把握几何问题本质 彰显习题教育价值

    白雪峰 张燕霞

    [摘? 要] 基于对一道课本习题证明拓展过程的深度反思，阐明了改进和优化例题、习题教学的三条基本策略，旨在引导教师聚焦培养学生数学思维品质、发展学生数学学科素养的育人目标，深度挖掘教材中例题、习题所具有的拓展延伸和探究发现的教育价值.

    [关键词] 课本习题;证明拓展;教学反思;教育价值

    众所周知，教材（也称教科书或课本）是依据课程标准编制的，它既是课程资源的核心，又是系统反映学科内容的教学用书，也是学生系统学习科学文化的主要来源[1]. 近年来，研究如何有效“用教材教”已然成为研究教学活动的重要组成部分.

    数学教材当然也不例外，它是数学教师备课、上课、布置作业和评定学生学业水平的主要依托.在数学教材中，包含了目录、章引言（含图）、正文、练习、习题、章小结等构成要素，这些内容也成为教师落实数学课程目标的重要途径. 特别是，教材中的例题和习题是教材编者认真遴选、深入研究、精心构思、反复研讨并最终敲定的，对于学生理解和掌握数学基础知识、形成和发展数学基本技能都具有重要的示范意义和指导价值，其中一些经典例题、习题的解题思路和方法往往也具有一定的典型性和拓展性，是学生获得数学知识方法、增强数学思维品质、提高数学解题能力和发展数学核心素养的重要载体，需要数学教师提高认识、倍加重视，通过精心研究、精致设计和精准实施，切实发挥教材例题、习题的育人功能和学科价值. 下面，笔者就以人教版九年级数学教材上册习题24.2第12题为例，谈谈这方面的实践与思考，期待与同行交流.

    原习题证明思路解析

    AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线相垂直，垂足为点D，求证：AC平分∠DAB.

    问题分析 从过去到现在，人教社将上述问题不是作为例题，就是作为习题编入初中几何教材. 在初中升学考试中，本题及其逆命题作为试题也被考查多年，足以见得其在圆的内容中的典型性. 圆的背景下所涉及的定理很多，比如圆周角定理、切线的性质与判定定理、弦切角定理、垂径定理等等，这些内容对培养学生的识图能力、辨析能力、推理能力、应用能力以及有条理的思考和表达能力等，都具有十分重要的作用. 经过多年教学和探究，笔者发现大家对本题的拓展却是极少的，实际上，该题的拓展探究过程同样具有强大的数学教育价值.

    正如G·波利亚所强调的：在一个精心构造的棋局中，没有一颗棋子是多余的. 因此，在走每一步棋时，需要将所有的棋子都考虑在内[2]. 可以说，解题就像下棋一样，要想正确迅速地解答问题，就必须通过认真审题，准确把握题设中的一切条件和数据，充分理解所求结论及其可能转化的表达形式. 通过审题，不难看出本习题中（如图2）主要有三个重要条件，即：⊙O的直径AB、⊙O的一条切线及其切点、垂直于该切线的线段AD.而本题所要求证明的结论则是：AC平分∠DAB.如果我们将结论的表达形式进行转化，也就是要证明两个角相等，即∠DAC=∠BAC.下面，笔者给出本题的三种证明思路，以便为后续的拓展及其证明奠定基础.

    思路1 如图2，连接OC，在⊙O中，因为OA=OC，所以∠1=∠2.又因为DC是⊙O的切线，所以OC⊥DC.因为AD⊥CD于点D，容易得到AD//OC，所以∠3=∠2，这样就得到∠1=∠3，所以AC平分∠DAB.

    思路2 如图3，连接BC，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，得到∠2+∠3=90°.又因为DC为⊙O的切线，所以根据弦切角定理可得∠1=∠2，等量代换得到∠1+∠3=90°.进一步的，因为AD⊥DC于点D，所以∠4+∠3=90°，根据同角的余角相等，得到∠1=∠4，所以AC平分∠DAB.

    思路3 如图4，设AD与⊙O相交于点E，连接BE，则∠AEB=90°.因为AD⊥DC于点D，所以∠ADC=90°，而且DC∥EB.又注意到DC为⊙O的切线，进而根据切线的性质定理和垂径定理可以证得EC=CB，故 = .所以∠1=∠2，结论得证.

    说明 纵观上述三种证明思路，大家可以明显看出其中的联系与区别. 思路1是学生使用较多的一种方法，这或许缘于原教材在把它编为例题时，证明过程采用的就是思路1，旨在指导学生复习巩固切线的性质定理.在思路2中，笔者采用了弦切角定理，虽然这是教材中沒有、课标中也不要求的内容，但对于学有余力的优秀生的确不失为一种简洁明快的有效方法. 在思路3中，笔者根据“平行弦夹等弧”这个重要定理的“推广”，直接获得结论 = .我们知道，切线是割线的一种极端情形，即当割线与圆的两个交点重合时，割线就变为切线了.事实上，当两条平行弦中的“一条弦”变化为“切线”时，结论依然成立，即“仍夹等弧”. 因为教材中没有这个定理，对此同学们还不十分熟悉，因此，在解题教学过程中，需要教师利用几何画板软件，通过动态演示割线变切线的过程，帮助学生理解这一结论的正确性.对于数学思维比较敏捷的学生，可以通过深度解析两种思路，引发学生深度思考，指导学生开展比较研究，从而进一步发展学生的逻辑推理素养.

    原习题的拓展探究

    基于原习题的证法，我们可以连接BC. 如图5，因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC，也就是说BC垂直于∠DAB的平分线AC. 若再延长BC与AD的延长线交于点E，则△ABE为等腰三角形，即AB=AE，BC=CE. 当我们把原习题变化为图5后，就为原习题的拓展做好了准备.

    1. 拓展1将圆的切线变为割线

    在图5中，DC为⊙O的切线，笔者把切线DC变化为⊙O的割线DC C ，此时，所得结论是什么呢？这是一个值得研究的问题.

    事实上，我们可以从以下两个角度进行思考：

    思考一 根据文[3]中的分裂合并原理可以知道，通过分裂三角形中特殊的线，比如三角形的中线、高线或角平分线，可以构造出非常多的几何图形，发现并获得更多图形的性质和结论，进而编制出非常有趣的几何问题. 如果将原习题中∠DAB的平分线AC“分裂”为∠DAB的内等角线AC ，AC ，即∠DAC =∠BAC ，又会得到怎样的结论呢？

    思考二 原习题演变为图5后容易得到AB=AE，而当切线DC变化为割线DC C 后，AB不变，AE变化为AE ，AE ，那么AE ，AE 与AB又存在怎样的数量关系呢？是2AB=AE ·AE ？还是AB2=AE ·AE ？经过反复论证，可以判断AB2=AE ·AE .

    同样地，图5中BC=CE，当CE变化为C E 和C E 后，可以判断BC ·BC =C E ·C E .

    拓展问题1 如图6，AB为⊙O直径，点C ，C 在⊙O上，过点A作⊙O割线C C 的垂线AD，D为垂足，连接BC ，BC 并且延长，与AD的延长线分别交于点E ，E .

    求证：（1）∠DAC =∠BAC ;

    （2）AB2=AE ·AE ，BC ·BC =C E ·C E .

    证明：（1）如图6，设AD与⊙O交于点G，连接BG，因为AB为⊙O的直径，所以∠AGB=90°. 又因为AD⊥DC C ，所以∠ADC =90°. 于是得到GB∥DC C .根据平行弦夹等弧，所以 = ，进而证得∠DAC =∠BAC .

    （2）在⊙O中，因为AB为直径，所以∠AC B，∠AC E ，∠AC B和∠AC E 都等于90°. 在Rt△AC B和Rt△AC E 中，容易证得∠BAC =∠E AC ，所以Rt△AC B∽Rt△AC E . 根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的等式，即 = = . ①

    再根据∠BAC =∠E AC ，可以证明Rt△AC B∽Rt△AC E ，进而得到下面的等式，即 = = . ②

    由上述等式①和②可以得到 = · =1，所以AB2=AE ·AE ;

    再由①与②还可以得到 · = · =1，所以BC ·BC =C E ·C E .

    2. 拓展2将圆的直径“分裂”为平行且相等的弦

    进一步地，还可以根据文[3]中的分裂合并原理，把图5中⊙O的直径AB“分裂”为平行且相等的弦（A B =A B 且A B ∥A B ），又可以形成下面的问题. [4]

    拓展问题2 如图7，在⊙O中，弦A B =A B ，且A B //A B ，点C在 上，过A ，A 作过点C的切线的垂线，垂足分别为D ，D ，连接B C并延长交A D 的延长线于点E ，连接B C并延长交A D 的延长线于点E ，连接A C，A C. 通过类似于拓展1的探究过程可以得到如下结论：

    求证：（1）∠B A C=∠D A C，∠B A C=∠D A C;

    （2）A B =A E ·A E ，B C·B C=CE ·CE .

    证明：（1）如图7，我们设A E 与⊙O交于点G，再连接GB . 首先因为A B 与A B 平行且相等，所以 与 、 与 分别相等，所以 + =180°，所以∠B GA =? =90°. 进一步地，通过证明D C∥GB ，可以知道 = ，所以根据“等弧所对的圆周角相等”证得∠D A C=∠B A C.再根据A D ⊥D C，A D ⊥D C，可以证明A D ∥A D . 又根据A B ∥A B ，可以得到∠D A B =∠D A B ，所以∠B A C=∠D A C.

    （2）如图7，一方面∠A B C=? = （ - ）= （ - ）;另一方面，根据文中的“分裂合并、连续变化”两原理可知∠A E B = （ - ）. 又 = ，所以∠A B C=∠A E B . 注意到∠B A C=∠CA E . 所以△A B C∽△A E C得证.

    根据相似三角形的性质得到等式 = = .①类似地，一方面，∠A CE =∠A CD +∠D CE =∠A CD +∠B CF=? +? =? ;同时∠A CB =? ，由于 = ，故得到∠A CB =∠A CE . 而另一方面∠B A C=∠E A C已证，所以易证△A CB ∽△A CE .

    再根据相似三角形的性质得到等式 = = . ②

    由①与②得 · = · =1. 所以A B ·A B =A E ·A E ，即A B =A E ·A E .又因为 · = · =1. 所以证得CB ·CB =CE ·CE .

    深度反思与教学启示

    波利亚认为：数学解题是一项实践性的技能，学解题就好比学游泳，是需要通过模仿和实践才能学会的. 因此，教师要想提高学生的解题能力，就必须认真研究、深入揣摩教材中的例题和习题，通过深挖蕴含在题目中的数学本质和教育价值，发现其拓展延伸和探究发现的空间，并在解题教学中给学生预留足够的时空，创设更多的机会，引导学生通过观察与模仿等实践活动，践行发现、提出、分析和解决问题的生动过程，将培养学生思维里潜在地对数学解题的兴趣落到日常教学实处.

    1. 深刻挖掘习题教育价值

    全面回顾上述课本习题的分析、证明与拓展全过程，我们可以看到，本题在促进学生巩固平面几何的基础知识、强化基本技能以及提高学生几何证明的推理能力和创造能力等方面具有重要的学科功能，其中蕴含着丰富的数学教育价值. 特别是变与不变、特殊与一般之间的辩证关系等，都有明确的体现.

    比如，本题中的切线与割线是两个不同的概念，但是，如果能从运动变化的角度出发，遵循特殊与一般之间这种普遍的、辩证的、联系的观点去审视，那么这两个概念之间就存在着重要且深刻的关系. 事实上，切线就是割线的一种特例，也就是当直线与圆的两个交点重合时的特殊情形. 这种研究数学问题的视角和观点是十分有必要讓学生去理解和体验的.

    再如，“类比与归纳”这种研究方法也是需要通过解题实践的全过程，让学生切身体验的. 当切线演变成割线后，到底原问题的结论将怎样变化？结论的表达应该是什么形式？这种形式是否正确？等等，诸如此类的问题，都将激起学生的研究热情. 有效类比、大胆猜想、可靠验证及严谨推理等思维过程，不仅可以帮助学生学会解题，同时可以促进学生学会根据类比归纳形成并作出猜想，这是一种研究数学问题的普适方法. 教师希望培养学生的创新精神和实践能力，就必须正确且持续地指导学生学到“搞发明和做归纳”的这种思考能力和研究能力[5].

    由此可见，教师要特别重视教材中例题、习题的知识巩固、技能示范、思维指导等教育功能，善于通过适时适度的拓展延伸发挥其引导探究与猜想发现的育人价值.

    2. 适度开展习题拓展探究

    应该说，数学教育的一个基本任务就是将学科的数学转化为教育的数学[6]. 这就需要教师精心设计例题、习题的教学过程，把枯燥乏味的解题训练转化为充满生机与活力的育人实践，以便把数学这种最为精细和精确的思维方式，以最具有亲和力的途径，让学生深切地感悟和体验到. 这就需要教师深度研究教材例题、习题的类型结构、功能特点，全面分析典型题目的条件结论，深入挖掘例题、习题的多种解法和基本变式，依据学情精准适度地设计例题、习题的拓展探究过程，通过巧妙地“借题发挥”，强力助推不同层次学生的学习过程和思维拓展.

    在本题的解题过程中，学生要想自然而然地获得拓展的思路，就需要從条件出发，借助归纳推理来“预测”数学结论，再借助演绎推理“验证”数学结论. 在这个思维过程中，还需要教师通过精准设计问题，在引发学生独立思考的基础上组织开展同伴之间的对话交流和思维碰撞，以便使解题学习过程充满研究的味道和思辨的乐趣.

    因此，笔者认为数学解题教学的过程，应该是教师指导学生学会数学发现、数学思考与数学表达的全过程，这个过程需要教师以学生的学习为中心，依据课程目标和学生素养水平进行精心设计与精致实施.

    3. 有效指导题后回顾反思

    实际上，在精心设计与精致实施解题教学的过程中，指导学生自觉而有效地开展题后回顾与反思的过程是师生都最容易忽略和遗漏的. 其实，通过回顾完整的解答过程，重新斟酌和审查结果以及获得结果的不同途径，不仅能巩固学生的数学基础知识，还能提高他们的解题能力. 因此，波利亚提醒教师要让学生深刻地认识到：没有一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做，比如，彻底检查每个解题步骤，改进和优化解题方法，深化对解题过程与答案的理解，等等[7]. 在解题拓展之后，教师可以引导学生深入思考：以前是否有过类似的解题经历，二者之间有哪些异同，据此可以获得哪些解题基本经验，甚至可以引导学生想象一些情况，去思考这些解题经验和已经获得的结论还可以在哪些方面得到更为广泛而灵活地运用，等等.

    长此以往，上述问题就可以显现出特有的力量，使学生们在不断地自我追问与主动思辨中充分意识到：数学问题之间是存在着普遍而深刻的内在联系的，转化与归纳、联系与发展是产生创新思维的重要思维过程. 当然，这种运用联系的观点认识和研究问题的意识也将有效促进学生再创造思维能力的提高，积极应变和主动求变将使学生的数学核心素养获得持续而有效的发展.

    参考文献：

    [1] 王本陆. 课程与教学论（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2017（12）.

    [2] [6] （美）G·波利亚.怎样解题——数学思维训练的新方法[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007（5）.

    [3] 杨之，郭璋.计算机辅助教学的四条原理[J]. 数学通报，2004（04）.

    [4] 白雪峰.探究促拓展 老题生新花——以一道常见几何试题的三个拓展为例[J]. 数学通报，2019（01）.

    [5] （美）G·波利亚.数学与猜想——数学中的归纳和类比[M]. 北京：科学出版社，2001（7）.

    [7] 史宁中. 数学思想概论[M]. 长春：东北师范大学出版社，2009（8）.