基于数学核心素养视角的单元设计

    刘英英

    

    

    [摘? 要] 通过单元“整体”设计整体把握课程核心内容，宏观学科核心素养、中观课程标准、微观教学内容相联结，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程. 文章以一元二次方程章单元为例从核心素养分析、课标分解、版本对比、单元目标设计、评价设计五个角度进行阐述.

    [关键词] 核心素养;单元设计;课标分解

    2017年《普通高中数学课程标准》明确提出数学学科六大核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，六个核心素养既相对独立亦相互交融. 素养具有连续性和阶段性，学生的学习也是如此的，因此学科核心素养最终是要落实在平时的教学中，那么作为日常教学这个最重要的底层基础平台，如何为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，如何以课程为载体进行设计和教学，整体把握课程核心内容，培养真实学力，为学生谋求长远的利益，值得我们思考和践行.

    单元教学设计是基于学科知识内在逻辑和思想方法，运用系统方法对某个单元或某些相关联的课程资源，从整体出发逐层分解、组合构建、有机整合的一种构想. 单元设计立足于学科核心素养的维度，以课标为纲、着力于策略、着手于学情，突出的是建构过程. 打破“课时约束”，将碎片知识点整体架构，对教学策略有序整合，突出的是内容的整体性、阶梯性，目标的过程性、层序性，过程的生本性、创造性，引导的是思维，实现的是进阶. 通过单元“整体”设计，教师的头脑中会有一副“完整的图画”，根据这幅“图画”目的性更强，台阶设置效度更高. 单元设计给予学生的是学科素养的渐进建构，给予教师的是规划力. 单元设计中的“单元”可以是教材中的章，也可以是“章”的整合，可以是以数学方法为主线、知识间的关系为架构进行重组，也可以是实践项目.

    单元设计的路径如图1.

    下面笔者以北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》为例，进行学科核心素养分析及单元教学设计.

    数学核心素养分析

    《一元二次方程》是义务教育阶段数学最后一个方程，前面一元一次方程、二元一次方程及方程组的学习，学生体会了“元”的扩展，一元二次方程则实现 “次”的提升. 主要内容包括：概念、解方程、解决实际问题，而这恰好是研究学习方程、不等式内容的共同路径. 用方程简约表述数量关系，在抽象和模型的大背景之下研究一元二次方程的概念和解法，是全章的重点，同时也是难点.

    （一）概念的形成

    教材中概念引入设置了3个不同的问题情境“教室铺设地毯、5个连续整数、墙上的梯子滑动问题”，通过构建等量关系，观察、分析、寻找它们的共同点，抽象出隐藏在具体问题中的一般规律和结构，用简洁的符号语言表征共性的问题，用有限的字母表示无限的生活背景，在这个过程中学生经历了从数字到字母，从具体到抽象，从眼见为实到想到为实，眼见“铺地毯”想到“梯子下滑”， 这就是数学抽象的过程.

    （二）解方程

    解一元二次方程“核”是降次，是基本策略，是知识主线基础上突出思维训练的一条暗线. 配方法是推导求根公式的工具，前涉及完全平方公式的恒等变形，后为二次函数做铺垫，因式分解法是整式乘法的逆运算，突出的是“降次”“逆向”，置于公式法之后，目的不仅是让学生体会结论之间的逻辑关系，更让学生在过程中积累研究问题的角度和思路，从整体思想“集成”眼光，转化思想“如何转”“怎样转”……，在建构新知时敢于探索，善于思考，让思考成为行为习惯和思维模式，这就是逻辑推理. 解方程属于运算，而运算的实质是逻辑推理，依据题目的特征挖掘信息→定义、公式、法则的准确运用→选择合理运算方法→简化运算，在这样的过程中目标明确“x=a”有理有据是核心.

    （三）实际应用

    教材例题及练习提供了丰富的问题背景——《九章算术》中的“勾股”问题，印度古算书中“猴子”问题，围鸡场、道路设计、增长率、台风问题、握手问题……情景的多样性、层次性，让学生感知数学的魅力与价值. 学生运用方程工具解决问题，将问题情景转化为数学问题→第一步抽象，确定等量关系、设列方程数学表述→第二步逻辑推理、数学表达，解答方程得到结论→第三步运算能力、数学模型，解决问题的过程其实就是数学化的过程，问题策略多样化的过程是学生从知识层级逐步转移到思维层级的过程，从经验到素养，思维正迁移，掌握知识的同时渗透数学的意识，这就是核心素养的养成过程.

    课标分解

    根据课程标准、教材、学生与资源等具体情况，将课程标准中有关内容的行为标准分解成具体的、可操作的、可评价的教学结果目标，即课程标准的具体化.

    （一）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 这里的“体会”是指通过认识、概括、运用三个步骤引导学生在具体的情境中，用一元二次方程语言描述实际情景中的数量关系，进而体验模型的抽象性、简化性和结构性.

    （二）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 这里的“理解”包括两层含义，（1）明确配方法的核心——配完全平方;（2）明晰算理逻辑清晰，能够准确判断前提条件是恒等变形还是等式性质. 这里的“能”包含三种解法从何来，它们的共同点与不同点，三种解法能够根据题目特征进行算法选择和策略优化.

    （三）能用一元二次方程根的判別式判别方程是否有实根和两个实根是否相等. 这里的“能”包含对方程的根的再认识，（1）能举例说明未知数系数变化对一元二次方程根的影响;（2）在不解方程的情况下会判断、能表述.

    （四）了解一元二次方程的根与系数的关系. “了解”说明这部分对初中学生的要求达到“知道、认识”即可，属于低阶思维的要求，即由根的情况判断系数关系，由系数关系判断根的情况.

    （五）经历估计一元二次方程解的过程，进一步培养估算意识和能力，发展数感. 这里的“估计”，不仅仅在于求解，还包括直观探究方程性质，初步感悟代数式求值的计算也是方程求解的有效途径，为后续高中二分法学习奠定基础.

    各版本对比分析

    （一）《人教版》章节小结中强调“比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数，你能写出这些方程的一般形式吗？”通过不同方程之间的对比、归纳，找共性、寻差异，强化符号意识（即“一般形式”），体会方程的模型思想.

    （二）《浙教版》一元二次方程章节紧跟在二次根式内容之后，这样的顺序帮助学生更加明晰代数式与方程之间的微妙联系，为直接开平方储备知识、奠定基础.

    （三）《华师大版》没有提供实际问题背景，而是直接给出关于方程的问题，让学生观察、发现、对比、感受方程间的关系. 明确给出了“直接开平方法”的概念，并且后面紧接着是“因式分解法”的介绍，而非“配方法”.

    （四）《北师大版》注重实际问题的引入，让学生在解决问题的过程中体会解一元二次方程的实质.

    （五）对比教材内容及编排顺序会发现：

    1. 问题情境是起点也是终点，因此在确定单元目标进行教学设计时应该以多元多样的实际问题为背景，以模型思想为核心，以“转化”为基本策略.

    2. 四个版本都强调了对已学过的方程的对比梳理，所以单元目标的设计要关注过程，关注学生运用方程的思想分析问题、解决问题的意识和能力.

    3. 北师版和人教版没有直接开平方法，但直接开平方法与学生已有的知识储备距离最近且难度最低，因此可以根据学情借助直接开平方法为学生搭建知识“攀爬架”，让新知生长有根，思维成长有方向.

    基于数学核心素养的视角阅读课程内容、分解课程标准，进行单元整体设计.

    单元整体目标设计

    （一）知识与技能

    1. 能从实际问题中建立数量之间的相等关系，并用字母表示一元二次方程的概念，能够清晰说明概念中的隐含条件;

    2. 会推导配方法，能够根据题目有效信息选择恰当的算法，正确解答一元二次方程并进行策略优化;

    3. 能利用方程模型解决实际问题，会检验且能检验根的合理性，并做出正确判断;

    4. 能举例说明未知数系数变化对一元二次方程根的影响;明确根的判别式隐含条件，根与系数关系能够正向、逆向互用.

    （二）过程与方法

    1. 经历从生活情境中抽象出一元二次方程，梳理初中阶段方程研究路径，感受数学抽象，渗透模型思想和符号意识;

    2. 经历用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，体验有逻辑地思考问题，体会类比归纳，渗透分类讨论和化归思想;

    3. 经历估计一元二次方程解的过程，进一步培养估算意识和能力，发展数感.

    （三）情感、态度与价值观

    丰富的问题情景，联结数学与生活，激发兴趣，积累数学实践经验;问题牵引活动带动，解决问题中增强学好数学的自信，促进数学学习的良性循环.

    （四）教学重难点

    1. 概念的抽象过程.

    对初中学生来说，从丰富的问题背景中寻找共同属性，并概括归纳为一般形式是有困难的，用简洁的符号表述更增加难度;概念中隐含条件的辨析对部分学生也是障碍.

    2. 知道配方法的来源，能准确应用.

    配方法涉及的知识;前——完全平方公式、恒等变形，后——二次函数一般式与顶点式的相互转化;难点之处在配方法解等式与配方法恒等变形整式的算理不同，学生在此处混淆的原因是逻辑推理的“源”不够明晰.

    3. 一元二次方程运算能力的分阶段训练.

    4. 实际问题转化为方程模型.

    评价设计

    评价测量包括：前测诊断→过程评价→终端测量，测量的要素可以是知识、技能，也可以是信息提取、语言转化、公式应用、算法选择、策略优化、思维习惯、学习生长力等，如果说前置是初诊，那么终端是复诊，寻找深层次的原因解决问题，指向核心素养的发展是目标. 评价中我们最常用的就是题，题对学生来说是知识梳理的清单，是思维生长的脚手架，是数学思想与方法结合的载体，是可操作可训练的可见的能力. 对教师来说是知识体系，是教材再开发，是课程规划力，以解题来带动解决问题，题的设计不是数量的叠加，应该是量級的突破，梳理出知识的价值，自上而下迁引，指向个性化诊断、指向学科发展水平、指向核心素养.

    孟子曰：“登东山而小鲁，登泰山而小天下”，单元设计学生经历感受的是生长线，不是独立的点，呈现的是教师的主导性和前瞻性，从知识的搬运工到课程的规划师. 数学核心素养并非空中楼阁，知识是核心素养生长的沃土，课程实施是生长路径，资源是养料，通过单元设计实现“渐进建构”，着眼于目标——核心素养，着力于策略——单元设计，着手于学情——评价诊断，这就是核心素养的落地.