以“幂函数”教学为例,谈初中数学的教学思路

    沈裕梅

    [摘? 要] 数学是一门严谨而富有理性的学科,教师在组织课堂时,一定要按照科学的思路展开分析和设计. 文章以“幂函数”的教学为例,探讨了初中数学教学的基本思路.

    [关键词] 情境创设;数学教学;幂函数;教学设计

    初中数学的教学应该循着怎样的思路进行,才能更好地服务于学生的探究和认知呢?笔者认为,我们在导入环节要善于创设情境,同时还要注意学生探究思路的引导,在学生进行探索和讨论时,我们务必要让学生真正发挥其主体地位. 下面,笔者就以“幂函数”的教学为例,探讨一下初中数学教学的基本设计思路.

    教师创设问题情境:现有两组数,请比较它们的大小关系:(1)0.5-1.2和0.5-1.5;(2)log和log.

    生:这两个都可以建立相应的函数模型,然后利用函数的单调性讨论数据的大小,第一组对应的函数模型为y=0.5x,可得结论0.5-1.5更大;第二组对应的函数模型为y=logx,可得结论log更大.

    设计思路 以上内容主要为复习,并且让学生进一步熟悉运用函数性质来分析和研究问题的常规操作,这也为我们的新课教学奠定了基础.

    师:现又有两组数,请试着比较它们的大小关系:(1)5.23-2和5.25-2;(2)(-0.72)3和(-0.75)3.

    生:按照之前的思路,我们依然建立一些函数模型,第一个对应y=x-2,第二个对应y=x3,但是……

    设计思路 这里学生的思维按照我们的预设在推进,既然其他在形式上类似的数据比较大小可以用到函数模型,那么在这里也可以用,但是建立起来的函数却不在已有的知識框架内,认知冲突由此产生,学生产生了继续探索的愿望,幂函数的基本概念呼之欲出.

    师:以上所建立的函数属于怎样的函数类型呢?对于A=BC,如果B是一个常数,那么A是C的什么函数,C是A的什么函数?现有情形是C为一个常数,那么A是C的什么函数?

    生:如果B是一个常数,则A是C的指数函数,C则是A的对数函数,至于后面的内容就不清楚了.

    师:后面一类函数正是我们今天所要研究的内容——幂函数. 你能类比指数函数和对数函数的定义方式,来给幂函数下一个定义吗?

    设计意图 给一个数学概念下定义是一项高难度的工作,但是我们在这里完全立足于学生的经验和基础,让他们从类比的方法着手实施操作,这完全在学生的能力范围以内. 这项操作兼具模仿性和创新性,对学生掌握数学知识和探索方法大有裨益.

    生:形如y=xα的函数就是幂函数.

    师:还有什么需要补充的吗?

    生:α是一个常数.

    师:我们在定义数学概念时,务必要做到严谨到位. (随后开始板书定义:一般地,形如y=xα(α∈R)的函数叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数 )

    例题? 请确定以下函数的定义域和奇偶性:(1)y=x-2;(2)y=x3;(3)y=x-;(4)y=x.

    学生分析并展开讨论,然后在交流和展示中给出答案.

    设计意图 函数的定义域和奇偶性是研究函数性质的基本思路,学生对此都有相应的基础. 教学过程中,我们提出上述例题,就是帮助学生建立正确的探究方向,这也有助于学生在后续图像和性质的研究中简化过程.

    师:前段时间,我们研究指数函数和对数函数的基本性质时,一般采用怎样的步骤?

    生:先画出一些具体的函数图像,然后结合图像的观察和分析归纳性质.

    设计思路 在初中数学的学习过程中,我们一方面要指导学生学习数学知识,另一方面也要启发学生对探究方法进行总结. 一般来说,知识是很容易遗忘的,但是方法却将长期地留存下来. 在上述设计中,我们引导学生回顾以往的研究方法,其实也有助于学生进一步了解函数知识的内涵.

    师:很好,刚才你们给出了一个正确的研究思路,下面请大家自主选择几个幂函数,并利用图形计算器画出图像,研究性质.

    随后,教师即可安排学生展开自主探索,并在时机成熟时,安排学生进行交流汇报. 考虑到学生对图形计算器的操作不一定娴熟,教师可以将基本步骤投影在前面,让学生有一个参考,当然其间也需要鼓励学生在相互协作中探讨具体的操作是否正确.

    设计意图 教师通过及时的评价来对学生进行肯定,让学生能够以更加饱满的热情参与到下一阶段的学习过程之中. 学生的活动包括观察、猜想、推理、验证等操作,我们希望学生通过这一过程得到最为深刻的认识,同时也希望学生能够在体验过程中获得切实的提升.

    学生以小组为单位进行探究,学生在探究过程中遇到了很多情况,教师要以平和的心态对待学生探索过程中出现的意外. 毕竟学生才刚刚接触幂函数,各种意外或失误都应该在情理之中,所以教师只能适当地引导和启发,绝不能代替学生进行研究.

    师:很多小组已经完成了幂函数性质的探究,下面咱们就请各组的代表来汇报一下研究成果. (汇报过程往往是几个学生搭配操作,比如一个学生绘制图像,另外一个学生进行口头表述 )

    生1:我们组所选定的函数是y=x2,y=x,y=x3,这些函数存在以下性质:它们的图像都经过两个固定点(0,0)和(1,1);它们在第一象限都属于增函数,其他象限各不一样,而且这些函数的图像没有出现在第四象限.

    师:很好,其他小组有没有不一样的答案?

    生2:刚才这一小组的同学所选定函数中的α都是正数,我们组还探索了取负数的情形,因此得到的结论有所不同.我们组所选定的函数包括y=x2,y=x,y=x3,y=x-1,y=x-2,这些函数存在以下性质:当α是正数时,基本性质和刚才他们的结论一致;但如果是负数,则函数图像不经过原点,它们经过点(1,1),且在第一象限为减函数.

    师:你能解释一下,为什么α是负数时,函数图像没有经过原点吗?

    生2:如果α是负数,则0不在函数的定义域内.

    师:说得很好,有没有其他发现?

    生2:没有了.

    师:还有同学需要补充吗?

    生3:我们组研究函数y=x的图像时,发现它正好是第一象限和第三象限的角平分线,而且在第一象限它的图像还将成为一个分界线,即α>1时,函数图像会向上;0<α<1时,函数图像会向右,但都属于增函数.

    师:刚才几个同学的汇报都非常精彩,请大家对上述结论进行一下整合.

    设计意图 在学生进行汇报和展示的过程中,教師要给予学生足够的时间来进行展示和交流. 在学生展示时,教师不能随意打断,同时教师还要鼓励其他小组的学生进行补充性的说明,最后要提供时间让学生对各项展示成果进行汇总,整理出较为完整的结论.

    师:请同学来汇报一下你们的汇总结果.

    生4:我们要先对α的取值情况进行分类,然后进行说明. 对于α>0时,函数的图像都会经过点(0,0)和(1,1);在第一象限,函数图像都会随着x取值的增大而上升,即在[0,+∞)上属于增函数. 对于α<0时,函数的图像都会经过点(1,1);在第一象限,函数图像都会随着x取值的增大而减小,即在(0,+∞)上属于减函数. 幂函数图像不会出现在第四象限,而且一般只研究第一象限的特点,对于其他象限,可以通过函数的奇偶性进行研究和分析.

    师:其他同学觉得这个总结如何?请大家回忆一下,我们在指数函数以及对数函数等方面的研究,比较一下,这样研究是否全面?

    学生展开比较和讨论,基本过程略去不提.

    师:刚才我们分析了幂函数的性质,通过比较,我们发现幂函数性质的复杂程度远远超过了指数函数和对数函数,因此我们要找一些具有代表意义的函数进行研究,α取-2,-1,,1,2,3等等. 但是无论α取哪些数据,我们都要画出函数的大致图像,然后结合定义域、奇偶性来进行研究. 下面,我们结合一些具体的例题展开分析和研究.

    随后的环节是教师展示了一些例题,引导学生在例题的分析和研究中熟悉概念、巩固认识.

    设计意图 在汇报环节,教师相当于一个主持人,学生才是真正的主角,他们用自己的语言来展示自己对函数性质的理解. 当然,教师的串联作用不能忽视,只有恰当地引导,学生才能获得更加完善而严谨的结论.

相关文章!
  • 改进演示实验,提高演示实验教

    曹雪梅众所周知,化学是以实验为基础的学科.实验是化学的灵魂,也是提高学生学习兴趣的主要因素.教学实践证明,化学实验教学可以让学生

  • 素质教育在中职教育中的重要性

    杨天摘要:进入21世纪之后,素质教育已经成为全社会非常关注的一个重要话题。而在职业教育中,许多学生和家长错误的认为职业教育的本质就

  • 质谱法测定水中溶解氙的含量及

    李军杰+刘汉彬 张佳+韩娟+金贵善+张建锋<br />
    <br />
    <br />
    <br />
    摘要 利用设计的一套水样中提取并分离Xe的装置,与稀有气体质谱