谈谈数学问题解决中的“设”
【摘 要】 设未知数（量）或变量是数学问题解决时经常用到的一种思考方法.从数学发展的历史视角追溯“设”的起因，沿袭起因，结合实例探究“设”对问题解决的推动作用;现实追问学生为什么不习惯“设”;指出了让“设”成为自觉意识的两点策略：教学有“序”，“设”而有方
【关键词】 问题解决;“设”;自觉意识
学习数学的一个重要能力是能运用数学知识解决问题.“设”是数学问题解决时经常用到的一种思考方法，这里的“设”主要是指引进字母表示问题中的一些特定的数（量）或变量.“设”沟通了已知与未知的数量关系，架起了数与量以及量与量之间的桥梁.由于对“设”的习以为常，人们往往会缺乏思考与总结.下面就从“设”的由来谈起，探究“设”对问题解决具有怎样的推动作用，学生为什么不习惯“设”，怎样让“设”成为自觉的意识等问题.
1 “设”的由来
数是人们经过长期实践创造出来的，并建立了专门研究数及其运算的学科——算术，算术几乎是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的，它有着非常悠久的历史[1].随着
实践的发展，人们发现只有算术还不够，用字母表示数会起到更大的作用，代数这门学科就逐步产生了
在数学发展史上，“字母表示数”经历了三个历史阶段：词语阶段——简略阶段——符号阶段[2]，从内在的认知角度，可以划分为四个进程：字母表示某种意义或某个事物（词语阶段）——字母表示确定量——字母表示未知量（简略阶段）——字母表示一般量或一类量（符号阶段）.历史上，从丢番图用缩写的字母表示数到韦达用字母表示一般意义上的数，用了整整1200年！
由此可知，代数的产生，其中经历了漫长曲折的过程.字母表示数是代数发展史上的一个里程碑，含有字母的式子进行运算和推理时更具一般性，因而字母所表现出来的简明性、一般性是数无法比拟的.人们解决问题的思维方式与数学概念的历史发展过程具有相似性，从数到字母的演变历程提供了人们解决问题的一般范式和解决思路.宋元时期，中国数学家创立了用数学文字符号列方程的“天元术”，“立天元一”相当于现在的“设未知数x”;17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x，y，z这样的字母表示未知数.由此，“设”源于用字母表示数，源于算术到代数的演变.代数的进一步发展使表示设的字母的意义越来越广泛：它不但可以用来泛指某个数集中的一个数，也可以专指特定的数，如方程中的未知数，或者表示变量、表示不定元，还可以代表一个数学对象，如代数式、函数等.
2 “设”对问题解决的推动作用
追寻从数到字母的演变历程，追索“数”和“量”之间的关系，结合数学问题从已知探索出未知的特征，体现在解题上，有时通过设定未知，已知得以更充分利用.虽然用字母表示数最初产生的是代数这门学科，但由于数学是研究数量关系与空间形式的科学，几何问题中同样存在着纷繁复杂的数量关系.小题目蕴含大乾坤，下面以几何中的一些选择和填空为例，说明“设”在问题解决中起到的推动作用.
2.1 便于表示，参与运算图1
例1 如图1，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是BC边上一点，若DE平分△ABC的周长，則DE的长为
这里谈一下其中的一种解法：取CB中点F，连接DF.
设CE=x，因为AC=1，D是边AB的中点，DE平分△ABC的周长，
所以EB=AC+CE=1+x，所以BC=CE+BE=1+2x.
因为F是CB中点，所以CF=x+12，所以DF=EF=12.
因为DF∥AC，∠ACB=60°，
所以DE=3EF=32.
评析 通过字母把未知的量引入算式，以数解形，能更方便地表示数量关系，数和字母一起运算使问题的解决变得简单.通过计算来突破问题的关键DF=EF，这也是得到线段相等的一种策略.
2.2 设而不求，整体思维
例2 一个大平行四边形按如图21方式分割成九个小平行四边形，且只有标号为①和②的两个小平行四边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，则n的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
图21图22
解 如图22，大平行四边形的周长可表示为2（x1+x2+x3）+2（y1+x2+x3）=2（x1+y1）+4（x2+x3），运用整体思维，只要知道③④或③⑤两个小平行四边形的周长即可，选A
评析 这个问题有别于常规的求解题，有比较明晰的解决问题所用的知识和方向的指引，因而转换思维的角度很重要.想到去“设”，然后考虑怎么设.当尝试着设定多个未知量后，问题的前景依旧是迷茫的，但一经代数式表示，一下子明朗化，整体思维的运用使得问题瞬间拨云见日，豁然通达
变式 一个大矩形按如图31方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中.若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）
A.2 B.3 C.4 D.5
图31图32
评析 迁移原问题解题经验，设定多个未知量，由于①、②是正方形，尽可能减少未知量个数.可表示大长方形面积为（x1+x2+x3）（y1+x2+x3），但不同的是，此处两个括号无法打通！转化思维视角，观察代数式，将x1+x2和y1+x2看做整体，即分别为图32中标号为③④的小长方形的周长，知道x3就是知道小正方形①的周长，从而知道①③④三个矩形的周长即可，同理知道②⑤⑥三个矩形的周长也可，选B.
2.3 寻求等量，布列方程图41图42
例3 图41是小明设计的花边图案作品，该作品由形如图42的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）.该矩形图案既是轴对称图形，又是中心对称图形.图42中，AEAF=23，上、下两个半圆的面积之和为4π?cm2，中间阴影菱形的一组对边与EF平行，且菱形的面积比4个角上的阴影三角形的面积之和大12??cm2，则AB的长度为cm图43
简解 如图43，△AEF∽△OGH∽△NGF，
设AE=2a，NG=2b，OG=2c，
则AF=3a，NF=3b，OH=3c
因为MH=ME=2，由OM=NA，AM=NO，
列方程得3a+3b=3c+2①，2b+2c=2a+2②，
菱形的面积比4个角上的阴影三角形的面积之和大12?cm2，
可得12a2+12=12c2③，解①②③组成的方程组，
得a=3512，b=56，c=3712，从而有AB=452.
评析 本题的难点是图形复杂，由多种图形组合而成，已知条件少而分散，未知因素太多.结合图形特征，适当添加辅助线，从图中可以看出形状相同大小不同的三角形有三类，需要设出三个独立未知数，接下来要做的就是挖掘图形性质、寻求等量关系、列出相应的方程，从而使问题得解.而设未知数列方程更是“设”的一种重要功能，笛卡尔的普遍数学思想“一切问题……都可以转化为方程问题”，说明了方程的重要作用.根据实际问题可以直接设，间接设，设而不求.象本题通过间接设未知数最终求出AB的长.
2.4 联通变量，构建函数
例4 如图5，已知AE=10，点D为AE上一点，在AE同侧作正方形ABCD，正方形DEFH，G，M分别为对角线AC，HE的中点，连结GM.当点D沿着线段AE由点A向点E方向上移动时，
四边形AGME的面积变化情况为（）
A.不变 B.先减少后增大C.先增大后减少D.一直减少图5
简解 连接DG，DM，可得△DGM为直角三角形，△AGD，△DME为等腰直角三角形
设AD=x，四边形AGME的面积为y，
y=12×22x×22（10-x）+12x2+12（10-x）2=14（x-5）2+754
因为0 评析 函数是反映两个变量之间对应关系的数学模型，本题点的位置变化对应着四边形的面积变化，问题结构的本身就明示了变量之间的函数关系，要考虑的是设哪个量为自变量比较方便，这里也可设DE.“设”对问题解决的繁易起着很重要的作用 除了上述“设”的作用外，还可以设参数表示不定元参与运算;对复杂的含有数的计算，并且数之间有一定的数量关系，可以通过“设”把数的运算转化为式的运算，化繁为简，进行形式运算;也可以通过“设”整体换元，降低计算量等等.明确“设”的作用可以让学生得到一种体验，感悟为什么设，怎么设方便，最终引导迁移. 3 学生为什么不习惯“设” “设”的作用强大，但在需要通过“设”解决问题时，学生经常缺乏自觉的“设”的意识，或者想到了“设”最终却“望而怯步”，原因为何？3.1 学生的学习历程 小学学生接触的是算术，基本上都是进行数的化简与运算.当“数”的观念在头脑中根深蒂固时，学生接受新的表达方式便需要观念的转变和时间与实践的磨砺.算术到代数的演变过程是具体数字符号化和形式化的抽象过程.一般情况下，人们内心里总是拒绝抽象，拒绝不确定，对学生而言，短时期内用字母表示数并且理解字母的意义内涵，其难度可想而知.再过渡到解决问题时自觉地通过“设”用字母表示未知量或变量，更是难上加难.3.2 学生的解题心理 解题活动是一项十分复杂的心智活动，是认知主体对自身认知活动的认知.在数学解题的过程中，解题者无时不在对自身心理状态、能力、任务目标、认知策略等方面进行新的认知.“设”体现了辅助元法、待定系数法、换元法等数学方法，也渗透着符号与变元思想、方程思想、函数思想、数形结合等数学思想.因而问题的最终解决，是解题能力与解题信念共同作用的结果.一方面，由于对新的数学问题结构的不熟悉，未能寻求到条件结论两者之间的解决通路，对需要进行“设”解决问题学生想不到;另一方面，当设定未知量后，由于解题经验的不足，学生对问题缺乏预估能力，心理上始终在想它是未知的.特别是设定多个未知量后，计算能力的薄弱、解题能力的缺乏使得學生对太多的未知产生担忧，从而不敢再往前往深处探究.于是，总希望跨越“设”的鸿沟，从条件出发直接解决问题，缺乏尝试的勇气和解题的耐心. 4 让“设”成为自觉的意识 4.1 教学有“序” 上述的分析与讨论中提及了“设”的由来以及在“字母表示数”过程中人们认知发展的四个阶段，做到学生认知的“序”、数学知识的“序”、教学的“序”三者的有机融合[3]，顺“序”推进，是让学生产生自觉的符号意识，果断、大胆、适当地设定未知量或变量解决问题的关键 对应于“字母表示数”认知发展的四个阶段，人教版教材在数与代数内容里循序渐进地安排了整式的加减、一元一次方程、实数、二元一次方程组、不等式与不等式组、整式的乘法与因式分解、分式、二次根式、一次函数、一元二次方程、二次函数、反比例函数等内容.从“数”到“式”，从“一次”到“二次”，从“一元”到“多元”，逻辑、系统、有序地对知识作了整体的安排，逐步地引进字母表示数、表示未知量、表示变量 在教学中，充分认识学生对“字母表示数”的认知发展过程，准确地找到学生认知的当前层次和发展趋势，充分理解教材的编排意图和编排体系，结合教材相应内容，心中有“序”，从具体到抽象、特殊到一般逐步渗透，让学生在运用中逐步感悟“字母代数”的一般性和优越性，进而产生一种自觉的符号意识和模型意识.当能用符号进行运算和推理并解决问题时，学生对需要“设”解决的具体问题就不再抗拒与担忧了. 4.2 “设”而有方 什么情况下要想到“设”？让“设”成为一种自觉的意识，成为惯常的解题方法和思维策略呢？随着解题能力的逐步提高和解题经验的积累，通过对已知条件的感知，获得数、形方面的信息，学生对一类问题能找出共性，产生一种数学上的熟悉感.从前文“设”的作用也可看出，当碰到未知的量或者变量数目较多感觉无从下手时，就可能是要引进未知数或者变量的时候了.而且不但可以引进一个，甚至可以多个.至于设哪个量，这个量往往与较多的已知量关系紧密，若未知量与未知量有关系，可以用一个未知量表示另一个未知量，减少未知量个数，也可以都设出来.通过“设”寻找关系，建立代数式、方程、不等式或函数模型，通过对数学符号的运算、推理、变换，进行化简、解方程、解不等式或利用函数性质解决问题. 5 结束语 “设”作为解决数学问题时的一种手段和路径，其最大优点是把未知当已知，架起已知和未知的桥梁.有些问题中，未知虽然“犹抱琵琶半遮面”，但千呼万唤“设”出来，早已“未成曲调先有情”.“设”有道，怎么设，设谁？教师和学生要做的是：能在数学问题解决的历经、品析、反思、感悟过程中，得到灵动的习得和深刻的启迪.其中，反思和感悟是一个慢慢参悟、内化、修炼、得道的过程，解题的境界是先入得题海，再能出得题海.通过方法的归纳、思想的提炼，得以专于术、诚于道、游于艺[4]. 参考文献 [1]林群.义务教育教科书（数学·七年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2012：61. [2]李士锜，吴颖康.数学教学心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2011：70. [3]陈林香.顺应认知整体架构——人教版平方根教学的改进尝试[J].中学数学教学参考，2016（9）：20. [4]郑瑄.例谈数学教学中慢与快的辩证法[J].数学通报，2018（11）：25作者简介 陈林香（1972—），女，中学高级教师，浙派名师，台州市名师，主要从事中学数学教学研究和命题研究.
