平面几何辅助线方法入门实践探索

    张昆 孙甜甜

    

    

    

    [摘要]平面几何推理论证的学习疑难集中体现于探究证明思路的辅助线过程，数学教师应该指导学生利用图形直观去发现辅助线，随着教学的步步深入，最可取的无疑是带领学生理性分析，具体问题具体对待，探究平面几何命题证明中辅助线方法的技能技巧：寻找图形相关要素的“替身”、建立条件与条件及条件与结论之间关系的“中介”，从而帮助学生自己得到平面几何命题证明中需要的辅助线，体会理性思維与理性精神，

    [关键词]平面几何，辅助线，技能技巧，理性分析

    平面几何的推理证明，基于图形的直观可以指导十二、三岁的初中学生掌握这种公理化典范性的语言表达方式：事出有因、言之有据，一步一据、环环紧扣，言之凿凿，有着令人信服的力量，然而，基于长期平面几何推理论证教学经验，笔者认识到，这种特点使一部分学生产生了无比的学习热情，他们沉迷于寻找平面几何命题的证明思路之中，产生了浓厚的学习兴趣：而对于另一部分学生来说，却造成了他们学习上的心理疑难，成为学习平面几何知识的拦路虎，那么，平面几何教师应该如何提高自己推理论证的教学水平，才能帮助那部分感到平面几何推理论证学习困难的学生呢？

    1 平面几何推理论证学习的疑难心理环节定位

    初中生学习平面几何命题证明时的心理活动会产生两方面疑难：一方面，在定理学习及其应用中，难以准确理解定理或公理的结构，难于准确辨别定理中各元素所处位置及其关系：另一方面，在应用定理（公理）探究证明思路时，往往分不清命题题设和结论，作不好比较准确的几何图形等，有时，他们虽然可以解决这一切外围问题，但却选择不出主攻方向，只能堆砌或拼凑条件，即使得到了正确证明思路，也存在着几分侥幸，但是这些疑难在教师的努力下是可以解决的，为此，有必要分析平面几何命题证明的一般过程，如图1.

    从图l中可以认识到，所要证明命题结论，最终都由已知构成，但稍微复杂一点的平面几何命题，在寻找这些已知时，不可能一次性达到目的，而需要配合即将准备使用定理（或公理），首先寻找出作为中介环节的“需知”，利用“需知”调控已知对结论的决定性作用，由这些中介性的“需知”把学生寻找命题的证明思路从混沌状态转换成了明确清晰的条件配置的线性序列，降低了逻辑思维强度的要求，从而为辅助线方法的实现奠定了现实基础，平面几何教师应该帮助学生逐步熟练明恃图形直观，暗借普通常识，帮助学生将辅助线从已知条件（透过图形的直观感知）的背景中透显出来，这是平面几何命题证明的诉求。

    由此分析认识到，对于稍微复杂一些平面几何命题，在探究其证明的思路时，少数的“需知”不是一目了然的，而是隐藏在其他条件（称之为“隐含条件”）的配置之中，需要学生将其挖掘出来，在这种挖掘过程中，有的“隐含条件”在原命题所提供的图形中还不能充分地实现，此时，应该通过添加辅助线，补足图形，从而将隐含条件转化为显性条件，为条件的使用打开方便之门，现在举例说明探究平面几何命题证明人门时的辅助线方法的一些技能技巧。

    2 探究平面几何命题证明辅助线方法入门的课程资源分析

    数学教科书对于稍微复杂一些平面几何命题证明的辅助线，总习惯于通过三种方式呈现，其一，使用感官的感性思维发现（看出）辅助线，例如，在讲“三角形内角和定理”的证明时，就是采用“撕下三个角加以拼接，得到了一个平角的形象”，从中可以看出辅助线的产生;在讲“等腰三角形的性质定理”的证明时，采用了“沿着等腰三角形的底边上的高线折叠，得到了折痕的形象”，从而形成了辅助线，其二，在少数时候，也使用理性分析得出辅助线，其三，直接给出证明过程，从这个证明过程中，向学生提供正确的辅助线，

    在教科书采用这三种途径向学生呈示辅助线方法中，最可取的就是采用理性分析帮助学生自己找到辅助线，平面几何推理论证的课程资源重要的目的与作用就是利用明恃图形直观，暗借普通常识（通过学习总结好了的基本图形）的支持，促使学生体验理性思维与理性精神，这种理性思维与理性精神与感觉直观其实格格不入，但是由于初中学生的年龄阶段性心理，这种图形直观与普通常识（绝非帮助学生看出具体的结论这样的理解）是承载理性思维与理性精神的载体，图形直观的作用是作为学生运用思维的支架，有助于学生发生证明思路的环环紧扣的环节运行过程，因此，数学教师在平面几何命题教学，带领学生探究具体问题的辅助线时，要仔细做好如下两方面工作。

    一方面，需要仔细地检视教科书所提供的教学素材的特点，应该尽其所能地使用理性分析的方法发现辅助线，从而实现在环环紧扣的条件配合下推导出要证明的命题结论的目的，这种理性分析活动是发展学生理性思维、培养学生理性精神最为重要的途径与资源，而利用上述形式“撕纸拼凑”或者“利用折痕”等途径都只是直观的感性认识，当然，这种感性认识也具有教学价值，但是，针对具有平面几何命题证明的教育资源来说，这种教学价值则是次要的。因此，还必须要以此为基础帮助学生上升到理性认识。

    从长期的平面几何命题证明的教学经验中认识到，平面几何命题证明的施教活动需要严肃地遵循感性認识与理性认识之间的辩证关系原理，毛主席说，“认识的过程，第一步，开始接触外界事情，属于感觉的阶段，第二步。是综合感觉的材料加以整理和改造，属于概念、判断和推理的阶段，”……“理性的东西所以靠得住，正是由于它来源于感性，否则理性的东西就成了无源之水。无本之木。而只是主观自生的靠不住的东西，”……“感性认识有待于深化，认识的感性阶段有待于发展到理性阶段——这就是认识论的辩证法。”因此可知，感性认识非常重要，但是，理性认识更有价值，教育的力量在于帮助受教育者从感性认识过渡到理性认识，平面几何命题证明时的明恃图形直观，暗借普通常识，正是据此形成理性思维与理性精神的优质资源，但是，数学教师必须要认识到，帮助学生从感性认识过渡到理性认识所蕴含的重要教学价值，

    因此，数学教科书在平面几何命题证明辅助线方法入门（例如，证明“三角形内角和定理”）阶段，采用感性认识的途径引导学生探究辅助线应该是无可厚非的：但是，当课程行进到“等腰三角形的性质定理”时，学生已经通过“三角形全等的性质与判定定理”探究命题证明思路过程的经验与体验，对于辅助线方法已经有了比较深入的认识与理解，此时，就应该使用理性分析的途径来引导学生探究辅助线了，教科书没有做到这一点，就需要我们数学教师通过“二次开发教材”的手段，做好相应的处理工作，而不能再对教科书亦步亦趋，

    由此认识到，在平面几何命题证明的辅助线方法入门教学中，数学教师应该仔细检视平面几何命题的特点与学生发生认识的学龄段、时间段所具有的心理特点，统筹兼顾、合理安排，具体材料（包括教材与学生心理）具体分析，特别是需要准确判断学生从感性认识过渡到理性认识心理上的关键节点的出现之处，并且要经由多方实践与探索，依据学生的个性心理，找到有效的施教手段，在探究平面几何命题证明思路的辅助线时，有针对性地帮助学生实现从感性认识到理性认识的过渡，以此，促进学生感受理性思维与理性精神，从而实现平面几何命题证明教育教学价值，

    另一方面，利用平面几何命题证明的课程资源，发展学生理性思维，培养学生理性精神，还需要数学教师精心地选择与配置平面几何命题证明的习题，在学生处于十二、三岁的初中年龄段，平面几何命题证明探究辅助线方法入门是培养学生理性思维、理性精神的最为重要的、且无以替代的课程资源，除了前述所论及的平面几何定理等命题以外，选择合适的习题及其配置而成的题组也是实现平面几何命题证明课程资源教育教学价值的重要途径，对此，这里举例加以具体说明探究平面几何命题证明辅助线方法入门的技能技巧，

    3 探究平面几何命题证明辅助线方法入门的技能技巧示例

    在教科书或教师使用教科书施教平面几何命题证明的辅助线入门时，添置辅助线的途径基本上是教师传授辅助线的各种具体方法，即通过实例，总结规律，归纳出各种不同的类型，从而指导学生先在地使用这些类型进行试探，自然，这些对于刚刚学习平面几何命题证明时的辅助线的添加是行之有效的，但是，关于平面几何命题证明添加辅助线教学仅仅满足这些是远远不够的，教师施教时，要力争帮助学生形成具体问题具体对待的观念，鼓励学生思考“这条辅助线是如何想到的？”这样的一个根本问题，如此，才能帮助学生发展能力、开发智力，体验理性思维与理性精神，这里举两个具体例子加以说明，

    其一，使用分析法，从寻找结论，或某些调控从条件到结论的中介——“需知”的“替身”中，逐步揭露辅助线，通过前述的分析结论中认识到，探究平面几何命题证明思路的关键环节就是确定某个（些）合适的“需知”，需要通过制作辅助线的帮助才能获得，这种“需知”往往就是关于图形中的某个要素的“替身”。

    例1：如图2.梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，求证：AD+BC

    师：记AD+BC

    生：……（省略号表示思维的中断，下同）

    师：结论①与图l中的那些条件有关？

    生1：结论①的左右两边都是两个线段之和，不好比较它们之间的大小，如果将AD+BC、或AB+DC转化为一条具体线段，容易比较大小……

    师：好想法！可惜生1没有得到转化途径，可以部分地实现这种转化吗？

    从这道平面几何命题证明的思路探究及其谨严的表达中认识到，通过平面几何图形直观的感性认识诱发，寻找某些要素的“替身”在探究思路活动过程中具有非常重要的作用，教师可以经由选择相应的典型例子，进行总结概括，帮助学生建立起探究平面几何命题证明思路时寻找“替身”的数学观念（为以后探究证明思路时提供“暗借常识”创造条件或奠定基础），可以帮助学生辅助线入门提供助力，这是平面几何教师必须认识到的，也要经由自己的教学设计促使学生认识到这一点。

    其二，启发学生宽领域寻找“中介”，逐步发现辅助线，有时，相对于学生的认识能力与认识水平，对于稍微复杂一些几何命题，学生探究证明思路会出现困难，此时，如果获得某些途径找到沟通条件与条件之间，或条件与结论之间的一些“中介”，往往可以帮助学生在探究平面几何命题证明思路中发现辅助线的来源。

    注：等式⑦的这种三角形面积形式的出现不是容易的事情，它必须要有等式⑤的辅助，而等式⑤的萌生其实是理性分析的必然结果，这种理性分析的过程特点在于首先必须要使用条件①，如何使用条件①呢？考虑将条件①与“需知”③结合起来，从而萌生出了使用加减乘除对于等式①③的两边的元素分别进行运算，等到了等式⑤，进而获得了解决问题的思路（当然，在教学实践中发现，出现等式⑦不是一概而论的，有不少学生是从图形直观出发的，由于两条线段的垂直，直接诱使他们使用三角形的面积关系，但比不上这里的教学设计理性分析的必然性的效果），因此，等式⑤过渡到等式⑦就是上述的这种“中介”运动的必然结果，从中所需要的三角形自然地出现了，辅助线也就随之出现了。

    师：如何从大家的探究活动得到思路的严格证明表达呢？

    又因为AE=CF（已知），所以BM=BN（等量除以等量，商相等），所以∠BPA=∠BPC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。

    从这道平面几何命题证明的思路探究及其谨严的表达中认识到，在原始条件及其已经发觉的隐含条件的配置中，往往需要特殊的“中介”将它们组织成一个有意义的结构性或整体性条件，这种结构与整体的出现就为制作辅助线提供了载体，也为探究平面几何命题证明思路的出现提供观念性指导，

    4 结束语

    关于平面几何推理论证的教育价值，阿兰说得好，“几何学，是自然的钥匙，谁不是几何学者，谁就永不明了他所生活和依存的那个每天都要面对的世界，他在对抗力量面前，会宁凭一时热情去梦想，自欺自骗，衡量失当，估计错误，这就有可能受害，可能陷入不幸，因而，我决不同意什么都要教授全部自然，不，不是这样，而是要根据客观。按照清晰可见的必然来校正精神，不要多，也不可少，那没有一点几何必然观念的人，甚至会缺乏外部世界必然觀念，而全部物理学和外部自然史统统加起来也给不了他一丁点儿必然观念”，教师在探究平面几何命题证明思路制作辅助线时，需要寻找学生可以接受的方法，帮助学生渡过证明入门的难关，这里的寻找“替身”与建立“中介”的方法就是具体寻求辅助线方法的例子。