福建全省统一命题视角下的数学中考应用题分类评析
苏圣奎++陈清华++吴宝树
摘 要：数学中考试题中应用题的合理命制对考查、评价学生数学建模素养具有重要意义.通过对2013-2015年福建省九个设区市中考数学试卷中的应用题进行分类评析，促进师生关注应用题其潜在价值及对数学中考统一命题的启示.
关键词：统一命题；数学中考；应用题；数学建模
《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》[1]提到：“使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要的数学知识以及基本的数学思想和必要的基本技能.使学生初步学会用数学的思维方式去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.”其中，“应用意识”做为六大基本能力之一，《2016年福建省初中学业考试大纲（数学）》在课标要求的基础上对其进行了解读，即“认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题可以抽象成数学问题，并有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题.”[2]我国著名数学教育专家张奠宙教授曾经说过：“应用题的本质就是数学建模”.作为数学核心素养的重要组成部分，提升学生数学建模能力要依托与现实生活紧密相关的数学应用题教学。下面以2013-2015年福建省九个设区市数学中考试卷中的应用题为载体进行分类评析，并阐述笔者的思考与认识[3].
1 2013—2015福建省九地市中考数学应用题分类评析
这三年里，福建各设区市中考数学应用题主要考查代数式、方程（一元一次方程、分式方程、一元二次方程）、一元一次不等式（组）、函数（一次函数、二次函数）及解直角三角形等知识内容，大部分设区市的题量在1至2题，个别设区市达到4题，考查分值介于4—28分之间，差异较大，根据这三年各设区市中考数学应用题考查的知识内容，可分为六种类型：代数式型，方程（组）型，不等式型，解直角三角形型，几何综合型，函数型.由表1的统计结果可以看出：
（1）方程型（含整式方程和分式方程）应用题占据“半壁江山”，大部分题目都赋予了生活情境，能从学生已有的生活经验出发，让学生感受到数学来源于生活，又应用于生活，彰显了数学的应用价值，有利于引导学生联系生活实际，培养学生的数学应用意识.
（2）函数型（含一次函数、二次函数）应用题体现了创新性和综合性强的特点，近三年反比例函数应用题虽未进入考查范围，但不容小觑.在全省统一命题及高中使用全国卷的两大背景下，为了更好地进行初高中数学知识的衔接，发挥中考的导向作用，函数型试题将成为中考命题的重点.
（3）锐角三角函数与几何图形的综合考查成为应用题命题的一个亮点，有利于提升学生的数学抽象能力.
（4）方程（组）、不等式（组）及函数是“数与代数”知识领域的核心内容，各知识体系之间联系紧密，数学建模的过程也较为相似.为了能较好地考查学生的数学基本素养及应用能力，这三个方面知识的综合考查成为中考命题的常态.
1.1 代數式型
例1 （2015厦门第7题）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以〔■x-10〕元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）.
A. 原价减去10元后再打8折
B. 原价打8折后再减去10元
C. 原价减去10元后再打2折
D. 原价打2折后再减去10元
【评析】此题主要考查了代数式的应用.代数式是最基本的数学语言，能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维过程，富有规律性和启发性，能考查学生抽象、概括思维能力及数学建模核心素养.代数式的应用应关注数学语言和生活中文字语言的转化，如解答此题的关键是要明确“折”的含义，将“折”转化为代数式的数学模型，即“x元商品打m折”等价于代数式■mx.试题表述简洁、清晰，问题设计角度新颖，体现了注重算理理解而不是机械记忆的教学导向，同时渗透了应用意识.
1.2 方程（组）型
例2 （2014漳州第15题）水仙花是漳州市花，如图1，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为_________m.
【评析】本题考查一次方程（组）的应用，既可以运用一元一次方程，也可以列二元一次方程组来解决问题.题目以学生熟悉的水仙花为背景，需要学生建立对应的方程（组）模型来解决问题，有效渗透数形结合和数学建模思想.方程组的求解可以灵活运用数学运算的小技巧，实现快捷运算，在中考这种“限时型”的考试中，应关注此类运算技巧，有利于提升学生运算能力，培养数学运算核心素养.
1.3 不等式型
例3 （2015龙岩第23题）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表2：
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写表3：
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案.
【评析】此题主要考查了一次不等式的综合应用，题目以师生参加社会实践为背景，从学生的现实认知出发，考查学生对基本数量关系的认识，要求学生具备解读表格信息，处理数学信息的能力，并以此来建立不等式模型，关注了学生的数学建模素养，较好地考查了学生运用不等式和分类讨论思想的综合能力.
1.4 解直角三角形型
例4 （2013三明第18（2）题）如图2，已知墙高AB为6.5米，将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD为多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.857，tan55°≈1.43）
【评析】本题考查了锐角三角函数在直角三角形中的应用，以学生熟悉的行程问题为背景，贴近生活.题目要求学生能在直角三角形中建立三角函数模型，并进行简单的数字运算，在考查学生将文字信息转化为数学信息的过程中，也充分关注了学生运用数形结合和数学建模的思想的基本意识.
1.5 函数型
例5 （2014莆田第23题）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第 月之间存在如图3（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2-8mx+n，其变化趋势如图4.
（1）求y2的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
【评析】本题以现实生活中动车售票情况为背景，考查学生对一次函数、二次函数图象的理解与应用，要求学生在理解题意的基础上，能将问题中的文字语言和图形语言转化成数学的符号语言，求出函数的解析式，并运用函数这一数学模型来解决问题，注重对数学抽象及数学建模核心素养的考查，体现出数学在现实生活中的重要作用，彰显了数学应用于生活，服务于生活的科学性与实用性，符合课标“用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”的要求.
1.6 几何综合型
例6（2013南平第24题）2013年6月11日，“神舟”十号载人航天飞船发射成功！如图5，飞船完成变轨后，就在离地球（⊙O）表面约350 km的圆形轨道上运行.当飞船运行到某地（P点）的正上方（F点）时，从飞船上能看到地球表面最远的点Q（FQ是⊙O的切线）.如图6，已知地球的半径约为6400 km.求：
（1）∠QFO的度数；（结果精确到0.01°）；
（2）地面上P，Q两点间的距离（PQ的长）.
【评析】本题综合考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径.弧长公式和解直角三角形的应用.要求学生能解读题中所给的文字及图形信息，并准确地转化为数学符号语言，建立几何模型进行运算，注重对数学抽象及数学建模核心素养的考查，引导教师关注学生文字阅读和读图识图能力的培养，并加强数学基本运算能力的训练.
2 数学中考全省统一命题的启示
（1）重视文字阅读，培养表达能力
著名数学家苏步青教授认为，学不好语文的学生，将会大大限制他在其它学科的发展.可见学生要学好数学，培养其在文字理解及表达方面的能力是至关重要的，教师要重视在日常课堂教学中给学生留出独立读题和审题的时间，引导学生阅读文字，解读信息，找出每段文字的关键词，把“关键词”、“关键句”用数学符号语言进行“翻译”，转化成数学问题.进而建立数学模型，解决相应的数学问题，培养学生数学符号语言的表达能力.
（2）注重题型归纳，提升建模素养
初中阶段数学应用题的基本数学模型较为典型的有方程（组）型、不等式（组）型、函数型等，以一元二次方程的应用题为例，有“握手”问题，“互赠礼物”问题，增长率问题，传染病问题等，每一種类型的问题都有其基本的方程模型，教师应扎扎实实做好相关问题的教学，有意识地培养学生的数学建模思想，使学生在掌握基本数学模型的同时，能举一反三，触类旁通，从而提升学生的数学核心素养.
（3）加强题型变式、引导多向探究
挖掘基础题型的“变式”潜力，层层递进，题型变式和多向探究能有效拓展学生思维.常见到一些中考题的原型来自课本例题，略作修改就是一道经典的应用型改编题.教师在中考复习过程中应重视对课本例题、习题的挖掘与研究，形成各类典型应用问题的“变式问题链”，引导学生充分思考，多向探究，关注数学思维的生成过程，促进学生在问题探究中完成对数学知识的整体建构，使学生逐步具备灵活运用数学知识解决实际问题的应用能力，避免“题海战术”，提升教学效果.
（4）放眼现实生活，发展应用意识
“数学来源于生活，又应用于生活”，这句体现数学与生活关系的至理名言经常被数学教育工作者们津津乐道，也应成为学生的一种真切的感悟.教师应重视“实验与探究”和“课题学习”等相关数学活动的开展，在日常课堂教学中引导学生关注社会生活动态，主动运用数学知识来思考生活问题，用数学的眼光探索新知，培养学生应用数学的意识，增强学生的创新意识和综合能力.
参考文献：
[1]教育部基础教育司.全日制义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]福建省教育厅.2016年福建省初中学业考试大纲（数学）[S].闽教基[2016]6号，2016.
[3]苏圣奎，陈清华.2015年福建省中考数学函数题型分类评析[J].福建中学数学，2016（7）：5-9.
摘 要：数学中考试题中应用题的合理命制对考查、评价学生数学建模素养具有重要意义.通过对2013-2015年福建省九个设区市中考数学试卷中的应用题进行分类评析，促进师生关注应用题其潜在价值及对数学中考统一命题的启示.
关键词：统一命题；数学中考；应用题；数学建模
《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》[1]提到：“使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要的数学知识以及基本的数学思想和必要的基本技能.使学生初步学会用数学的思维方式去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.”其中，“应用意识”做为六大基本能力之一，《2016年福建省初中学业考试大纲（数学）》在课标要求的基础上对其进行了解读，即“认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题可以抽象成数学问题，并有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题.”[2]我国著名数学教育专家张奠宙教授曾经说过：“应用题的本质就是数学建模”.作为数学核心素养的重要组成部分，提升学生数学建模能力要依托与现实生活紧密相关的数学应用题教学。下面以2013-2015年福建省九个设区市数学中考试卷中的应用题为载体进行分类评析，并阐述笔者的思考与认识[3].
1 2013—2015福建省九地市中考数学应用题分类评析
这三年里，福建各设区市中考数学应用题主要考查代数式、方程（一元一次方程、分式方程、一元二次方程）、一元一次不等式（组）、函数（一次函数、二次函数）及解直角三角形等知识内容，大部分设区市的题量在1至2题，个别设区市达到4题，考查分值介于4—28分之间，差异较大，根据这三年各设区市中考数学应用题考查的知识内容，可分为六种类型：代数式型，方程（组）型，不等式型，解直角三角形型，几何综合型，函数型.由表1的统计结果可以看出：
（1）方程型（含整式方程和分式方程）应用题占据“半壁江山”，大部分题目都赋予了生活情境，能从学生已有的生活经验出发，让学生感受到数学来源于生活，又应用于生活，彰显了数学的应用价值，有利于引导学生联系生活实际，培养学生的数学应用意识.
（2）函数型（含一次函数、二次函数）应用题体现了创新性和综合性强的特点，近三年反比例函数应用题虽未进入考查范围，但不容小觑.在全省统一命题及高中使用全国卷的两大背景下，为了更好地进行初高中数学知识的衔接，发挥中考的导向作用，函数型试题将成为中考命题的重点.
（3）锐角三角函数与几何图形的综合考查成为应用题命题的一个亮点，有利于提升学生的数学抽象能力.
（4）方程（组）、不等式（组）及函数是“数与代数”知识领域的核心内容，各知识体系之间联系紧密，数学建模的过程也较为相似.为了能较好地考查学生的数学基本素养及应用能力，这三个方面知识的综合考查成为中考命题的常态.
1.1 代數式型
例1 （2015厦门第7题）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以〔■x-10〕元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）.
A. 原价减去10元后再打8折
B. 原价打8折后再减去10元
C. 原价减去10元后再打2折
D. 原价打2折后再减去10元
【评析】此题主要考查了代数式的应用.代数式是最基本的数学语言，能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维过程，富有规律性和启发性，能考查学生抽象、概括思维能力及数学建模核心素养.代数式的应用应关注数学语言和生活中文字语言的转化，如解答此题的关键是要明确“折”的含义，将“折”转化为代数式的数学模型，即“x元商品打m折”等价于代数式■mx.试题表述简洁、清晰，问题设计角度新颖，体现了注重算理理解而不是机械记忆的教学导向，同时渗透了应用意识.
1.2 方程（组）型
例2 （2014漳州第15题）水仙花是漳州市花，如图1，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为_________m.
【评析】本题考查一次方程（组）的应用，既可以运用一元一次方程，也可以列二元一次方程组来解决问题.题目以学生熟悉的水仙花为背景，需要学生建立对应的方程（组）模型来解决问题，有效渗透数形结合和数学建模思想.方程组的求解可以灵活运用数学运算的小技巧，实现快捷运算，在中考这种“限时型”的考试中，应关注此类运算技巧，有利于提升学生运算能力，培养数学运算核心素养.
1.3 不等式型
例3 （2015龙岩第23题）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表2：
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写表3：
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案.
【评析】此题主要考查了一次不等式的综合应用，题目以师生参加社会实践为背景，从学生的现实认知出发，考查学生对基本数量关系的认识，要求学生具备解读表格信息，处理数学信息的能力，并以此来建立不等式模型，关注了学生的数学建模素养，较好地考查了学生运用不等式和分类讨论思想的综合能力.
1.4 解直角三角形型
例4 （2013三明第18（2）题）如图2，已知墙高AB为6.5米，将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD为多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.857，tan55°≈1.43）
【评析】本题考查了锐角三角函数在直角三角形中的应用，以学生熟悉的行程问题为背景，贴近生活.题目要求学生能在直角三角形中建立三角函数模型，并进行简单的数字运算，在考查学生将文字信息转化为数学信息的过程中，也充分关注了学生运用数形结合和数学建模的思想的基本意识.
1.5 函数型
例5 （2014莆田第23题）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第 月之间存在如图3（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2-8mx+n，其变化趋势如图4.
（1）求y2的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
【评析】本题以现实生活中动车售票情况为背景，考查学生对一次函数、二次函数图象的理解与应用，要求学生在理解题意的基础上，能将问题中的文字语言和图形语言转化成数学的符号语言，求出函数的解析式，并运用函数这一数学模型来解决问题，注重对数学抽象及数学建模核心素养的考查，体现出数学在现实生活中的重要作用，彰显了数学应用于生活，服务于生活的科学性与实用性，符合课标“用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”的要求.
1.6 几何综合型
例6（2013南平第24题）2013年6月11日，“神舟”十号载人航天飞船发射成功！如图5，飞船完成变轨后，就在离地球（⊙O）表面约350 km的圆形轨道上运行.当飞船运行到某地（P点）的正上方（F点）时，从飞船上能看到地球表面最远的点Q（FQ是⊙O的切线）.如图6，已知地球的半径约为6400 km.求：
（1）∠QFO的度数；（结果精确到0.01°）；
（2）地面上P，Q两点间的距离（PQ的长）.
【评析】本题综合考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径.弧长公式和解直角三角形的应用.要求学生能解读题中所给的文字及图形信息，并准确地转化为数学符号语言，建立几何模型进行运算，注重对数学抽象及数学建模核心素养的考查，引导教师关注学生文字阅读和读图识图能力的培养，并加强数学基本运算能力的训练.
2 数学中考全省统一命题的启示
（1）重视文字阅读，培养表达能力
著名数学家苏步青教授认为，学不好语文的学生，将会大大限制他在其它学科的发展.可见学生要学好数学，培养其在文字理解及表达方面的能力是至关重要的，教师要重视在日常课堂教学中给学生留出独立读题和审题的时间，引导学生阅读文字，解读信息，找出每段文字的关键词，把“关键词”、“关键句”用数学符号语言进行“翻译”，转化成数学问题.进而建立数学模型，解决相应的数学问题，培养学生数学符号语言的表达能力.
（2）注重题型归纳，提升建模素养
初中阶段数学应用题的基本数学模型较为典型的有方程（组）型、不等式（组）型、函数型等，以一元二次方程的应用题为例，有“握手”问题，“互赠礼物”问题，增长率问题，传染病问题等，每一種类型的问题都有其基本的方程模型，教师应扎扎实实做好相关问题的教学，有意识地培养学生的数学建模思想，使学生在掌握基本数学模型的同时，能举一反三，触类旁通，从而提升学生的数学核心素养.
（3）加强题型变式、引导多向探究
挖掘基础题型的“变式”潜力，层层递进，题型变式和多向探究能有效拓展学生思维.常见到一些中考题的原型来自课本例题，略作修改就是一道经典的应用型改编题.教师在中考复习过程中应重视对课本例题、习题的挖掘与研究，形成各类典型应用问题的“变式问题链”，引导学生充分思考，多向探究，关注数学思维的生成过程，促进学生在问题探究中完成对数学知识的整体建构，使学生逐步具备灵活运用数学知识解决实际问题的应用能力，避免“题海战术”，提升教学效果.
（4）放眼现实生活，发展应用意识
“数学来源于生活，又应用于生活”，这句体现数学与生活关系的至理名言经常被数学教育工作者们津津乐道，也应成为学生的一种真切的感悟.教师应重视“实验与探究”和“课题学习”等相关数学活动的开展，在日常课堂教学中引导学生关注社会生活动态，主动运用数学知识来思考生活问题，用数学的眼光探索新知，培养学生应用数学的意识，增强学生的创新意识和综合能力.
参考文献：
[1]教育部基础教育司.全日制义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]福建省教育厅.2016年福建省初中学业考试大纲（数学）[S].闽教基[2016]6号，2016.
[3]苏圣奎，陈清华.2015年福建省中考数学函数题型分类评析[J].福建中学数学，2016（7）：5-9.
