2018年高考全国卷Ⅰ理科压轴试题的解答及思考
李红春 孔峰
高考一直肩负着服务选拔和导向教学的双重功能，高考试题一直是人们热议的话题，尤其是压轴试题更是备受关注，本文谈谈2018年全国卷1理科压轴试题的解法及思考，希望对大家的教学有所启发.
1试题及解答
题目已知f（x）=1x-x+alnx.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f（x1）-f（x2）x1-x2本题考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查学生运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想.
解析（1）x∈0，+
SymboleB@ ，f′（x）=-x2+ax-1x2，设g（x）=-x2+ax-1，其Δ=a2-4，
討论当Δ≤0，即-2≤a≤2时，g（x）≤0恒成立，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，+
SymboleB@ ）递减；
当Δ>0，即a>2或a<-2时，由g（x）=0得x1=a-a2-42，x2=a+a2-42.
①若a>2，由x1+x2=a>0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（0，+
SymboleB@ ），
当x∈（0，x1），f′（x）<0，f（x）递减；当x∈（x1，x2），f′（x）>0，f（x）递增；
当x∈（x2，+
SymboleB@ ）时，f′（x）<0，f（x）递减；
②若a<-2，x1+x2=a<0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（-
SymboleB@ ，0），
则x∈（0，+
SymboleB@ ），f′（x）<0，f（x）递减；
综上所述：a≤2时，f（x）在（0，+
SymboleB@ ）递减；当a>2时，f（x）在（0，a-a2-42）递减，在a-a2-42，a+a2-42递增，在（a+a2-42，+
SymboleB@ ）递减；
点评第（1）问关键之处在于分类讨论标准的确定，难点在于结合韦达定理判断出导函数的零点x1、x2的范围，考查了分类讨论、数形结合的思想.
本题关键在第（2）问，下面重点研究第（2）问的解答：
解法1重组换元
由（1）知，若f（x）存在两个极值点x1，x2，则a>2，x1·x2=1，x1+x2=a，
f（x1）-f（x2）x1-x2=1x1-1x2-（x1-x2）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=x2-x1x1x2+（x2-x1）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=a（lnx1-lnx2）x1-x2-2.
故要证原不等式，只需证lnx1-lnx2x1-x2<1，
不妨设x1x1-x2，
由x1x2=1知，只需证：lnx1x2>x1-x2x1x2，即lnx1x2>x1x2-x2x1，设x1x2=t，t∈（0，1）.
则只需证：lnt2>t-1t，即2lnt-t+1t>0，设m（t）=2lnt-t+1t，t∈（0，1）.
则m′（t）=2t-1-1t2=-（t-1）2t2<0，故m（t）在t∈（0，1）递减，所以m（t）>m（1）=0.
故原不等式成立.
解法2消元转化
同上，要证原不等式，只需证lnx1-lnx2x1-x2<1，
不妨设x1
解法3分散构造
不妨设x1>x2，则f（x1）-f（x2）x1-x2f（x1）-（a-2）x1
由f′（x）=0得-x2+ax-1=0，即ax-1=x2，故t′（x）=-（a-1）x2+x2x2=-a+2.
由a>2得t′（x）<0，故t（x）在（0，+
SymboleB@ ）递减，由x1>x2知，t（x1）
2追本溯源
本题取材于对数平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，这个不等式有着丰富的几何直观：
图1
一方面，如图1，设点
M（x1，ex1）、N（x2，ex2）为函数y=ex上的两点，ME、NF分别垂直于x轴于E、F两点，点Q（x1+x22，ex1+x22）处的切线与ME、NF交于A、B两点，S四边形AEFB=（x2-x1）·ex1+x22，S曲边形MEFN=∫x2x1exdx=ex2-ex1，显然，
（x2-x1）e[SX（]x1+x2[]2[SX）]
即ex1+x22
另一方面，如图2，设点M（x1，1x1），N（x2，1x2）为函数y=1x上的两点，
ME、NF分别垂直于x轴于E、F两点，
曲线在点Q（x1+x22，2x1+x2）处的切线与ME、NF交于A、B两点，S四边形AEFB=（x2-x1）·2x1+x2，
S曲边形MEFN=∫x2x11xdx=lnx2-lnx1，
如图形可知：S四边形AEFB
结合①②对数不等式x1x2≤x2-x1lnx2-lnx1≤x1+x22成立.
对数平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，由x1x2=1，知
x1-x2lnx1-lnx2≥x1x2=1，掌握这个结论，求解何其简单！
其实，对数平均值不等式是许多不等式的生成之源，可由y=lnx的单调性及上凸性质并借助拉格朗日中值定理或者直接构造函数证明，易得如下不等式关系：lnx>12（x-1x），x∈（0，1）；lnx<12（x-1x），x∈（1，+
SymboleB@ ）；lnx>2（x-1）x+1，x∈（1，+
SymboleB@ ）；lnx<2（x-1）x+1，x∈（0，1）；a-ba
设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈[WTHZ]R[WTBX]），
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，问是否存在a使得k=2-a？若存在，求a的值，若不存在，說明理由.
3解题感悟
3.1教学要立足基础，遵循教育规律
作为压轴试题，本题题干简洁，问题朴实无华，难度不大，受到广大师生的普遍欢迎.本题立足于培育学生支撑终身发展和适应时代要求的独立思考和逻辑推理等关键能力，力求多考一点想，少考一点算，积极引导广大教师，杜绝偏题、怪题和繁难试题，引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学.
3.2数学教学要注重数学思想的渗透
数学思想方法是获得数学知识的主要手段，具有很大的智力价值，掌握了数学思想方法，就能透彻地理解数学知识，有助于创造能力的培养.本题深度考查了分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想，尤其第（1）问，结合二次函数的系数特征，从图形出发，分析出导函数零点所在区间.
3.3数学解题要注重问题本质的揭示
本题依托对数平均值不等式命制而成，背景深刻.其实很多高考试题有着深刻的背景，不少都是从初等数学研究的成果中选取的素材，以此为基础将其变抽象为具体，加工与调整形成，这是常见的一种命题途径.在教学过程中，要揭去它们的“面纱”，揭示它们的背景及本质，这样既能缩短解决同类问题的思维流程，更能激发学生的学习兴趣，培养他们深入思考问题，钻研问题的习惯.3.4复习备考要加强对高考试题的研究
高考试题是命题专家精心命制而成，设计新颖，构思巧妙，集中体现了命题专家的智慧，往届高考试题一直是新高考试题的重要来源，命题专家一直重视传承和相互借鉴，本题和湖南省高考试题相似度如此之高充分说明了这一点.作为教师要努力从历年高考题的整体研究中找到共性，从近几年高考题中找到高考的变化趋势，从对同类试题的研究中找到变化，不断提升复习效率.
作者简介
李红春，中学高级教师，武汉市高中命题库核心成员.“全国数学联赛优秀教练员”“武汉市优秀青年教师”、“武汉市优秀备课组长”，近5年在专业期刊上发表论文200余篇.
孔峰，中学数学特级教师，武汉市教科院数学教研员，长期致力于数学竞赛自主招生试题的命制和研究.公开发表教育教学论文多篇，出版专著多部.
高考一直肩负着服务选拔和导向教学的双重功能，高考试题一直是人们热议的话题，尤其是压轴试题更是备受关注，本文谈谈2018年全国卷1理科压轴试题的解法及思考，希望对大家的教学有所启发.
1试题及解答
题目已知f（x）=1x-x+alnx.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f（x1）-f（x2）x1-x2本题考查利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查学生运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想.
解析（1）x∈0，+
SymboleB@ ，f′（x）=-x2+ax-1x2，设g（x）=-x2+ax-1，其Δ=a2-4，
討论当Δ≤0，即-2≤a≤2时，g（x）≤0恒成立，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，+
SymboleB@ ）递减；
当Δ>0，即a>2或a<-2时，由g（x）=0得x1=a-a2-42，x2=a+a2-42.
①若a>2，由x1+x2=a>0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（0，+
SymboleB@ ），
当x∈（0，x1），f′（x）<0，f（x）递减；当x∈（x1，x2），f′（x）>0，f（x）递增；
当x∈（x2，+
SymboleB@ ）时，f′（x）<0，f（x）递减；
②若a<-2，x1+x2=a<0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（-
SymboleB@ ，0），
则x∈（0，+
SymboleB@ ），f′（x）<0，f（x）递减；
综上所述：a≤2时，f（x）在（0，+
SymboleB@ ）递减；当a>2时，f（x）在（0，a-a2-42）递减，在a-a2-42，a+a2-42递增，在（a+a2-42，+
SymboleB@ ）递减；
点评第（1）问关键之处在于分类讨论标准的确定，难点在于结合韦达定理判断出导函数的零点x1、x2的范围，考查了分类讨论、数形结合的思想.
本题关键在第（2）问，下面重点研究第（2）问的解答：
解法1重组换元
由（1）知，若f（x）存在两个极值点x1，x2，则a>2，x1·x2=1，x1+x2=a，
f（x1）-f（x2）x1-x2=1x1-1x2-（x1-x2）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=x2-x1x1x2+（x2-x1）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=a（lnx1-lnx2）x1-x2-2.
故要证原不等式，只需证lnx1-lnx2x1-x2<1，
不妨设x1
由x1x2=1知，只需证：lnx1x2>x1-x2x1x2，即lnx1x2>x1x2-x2x1，设x1x2=t，t∈（0，1）.
则只需证：lnt2>t-1t，即2lnt-t+1t>0，设m（t）=2lnt-t+1t，t∈（0，1）.
则m′（t）=2t-1-1t2=-（t-1）2t2<0，故m（t）在t∈（0，1）递减，所以m（t）>m（1）=0.
故原不等式成立.
解法2消元转化
同上，要证原不等式，只需证lnx1-lnx2x1-x2<1，
不妨设x1
解法3分散构造
不妨设x1>x2，则f（x1）-f（x2）x1-x2f（x1）-（a-2）x1
由f′（x）=0得-x2+ax-1=0，即ax-1=x2，故t′（x）=-（a-1）x2+x2x2=-a+2.
由a>2得t′（x）<0，故t（x）在（0，+
SymboleB@ ）递减，由x1>x2知，t（x1）
2追本溯源
本题取材于对数平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，这个不等式有着丰富的几何直观：
图1
一方面，如图1，设点
M（x1，ex1）、N（x2，ex2）为函数y=ex上的两点，ME、NF分别垂直于x轴于E、F两点，点Q（x1+x22，ex1+x22）处的切线与ME、NF交于A、B两点，S四边形AEFB=（x2-x1）·ex1+x22，S曲边形MEFN=∫x2x1exdx=ex2-ex1，显然，
（x2-x1）e[SX（]x1+x2[]2[SX）]
即ex1+x22
另一方面，如图2，设点M（x1，1x1），N（x2，1x2）为函数y=1x上的两点，
ME、NF分别垂直于x轴于E、F两点，
曲线在点Q（x1+x22，2x1+x2）处的切线与ME、NF交于A、B两点，S四边形AEFB=（x2-x1）·2x1+x2，
S曲边形MEFN=∫x2x11xdx=lnx2-lnx1，
如图形可知：S四边形AEFB
结合①②对数不等式x1x2≤x2-x1lnx2-lnx1≤x1+x22成立.
对数平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，由x1x2=1，知
x1-x2lnx1-lnx2≥x1x2=1，掌握这个结论，求解何其简单！
其实，对数平均值不等式是许多不等式的生成之源，可由y=lnx的单调性及上凸性质并借助拉格朗日中值定理或者直接构造函数证明，易得如下不等式关系：lnx>12（x-1x），x∈（0，1）；lnx<12（x-1x），x∈（1，+
SymboleB@ ）；lnx>2（x-1）x+1，x∈（1，+
SymboleB@ ）；lnx<2（x-1）x+1，x∈（0，1）；a-ba
设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈[WTHZ]R[WTBX]），
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，问是否存在a使得k=2-a？若存在，求a的值，若不存在，說明理由.
3解题感悟
3.1教学要立足基础，遵循教育规律
作为压轴试题，本题题干简洁，问题朴实无华，难度不大，受到广大师生的普遍欢迎.本题立足于培育学生支撑终身发展和适应时代要求的独立思考和逻辑推理等关键能力，力求多考一点想，少考一点算，积极引导广大教师，杜绝偏题、怪题和繁难试题，引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学.
3.2数学教学要注重数学思想的渗透
数学思想方法是获得数学知识的主要手段，具有很大的智力价值，掌握了数学思想方法，就能透彻地理解数学知识，有助于创造能力的培养.本题深度考查了分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想，尤其第（1）问，结合二次函数的系数特征，从图形出发，分析出导函数零点所在区间.
3.3数学解题要注重问题本质的揭示
本题依托对数平均值不等式命制而成，背景深刻.其实很多高考试题有着深刻的背景，不少都是从初等数学研究的成果中选取的素材，以此为基础将其变抽象为具体，加工与调整形成，这是常见的一种命题途径.在教学过程中，要揭去它们的“面纱”，揭示它们的背景及本质，这样既能缩短解决同类问题的思维流程，更能激发学生的学习兴趣，培养他们深入思考问题，钻研问题的习惯.3.4复习备考要加强对高考试题的研究
高考试题是命题专家精心命制而成，设计新颖，构思巧妙，集中体现了命题专家的智慧，往届高考试题一直是新高考试题的重要来源，命题专家一直重视传承和相互借鉴，本题和湖南省高考试题相似度如此之高充分说明了这一点.作为教师要努力从历年高考题的整体研究中找到共性，从近几年高考题中找到高考的变化趋势，从对同类试题的研究中找到变化，不断提升复习效率.
作者简介
李红春，中学高级教师，武汉市高中命题库核心成员.“全国数学联赛优秀教练员”“武汉市优秀青年教师”、“武汉市优秀备课组长”，近5年在专业期刊上发表论文200余篇.
孔峰，中学数学特级教师，武汉市教科院数学教研员，长期致力于数学竞赛自主招生试题的命制和研究.公开发表教育教学论文多篇，出版专著多部.
