高考试题中的“数学运算素养”解析
闫佳洁 张定强
大数学核心素养之一，也是影响高考数学成绩的重要因素.以近五年数学新课标全国理科卷Ⅱ为研究对象，对高考中数学运算素养的考查进行梳理，发现：数学运算基本贯穿高考解题过程，主要是对数学运算性质、运算方法、运算思路和演绎推理等方面的考查;结合历年高考数学试题，解析数学运算素养中的理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果的表现形态，提出了相应的教学建议.
【关键词】数学运算素养;试题解析;教学建议
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则、运用数学方法解决数学问题的素养[1]，并与数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析素养一起形成数学素养.在问题解决的过程中，良好的数学运算好比通往数学思维和问题解决的高速公路，可以快捷地打开问题解决的大门，提高问题解决的速度和准确度.
数学运算作为数学核心素养之一，其重要性不言而喻.但目前高中生数学运算能力的现状不容乐观，经常出现“会而不对，对而不全，全而不优”的现象[2]，夏春南认为学生对运算的重视程度不够以及教师教学中疏忽了对学生解题规范的训练是造成这种现象的主要原因[3]，章建跃认为可以通过落实数学运算素养来改变高中生运算能力差的现状，要注重数学运算的基本技能，要从“数系扩充的背景、内容、方法及其数学思想”处提升学生的数学运算素养[4]，不少研究者也认为高中生数学运算素养要从基本技能和思想方法上重点培养[2][5].数学高考作为探测学生数学学业质量的重要方式，对数学能力的考查采取以知识为基础，以题为载体[6]的评价方式，因此透过高考这一视角就可以在一定程度上了解学生数学素养的真实水平.本文以近五年（2014—2018）数学新课标全国理科卷Ⅱ为研究对象，对高考试题中数学运算素养做一深度解析.
1 试题中的“数学运算素养”的整体呈现析理
数学高考是综合考查学生高中阶段数学学业质量水平的关键路径，因此一道试题可能考查多个数学知识或数学素养，例如一道圆锥曲线题，要运用圆锥曲线知识，通过看图、读图、推理、计算等方式来解决，包含了对直观想象、逻辑推理、数学运算素养等的考查.数学运算作为解决问题的手段，是影响数学成绩高低的重要因素，现就近五年高考数学试题中涉及数学运算素养的主要知识点进行梳理，以概述“数学运算素养”的整体呈现.
由表1可知，每年的高考题都重视对数学运算素养的考查，小到运用运算公式进行数值计算，大到探究运算思路，选择运算方法等，从考查方式来看，主要和其他知识点结合，运用记忆、理解、推理的方式沟通不同的知识点，建构问题解决的思路.
从横向看，集合、复数、向量、指对幂函数等内容的考查以运算法则和性质定理为主，圆锥曲线、导数等内容的考查以运算思路和演绎推理为主，三角函数、解三角形、数列、概率统计等内容的考查以运算方法为主.从纵向看，每一知识领域的数学运算素养的考查都具有较强的继承性，但是侧重点有所不同.例如向量数量积运算几乎每年的试题中都有所涉及，有的侧重于考查定义，有的侧重于坐标表示与运算;又如对导数运算的考查每年都涉及求导运算，但2014年、2016年重点考查运算的演绎推理品质，而2015年、2018年侧重考查探究运算思路的能力，2017年则侧重考查求得运算结果的能力.
2 试题中的“数学运算素养”考查重点例析
每一道试题都有其考查的重点，有的聚焦于重要数学概念、命题、思想、方法的理解和应用，有的注重数学本质及通性、通法的掌握.涉及到“数学运算素养”的试题也不例外，主要表现为对理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果等方面的考查.
2.1理解运算对象的考查例析
理解运算对象就是要明确对谁进行运算，即了解运算对象的背景，理解运算对象的实质、几何意义、相关数学思想以及相关联的概念等，对运算对象的理解不是一蹴而就，而是由浅入深的过程，并通过运算过程加深对运算对象的理解和认知，从而明晰运算对象的所指和能指，感受运算对象的内涵和外延.解高考题的过程中，只有对运算对象及其特征做到心中有数，才能使运算自然顺畅进行.
2.3探究运算思路的考查例析
运算思路是运算操作的路线图，具有内在的逻辑性，蕴含着丰富的推理过程，不同的运算思路反映着不同的运算思维，运算思路通过运算方法与运算过程来体现.运算思路是体现数学运算素养的精华，运算思路的探索是“解决数学问题的關键”[8]，运算的过程是反应、揭示规律的过程，是演绎推理的过程，通过探究运算思路，能够促进数学思维发展;高考解题中，通常把一个大的运算问题分解为多个小问题运算的思路来解决，随着每一步运算结果的出现，都会推进问题解决的进程，达到问题解决的目的.
例3（2018年·理第19题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，AB=8.
（Ⅰ）求l的方程;
（Ⅱ）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
分析本题考查抛物线与直线相交的问题.第一问运算的总体思路是设而不求，联立方程求解并确定l的方程;第二问主要采用一般圆的方程确定方法，这一方法的关键在于求圆心坐标，即几何问题代数化，这是本题中运算思维的第一步，也是关键一步，圆心确定的关键是数量关系的转化，即圆与准线相切的基本条件可以通过半径进行刻画，通过勾股定理解决问题.在解题过程中，运算思路决定了解题方法的可行性和运算结果的准确性，尤其第二问会因为运算思路的偏差出现漏解的情况，求解过程中，不能因为抛物线的某一性质（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切）就确定要求解的圆是以AB为直径的圆，这一不严谨的运算思路会直接导致运算结果不完整，正确的运算思路是在几何图形的情境中，深入对代数化的几何图形进行分析，灵活运用几何特征和代数运算法则产生的.
2.4求得运算结果的考查例析
求得运算结果是正确理解运算对象、灵活运用运算法则、机智使用运算方法来解得正确答案的综合体现.求得运算结果的能力分为基本运算能力和综合运算能力.基本运算能力主要考查运算技能，是根据已知量算出未知量的运算过程，考查基本运算的高考题重点不在运算，而在于知识本身，因此这一类题对于运算的要求以关注会算、算对及运算的速度为主.综合运算能力基于基本运算能力之上，是理解运算对象、掌握运算方法、探究运算思路、求得运算结果的综合体现，其中运算思路与方法是运算的正确性、运算量、运算的复杂性与技巧性的主要影响因素，对运算对象的理解程度是求得正确运算结果的充要条件，通过对运算对象的理解判断运算结果是否都满足条件是求得运算结果的一种品质，是学生严谨求实精神的一种表征.高考中对于综合运算能力的要求较高，往往不只停留在数值和符号运算中，更是数学思维的表征，这类题通常设置在试卷的最后部分，运算在这类试题中充当的角色好比身体中的血液，连通了所有的解题思路和解题过程.
分析这是对数学运算素养综合考查的一道题目，数学运算贯穿于整道题的解题过程.运算的主要思路是通过构造函数，研究函数的单调性和极值解决问题，运算的主要方法是用求导解函数单调性和极值，第一问通过将f（x）拆分成两个函数的乘积，从而构造函数h（x）（假设构造的函数为h（x））并通过求导运算解得h（x）的极值，理解a在h（x）中的意义，求得a的大小;第二问运算利用极值、零点存在定理、分类讨论思想等解决问题，通过每一步运算得到的结果提示进行逻辑推理，得到更加准确明晰的运算思路，因此运算的过程是揭示规律、逻辑推理的过程，在解题过程中运算使用频率较高，难度较大.
3 教学建议
普通高中数学课程标准（2017年版）把数学运算作为数学学科核心素养之一，显现出数学运算在高中数学学习中的重要性，高考是学生学业素养的评价工具和手段，对高中课堂教学具有重要的导向作用，基于对高考试题中数学运算素养的解析，对数学运算素养的落实提出如下教学建议.
3.1观念转变，重视学生数学运算素养的培养
数学运算在90%的高考数学题目中均有所涉及，因此在日常教学中应高度重视对学生数学运算素养的培养.首先教师要正确理解数学运算的本质含义，数学运算素养不仅包含技能层面的数学运算知识，还包含认知层面的数学思维，对于高中生的教学更应该注重后者.教师要正确理解2015年出版的课程标准中“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”[9]的意义，避免双基异化现象，在数学知识、思想、方法的设计与实施中，重视数学运算的设计与分析，不断挖掘数学运算的本质;其次，数学运算不只是小学和初中的重要内容，应该明确数学运算在高中阶段也是学生重要的学习内容，只是不同阶段对学生数学运算的要求不同，在高中阶段，运算中要凸显演绎推理、数学思维品质的形成，通过数学运算发展学生的思维，同时应该关注数学运算技能阶段性要求，在关注学生数学运算的准确、速度、方法的基础上，帮助学生在问题解决中搭好数学运算这辆高速列车.
3.2聚焦核心，关注数学运算中数学思维发展
数学运算不是简单的记公式背运算性质的技能，还要关注学生数学思维的发展.高中數学运算素养是继义务教育阶段之后对于数学运算素养的进一步提高，义务教育阶段数学运算偏重于运算技能和算理，高中阶段的数学运算教学应该更加关注运算中演绎推理过程和数学思维的培养.高中阶段数学运算在数系的扩充——复数和引入向量的运算两部分内容上形成了两次飞跃，丰富了数学运算，特别是带有方向的向量运算使数学运算的内涵得到了拓展，对于这些数学运算的教学应该更加关注运算的的算理和背景、数学思想等内容，对比实数、自然数的运算，帮助学生更深刻地认识运算，关注数学运算的算理，发展学生的数学思维，培养学生规范化思考问题的品质，帮助学生养成一丝不苟、严谨求实的科学精神[1]，同时通过解析几何、导数等模块的学习帮助学生体会数学运算是演绎推理的内涵，在运算中探究思路、选择运算方法，培养学生的数学思维.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.
[2]陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].复印报刊资料·高中数学教与学，2017（04）：17-20.
[3]夏春南.关于高一新生数学运算能力的调查研究[J].复印报刊资料·高中数学教与学，2017（04）：11-16.
[4]章建跃.高中阶段的数学运算素养该强调什么[J].中小学数学（高中版），2016（06）：66.
[5]蒋智东.从提升学生运算能力的角度谈数学核心素养的培养——以高三复习为例[J].复印报刊资料·高中数学教与学，2017（04）：25-27.
[6]任子朝，符华均，黄正正等.高中文理科学生数学水平比较研究[J].课程·教材·教法，2015（06）：62-67.
[7]贾光辉.从数学核心素养与育人价值看运算主线[J].数学教学研究，2016（10）：2-6.
[8]普通高中数学课程标准修订组.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.
[9]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2015.
大数学核心素养之一，也是影响高考数学成绩的重要因素.以近五年数学新课标全国理科卷Ⅱ为研究对象，对高考中数学运算素养的考查进行梳理，发现：数学运算基本贯穿高考解题过程，主要是对数学运算性质、运算方法、运算思路和演绎推理等方面的考查;结合历年高考数学试题，解析数学运算素养中的理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果的表现形态，提出了相应的教学建议.
【关键词】数学运算素养;试题解析;教学建议
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则、运用数学方法解决数学问题的素养[1]，并与数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析素养一起形成数学素养.在问题解决的过程中，良好的数学运算好比通往数学思维和问题解决的高速公路，可以快捷地打开问题解决的大门，提高问题解决的速度和准确度.
数学运算作为数学核心素养之一，其重要性不言而喻.但目前高中生数学运算能力的现状不容乐观，经常出现“会而不对，对而不全，全而不优”的现象[2]，夏春南认为学生对运算的重视程度不够以及教师教学中疏忽了对学生解题规范的训练是造成这种现象的主要原因[3]，章建跃认为可以通过落实数学运算素养来改变高中生运算能力差的现状，要注重数学运算的基本技能，要从“数系扩充的背景、内容、方法及其数学思想”处提升学生的数学运算素养[4]，不少研究者也认为高中生数学运算素养要从基本技能和思想方法上重点培养[2][5].数学高考作为探测学生数学学业质量的重要方式，对数学能力的考查采取以知识为基础，以题为载体[6]的评价方式，因此透过高考这一视角就可以在一定程度上了解学生数学素养的真实水平.本文以近五年（2014—2018）数学新课标全国理科卷Ⅱ为研究对象，对高考试题中数学运算素养做一深度解析.
1 试题中的“数学运算素养”的整体呈现析理
数学高考是综合考查学生高中阶段数学学业质量水平的关键路径，因此一道试题可能考查多个数学知识或数学素养，例如一道圆锥曲线题，要运用圆锥曲线知识，通过看图、读图、推理、计算等方式来解决，包含了对直观想象、逻辑推理、数学运算素养等的考查.数学运算作为解决问题的手段，是影响数学成绩高低的重要因素，现就近五年高考数学试题中涉及数学运算素养的主要知识点进行梳理，以概述“数学运算素养”的整体呈现.
由表1可知，每年的高考题都重视对数学运算素养的考查，小到运用运算公式进行数值计算，大到探究运算思路，选择运算方法等，从考查方式来看，主要和其他知识点结合，运用记忆、理解、推理的方式沟通不同的知识点，建构问题解决的思路.
从横向看，集合、复数、向量、指对幂函数等内容的考查以运算法则和性质定理为主，圆锥曲线、导数等内容的考查以运算思路和演绎推理为主，三角函数、解三角形、数列、概率统计等内容的考查以运算方法为主.从纵向看，每一知识领域的数学运算素养的考查都具有较强的继承性，但是侧重点有所不同.例如向量数量积运算几乎每年的试题中都有所涉及，有的侧重于考查定义，有的侧重于坐标表示与运算;又如对导数运算的考查每年都涉及求导运算，但2014年、2016年重点考查运算的演绎推理品质，而2015年、2018年侧重考查探究运算思路的能力，2017年则侧重考查求得运算结果的能力.
2 试题中的“数学运算素养”考查重点例析
每一道试题都有其考查的重点，有的聚焦于重要数学概念、命题、思想、方法的理解和应用，有的注重数学本质及通性、通法的掌握.涉及到“数学运算素养”的试题也不例外，主要表现为对理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果等方面的考查.
2.1理解运算对象的考查例析
理解运算对象就是要明确对谁进行运算，即了解运算对象的背景，理解运算对象的实质、几何意义、相关数学思想以及相关联的概念等，对运算对象的理解不是一蹴而就，而是由浅入深的过程，并通过运算过程加深对运算对象的理解和认知，从而明晰运算对象的所指和能指，感受运算对象的内涵和外延.解高考题的过程中，只有对运算对象及其特征做到心中有数，才能使运算自然顺畅进行.
2.3探究运算思路的考查例析
运算思路是运算操作的路线图，具有内在的逻辑性，蕴含着丰富的推理过程，不同的运算思路反映着不同的运算思维，运算思路通过运算方法与运算过程来体现.运算思路是体现数学运算素养的精华，运算思路的探索是“解决数学问题的關键”[8]，运算的过程是反应、揭示规律的过程，是演绎推理的过程，通过探究运算思路，能够促进数学思维发展;高考解题中，通常把一个大的运算问题分解为多个小问题运算的思路来解决，随着每一步运算结果的出现，都会推进问题解决的进程，达到问题解决的目的.
例3（2018年·理第19题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，AB=8.
（Ⅰ）求l的方程;
（Ⅱ）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
分析本题考查抛物线与直线相交的问题.第一问运算的总体思路是设而不求，联立方程求解并确定l的方程;第二问主要采用一般圆的方程确定方法，这一方法的关键在于求圆心坐标，即几何问题代数化，这是本题中运算思维的第一步，也是关键一步，圆心确定的关键是数量关系的转化，即圆与准线相切的基本条件可以通过半径进行刻画，通过勾股定理解决问题.在解题过程中，运算思路决定了解题方法的可行性和运算结果的准确性，尤其第二问会因为运算思路的偏差出现漏解的情况，求解过程中，不能因为抛物线的某一性质（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切）就确定要求解的圆是以AB为直径的圆，这一不严谨的运算思路会直接导致运算结果不完整，正确的运算思路是在几何图形的情境中，深入对代数化的几何图形进行分析，灵活运用几何特征和代数运算法则产生的.
2.4求得运算结果的考查例析
求得运算结果是正确理解运算对象、灵活运用运算法则、机智使用运算方法来解得正确答案的综合体现.求得运算结果的能力分为基本运算能力和综合运算能力.基本运算能力主要考查运算技能，是根据已知量算出未知量的运算过程，考查基本运算的高考题重点不在运算，而在于知识本身，因此这一类题对于运算的要求以关注会算、算对及运算的速度为主.综合运算能力基于基本运算能力之上，是理解运算对象、掌握运算方法、探究运算思路、求得运算结果的综合体现，其中运算思路与方法是运算的正确性、运算量、运算的复杂性与技巧性的主要影响因素，对运算对象的理解程度是求得正确运算结果的充要条件，通过对运算对象的理解判断运算结果是否都满足条件是求得运算结果的一种品质，是学生严谨求实精神的一种表征.高考中对于综合运算能力的要求较高，往往不只停留在数值和符号运算中，更是数学思维的表征，这类题通常设置在试卷的最后部分，运算在这类试题中充当的角色好比身体中的血液，连通了所有的解题思路和解题过程.
分析这是对数学运算素养综合考查的一道题目，数学运算贯穿于整道题的解题过程.运算的主要思路是通过构造函数，研究函数的单调性和极值解决问题，运算的主要方法是用求导解函数单调性和极值，第一问通过将f（x）拆分成两个函数的乘积，从而构造函数h（x）（假设构造的函数为h（x））并通过求导运算解得h（x）的极值，理解a在h（x）中的意义，求得a的大小;第二问运算利用极值、零点存在定理、分类讨论思想等解决问题，通过每一步运算得到的结果提示进行逻辑推理，得到更加准确明晰的运算思路，因此运算的过程是揭示规律、逻辑推理的过程，在解题过程中运算使用频率较高，难度较大.
3 教学建议
普通高中数学课程标准（2017年版）把数学运算作为数学学科核心素养之一，显现出数学运算在高中数学学习中的重要性，高考是学生学业素养的评价工具和手段，对高中课堂教学具有重要的导向作用，基于对高考试题中数学运算素养的解析，对数学运算素养的落实提出如下教学建议.
3.1观念转变，重视学生数学运算素养的培养
数学运算在90%的高考数学题目中均有所涉及，因此在日常教学中应高度重视对学生数学运算素养的培养.首先教师要正确理解数学运算的本质含义，数学运算素养不仅包含技能层面的数学运算知识，还包含认知层面的数学思维，对于高中生的教学更应该注重后者.教师要正确理解2015年出版的课程标准中“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”[9]的意义，避免双基异化现象，在数学知识、思想、方法的设计与实施中，重视数学运算的设计与分析，不断挖掘数学运算的本质;其次，数学运算不只是小学和初中的重要内容，应该明确数学运算在高中阶段也是学生重要的学习内容，只是不同阶段对学生数学运算的要求不同，在高中阶段，运算中要凸显演绎推理、数学思维品质的形成，通过数学运算发展学生的思维，同时应该关注数学运算技能阶段性要求，在关注学生数学运算的准确、速度、方法的基础上，帮助学生在问题解决中搭好数学运算这辆高速列车.
3.2聚焦核心，关注数学运算中数学思维发展
数学运算不是简单的记公式背运算性质的技能，还要关注学生数学思维的发展.高中數学运算素养是继义务教育阶段之后对于数学运算素养的进一步提高，义务教育阶段数学运算偏重于运算技能和算理，高中阶段的数学运算教学应该更加关注运算中演绎推理过程和数学思维的培养.高中阶段数学运算在数系的扩充——复数和引入向量的运算两部分内容上形成了两次飞跃，丰富了数学运算，特别是带有方向的向量运算使数学运算的内涵得到了拓展，对于这些数学运算的教学应该更加关注运算的的算理和背景、数学思想等内容，对比实数、自然数的运算，帮助学生更深刻地认识运算，关注数学运算的算理，发展学生的数学思维，培养学生规范化思考问题的品质，帮助学生养成一丝不苟、严谨求实的科学精神[1]，同时通过解析几何、导数等模块的学习帮助学生体会数学运算是演绎推理的内涵，在运算中探究思路、选择运算方法，培养学生的数学思维.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.
[2]陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].复印报刊资料·高中数学教与学，2017（04）：17-20.
[3]夏春南.关于高一新生数学运算能力的调查研究[J].复印报刊资料·高中数学教与学，2017（04）：11-16.
[4]章建跃.高中阶段的数学运算素养该强调什么[J].中小学数学（高中版），2016（06）：66.
[5]蒋智东.从提升学生运算能力的角度谈数学核心素养的培养——以高三复习为例[J].复印报刊资料·高中数学教与学，2017（04）：25-27.
[6]任子朝，符华均，黄正正等.高中文理科学生数学水平比较研究[J].课程·教材·教法，2015（06）：62-67.
[7]贾光辉.从数学核心素养与育人价值看运算主线[J].数学教学研究，2016（10）：2-6.
[8]普通高中数学课程标准修订组.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.
[9]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2015.
