方向，对物体可能做功。
关键词：杆；受力问题；做功问题
物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对与它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。当杆因受外力作用而发生拉伸（或压缩）形变时会产生径向的弹力，即沿杆的方向；而当杆发生弯曲形变时产生切向的弹力，即沿垂直杆的方向；如果同时发生多种形变产生的弹力就可能沿其它任意方向。
杆可分为轻杆（杆的重力可忽略）和非轻杆（杆的重力不可忽略）。轻杆又可分为可自由转动的轻杆和固定轻杆，可自由转动的轻杆只能发生拉伸（或压缩）形变，产生的弹力一定沿杆的方向；固定的轻杆能发生不同方向的形变，产生的弹力可沿任意方向，可由力的平衡或牛顿第二定律确定方向。非轻杆，由于重力作用，会发生不同方向的形变，弹力可能沿任意方向。
下题是普通高中课程标准实验教科书物理1 P88作业第4题 [1 ]：
如图1所示：一塔式起重机钢索与水平悬臂的夹角θ=30°。当起重机吊着一件重G=3.0×104N的货物时，钢索和悬臂各受多大的力？（不考虑钢索和悬臂自身受到的重力）
教师用书答案是 [2 ]：挂在悬臂O点的重物要对O点产生一个竖直向下的拉力作用，该拉力F的大小等于重物所受的重力G。该力的实际作用效果有两个，一是对悬臂水平向左的压力F1，二是对钢索斜向右下的拉力F2（如图2所示）。
笔者从工地上观察到悬壁是固定在支架上而不是转轴（如图1），属于固定杆模型，因此悬壁受到的压力方向不是沿杆的方向，笔者认为仅本题的条件无法求出两个力的大小。笔者将杆分为轻杆和非轻杆，通过杆的受力和做功两个方向探析杆的物理模型。
1 轻杆模型
1.1 自由转动轻杆受力与做功问题
1.1.1 自由转动轻杆的弹力一定沿杆的方向
【案例1】如图3是传统压榨机的原理结构示意图，O为活动铰链，物块M和滑块N通过铰链与杆OM和ON相连接，物块M固定，滑块N可上下自由运动，在O处施加一水平向左的力F，滑块N对物体P压力比F大得多，已知图中L=1m，a=0.1m，F=1000N，求物体P受到压力多大？（不计滑块、杆的重力以及一切摩擦力）
【分析】力F的作用效果是对OM、ON两轻杆沿杆的方向产生挤压， 因此可将F沿杆OM、ON方向分解为F1、F2，如图4（a）所示。
得：F=2F2cosα①
力F2的作用效果是使滑块N对左壁有水平向左的挤压作用，对物体P有竖直向下的挤压作用， 因此，可将F2分解为竖直向下的力F3和水平向左的力F4，如图4（b）所示。
1.1.2 自由转动的轻杆对物体不做功
自由转动的轻杆对物体的弹力一定沿径向方向，在转动过程中，弹力与瞬时速度始终垂直，对物体不做功。
【案例2】如图5所示，长为L轻杆的一端可绕O点在竖直平面内自由转动，一质量为m的小球固定在轻杆的另一端，将轻杆水平放置后自由释放，当小球运动到最低点时，小球的速度大小为多少？（不计空气阻力）
【分析】本题轻杆可在竖直平面内自由转动，只能发生沿径向拉伸形变，而不能发生切向弯曲形变，因而只能产生径向的弹力，而不能产生切向的弹力，而径向的弹力与小球的瞬时速度方向始终垂直，没有做功，小球只有重力做功，机械能守恒。
1.2 固定轻杆的弹力
固定轻杆的弹力可能沿任意方向。
【案例3】如图6所示，水平轻杆AB的一端固定在墙壁上，另一端安装一定滑轮B。一轻绳的一端悬挂一质量为30kg的重物，另一端跨过滑轮后固定于墙壁上C点，已知∠ABC=30°，则轻杆对滑轮弹力大小和方向为（g取10m/s2） （ ）
A.150N、方向由A指向B
B.150N、方向在两绳夹角平分线且斜向上
C.300N、方向由A指向B
D.300N、方向在两绳夹角平分线且斜向上
【分析】本题轻杆AB属于固定的轻杆，其弹力的方向可由力的平衡求解，因为绳子的拉力为T=G=300N，而两绳方向之间夹角为120°，故两绳对滑轮的合力也为300N。由力的平衡得轻杆对滑轮弹力大小为300N，方向在两绳夹角平分线方向上，故本题D选项正确。
【案例4】如图7所示，在水平路面上，一小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。当小车向左以加速度大小为a做匀加速直线运動时，求杆对小球的弹力的大小和方向。
由图9可知，轻杆对小球的作用力方向与加速度大小有关，它的方向不一定沿着杆的方向。
由案例3、4可知，固定轻杆的弹力方向不一定沿杆的方向，可能沿其它任意方向，因此笔者认为上述教材的习题解答不合理。
2 非轻杆模型
自由转动的杆中，如果杆连接着两个或以上的质量不可忽略的物体时，那么在研究其中一个物体的受力时，自由转动的杆就不能看作轻质的杆模型，应看作有重力作用的杆，此种情况杆不仅会产生拉伸形变，也会发生弯曲形变，杆对物体的弹力就不沿杆的方向，在转动过程中，杆对这个物体就有做功。
【案例5】如图10所示，一硬杆能绕中点O自由转动，两端固定甲、乙两个小球，质量分别为m甲和m乙（m甲
A.甲球的动能增加，重力势能也增加，甲球机械能不守恒
B.乙球的动能增加，重力势能减少，乙球的机械能守恒
C.杆对甲球、乙球均有做功
D.甲球、乙球组成的系统机械能守恒
【分析】杆在转动过程中，由于杆两边小球重力作用，使杆发生拉伸形变和弯曲形变，分别产生切向和径向的弹力，径向方向的弹力与瞬时速度方向始终垂直不做功，而切向方向的弹力与瞬时速度方向在同一直线上，有做功。
如图11所示，对乙球的切向弹力F乙切向与速度方向v乙相反， F乙切向做负功，乙球的机械能不守恒且在减少；对甲球的切向弹力F甲切向与速度方向v甲相同， F甲切向做正功，甲球的机械能不守恒且在增加。由于甲球、乙球系统只有重力做功，系统机械能守恒。所以A、C、D选项正确。本题错解中，大多同学认为杆对两个小
球的作用力沿杆的方向，杆对小球不做功，误认为每个小球的机械能守恒。
本题中的杆两边都有小球，不能认为是自由转动的轻杆模型。可以类推，下题中的杆也不可认为是自由转动的轻杆模型。
【案例6】如图12所示，一杆可绕O点在竖直平面内自由转动，OA=AB=L。在杆上A、B两点固定质量都为m的小球，将杆拉成水平后，由静止开始释放，若不计一切摩擦和空气阻力，当杆转动到竖直方向时，求：
（1）B 球的速度大小。
（2）杆對小球A和B所做的功是分别多少？
【分析】此题容易错误认为两个小球在转动过程中机械能守恒， 而事实上若研究其中一个球时，杆就不能看作自由转动的轻杆，杆会发生微小弯曲形变，对物体的弹力不沿杆的方向，杆对 A球或B球均有做功， 并使A或B机械能不守恒， 但是 A、 B组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的。
所以本题中杆对A、B两球均有做功，且杆对两球总功为零，系统只有重力做功 ，系统机械能守恒。
因此，在研究杆模型受力和做功问题时，应该先判断杆是否属于轻杆模型，若属于轻杆，再判断是属于可自由转动的轻杆还是属于固定的轻杆，最后通过形变的方向判断弹力的方向，然后再判断做功情况。
杆模型受力和做功归纳如下：
（1）轻杆模型
①可自由转动轻杆，弹力沿杆的方向，对物体不做功。
②固定轻杆，弹力可沿任意方向，对物体可能做功。
（2）非轻杆模型
弹力可沿任意方向，对物体可能做功。
总之，只有可自由转动轻杆的弹力一定沿杆的方向，其它模型的杆的弹力可沿任意方向。
参考文献：
[1]中学物理教材编学组.普通高中课程标准实验教科书物理1（必修）（第4版）[M].济南：山东科学技术出版社，2011.
[2]中学物理教材编学组.普通高中课程标准实验教科书物理1（必修）（第4版）教师用书[M].济南：山东科学技术出版社，2012.
摘 要：杆可分为轻杆（杆的重力可忽略）和非轻杆（杆的重力不可忽略），轻杆产生的弹力可以沿杆的方向，也可以沿其它方向。自由转动的轻杆因只能发生拉伸（或压缩）形变，产生的弹力一定沿杆的方向，对物体不做功；而一端固定的轻杆能发生不同方向的形变，产生的弹力可以不沿杆的方向，可由力的平衡或牛顿第二定律确定方向，对物体可能做功。非轻杆由于重力作用产生的弹力也可能不沿杆的方向，对物体可能做功。
关键词：杆；受力问题；做功问题
物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对与它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。当杆因受外力作用而发生拉伸（或压缩）形变时会产生径向的弹力，即沿杆的方向；而当杆发生弯曲形变时产生切向的弹力，即沿垂直杆的方向；如果同时发生多种形变产生的弹力就可能沿其它任意方向。
杆可分为轻杆（杆的重力可忽略）和非轻杆（杆的重力不可忽略）。轻杆又可分为可自由转动的轻杆和固定轻杆，可自由转动的轻杆只能发生拉伸（或压缩）形变，产生的弹力一定沿杆的方向；固定的轻杆能发生不同方向的形变，产生的弹力可沿任意方向，可由力的平衡或牛顿第二定律确定方向。非轻杆，由于重力作用，会发生不同方向的形变，弹力可能沿任意方向。
下题是普通高中课程标准实验教科书物理1 P88作业第4题 [1 ]：
如图1所示：一塔式起重机钢索与水平悬臂的夹角θ=30°。当起重机吊着一件重G=3.0×104N的货物时，钢索和悬臂各受多大的力？（不考虑钢索和悬臂自身受到的重力）
教师用书答案是 [2 ]：挂在悬臂O点的重物要对O点产生一个竖直向下的拉力作用，该拉力F的大小等于重物所受的重力G。该力的实际作用效果有两个，一是对悬臂水平向左的压力F1，二是对钢索斜向右下的拉力F2（如图2所示）。
笔者从工地上观察到悬壁是固定在支架上而不是转轴（如图1），属于固定杆模型，因此悬壁受到的压力方向不是沿杆的方向，笔者认为仅本题的条件无法求出两个力的大小。笔者将杆分为轻杆和非轻杆，通过杆的受力和做功两个方向探析杆的物理模型。
1 轻杆模型
1.1 自由转动轻杆受力与做功问题
1.1.1 自由转动轻杆的弹力一定沿杆的方向
【案例1】如图3是传统压榨机的原理结构示意图，O为活动铰链，物块M和滑块N通过铰链与杆OM和ON相连接，物块M固定，滑块N可上下自由运动，在O处施加一水平向左的力F，滑块N对物体P压力比F大得多，已知图中L=1m，a=0.1m，F=1000N，求物体P受到压力多大？（不计滑块、杆的重力以及一切摩擦力）
【分析】力F的作用效果是对OM、ON两轻杆沿杆的方向产生挤压， 因此可将F沿杆OM、ON方向分解为F1、F2，如图4（a）所示。
得：F=2F2cosα①
力F2的作用效果是使滑块N对左壁有水平向左的挤压作用，对物体P有竖直向下的挤压作用， 因此，可将F2分解为竖直向下的力F3和水平向左的力F4，如图4（b）所示。
1.1.2 自由转动的轻杆对物体不做功
自由转动的轻杆对物体的弹力一定沿径向方向，在转动过程中，弹力与瞬时速度始终垂直，对物体不做功。
【案例2】如图5所示，长为L轻杆的一端可绕O点在竖直平面内自由转动，一质量为m的小球固定在轻杆的另一端，将轻杆水平放置后自由释放，当小球运动到最低点时，小球的速度大小为多少？（不计空气阻力）
【分析】本题轻杆可在竖直平面内自由转动，只能发生沿径向拉伸形变，而不能发生切向弯曲形变，因而只能产生径向的弹力，而不能产生切向的弹力，而径向的弹力与小球的瞬时速度方向始终垂直，没有做功，小球只有重力做功，机械能守恒。
1.2 固定轻杆的弹力
固定轻杆的弹力可能沿任意方向。
【案例3】如图6所示，水平轻杆AB的一端固定在墙壁上，另一端安装一定滑轮B。一轻绳的一端悬挂一质量为30kg的重物，另一端跨过滑轮后固定于墙壁上C点，已知∠ABC=30°，则轻杆对滑轮弹力大小和方向为（g取10m/s2） （ ）
A.150N、方向由A指向B
B.150N、方向在两绳夹角平分线且斜向上
C.300N、方向由A指向B
D.300N、方向在两绳夹角平分线且斜向上
【分析】本题轻杆AB属于固定的轻杆，其弹力的方向可由力的平衡求解，因为绳子的拉力为T=G=300N，而两绳方向之间夹角为120°，故两绳对滑轮的合力也为300N。由力的平衡得轻杆对滑轮弹力大小为300N，方向在两绳夹角平分线方向上，故本题D选项正确。
【案例4】如图7所示，在水平路面上，一小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。当小车向左以加速度大小为a做匀加速直线运動时，求杆对小球的弹力的大小和方向。
由图9可知，轻杆对小球的作用力方向与加速度大小有关，它的方向不一定沿着杆的方向。
由案例3、4可知，固定轻杆的弹力方向不一定沿杆的方向，可能沿其它任意方向，因此笔者认为上述教材的习题解答不合理。
2 非轻杆模型
自由转动的杆中，如果杆连接着两个或以上的质量不可忽略的物体时，那么在研究其中一个物体的受力时，自由转动的杆就不能看作轻质的杆模型，应看作有重力作用的杆，此种情况杆不仅会产生拉伸形变，也会发生弯曲形变，杆对物体的弹力就不沿杆的方向，在转动过程中，杆对这个物体就有做功。
【案例5】如图10所示，一硬杆能绕中点O自由转动，两端固定甲、乙两个小球，质量分别为m甲和m乙（m甲
A.甲球的动能增加，重力势能也增加，甲球机械能不守恒
B.乙球的动能增加，重力势能减少，乙球的机械能守恒
C.杆对甲球、乙球均有做功
D.甲球、乙球组成的系统机械能守恒
【分析】杆在转动过程中，由于杆两边小球重力作用，使杆发生拉伸形变和弯曲形变，分别产生切向和径向的弹力，径向方向的弹力与瞬时速度方向始终垂直不做功，而切向方向的弹力与瞬时速度方向在同一直线上，有做功。
如图11所示，对乙球的切向弹力F乙切向与速度方向v乙相反， F乙切向做负功，乙球的机械能不守恒且在减少；对甲球的切向弹力F甲切向与速度方向v甲相同， F甲切向做正功，甲球的机械能不守恒且在增加。由于甲球、乙球系统只有重力做功，系统机械能守恒。所以A、C、D选项正确。本题错解中，大多同学认为杆对两个小
球的作用力沿杆的方向，杆对小球不做功，误认为每个小球的机械能守恒。
本题中的杆两边都有小球，不能认为是自由转动的轻杆模型。可以类推，下题中的杆也不可认为是自由转动的轻杆模型。
【案例6】如图12所示，一杆可绕O点在竖直平面内自由转动，OA=AB=L。在杆上A、B两点固定质量都为m的小球，将杆拉成水平后，由静止开始释放，若不计一切摩擦和空气阻力，当杆转动到竖直方向时，求：
（1）B 球的速度大小。
（2）杆對小球A和B所做的功是分别多少？
【分析】此题容易错误认为两个小球在转动过程中机械能守恒， 而事实上若研究其中一个球时，杆就不能看作自由转动的轻杆，杆会发生微小弯曲形变，对物体的弹力不沿杆的方向，杆对 A球或B球均有做功， 并使A或B机械能不守恒， 但是 A、 B组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的。
所以本题中杆对A、B两球均有做功，且杆对两球总功为零，系统只有重力做功 ，系统机械能守恒。
因此，在研究杆模型受力和做功问题时，应该先判断杆是否属于轻杆模型，若属于轻杆，再判断是属于可自由转动的轻杆还是属于固定的轻杆，最后通过形变的方向判断弹力的方向，然后再判断做功情况。
杆模型受力和做功归纳如下：
（1）轻杆模型
①可自由转动轻杆，弹力沿杆的方向，对物体不做功。
②固定轻杆，弹力可沿任意方向，对物体可能做功。
（2）非轻杆模型
弹力可沿任意方向，对物体可能做功。
总之，只有可自由转动轻杆的弹力一定沿杆的方向，其它模型的杆的弹力可沿任意方向。
参考文献：
[1]中学物理教材编学组.普通高中课程标准实验教科书物理1（必修）（第4版）[M].济南：山东科学技术出版社，2011.
[2]中学物理教材编学组.普通高中课程标准实验教科书物理1（必修）（第4版）教师用书[M].济南：山东科学技术出版社，2012.
