培育核心素养，寻根教材教学
【摘要】教育的刚需是教会学生学会如何学习.通过学会如何学习，成为一名终身学习者与受益者.在教学实践中，立足教材，寻根教学，培育学生数学核心素养.从教育理念、教学模式、学习方式、评价形式诸视角，对2017年安徽省高中数学青年教师优秀课评选活动中的几节展示课进行点评，并提出自己的思考.
【关键词】核心素养；优秀课；教学模式；学习方式；评价形式
笔者在文[1]中，提出：基于学生，根扎课堂，立足教材，充分挖掘教学内容中的营养成分和教育价值，让数学核心素养落地生根.培育学生的数学核心素养，是每一位数学教育工作者的责任与担当.那么，课堂教学要做哪些变革或创新，才能达到数学核心素养引领下的数学教学要求，实现课程标准倡导的探究发现、持续发展理念.带着“培育核心素养，寻根教材教学”的教研课题，笔者近期参加了2017年安徽省高中数学青年教师优秀课展示评比活动，观摩了12位选手的优秀课.大会组委会依据协办学校宿州市宿城第一中学的教学进度，从北师大版高中数学教材中确定课题，采用借班上课的形式开展课堂教学评比活动.课题分别是：（1）3.1双曲线及其标准方程（高二）；（2）4.4单位圆的对称性与诱导公式（高一）；（3）4.1曲线与方程（高二）；（4）1.1命题（高一）.
站在培育数学核心素养、促进学生可持续发展的高度，审思这12节省级优秀展示课，感想颇多.“立德树人”是新时代国家教育发展战略，是核心素养观的顶层设计.史宁中教授指出：“要培养学生的核心素养，在数学教育中至少应当遵循两个原则，即一是把握数学知识的本质，二是设计并实施合理的教学活动.”结合教学实践，笔者认为，课堂教学是培育数学核心素养的主阵地，数学活动是渗透数学核心素养的主渠道，发展思维是指向数学核心素养的主目标.进而，笔者又认为，教育的刚需是教育学生学会如何学习.通过学会如何学习，成为一名终身学习者，进而自我觉察、自我认知，最终使自己一生受益.
1培育核心素养，要革新教育理念，实现由“育分”向“育人”转变
叶圣陶先生说：“教育是农业.”教育是一种顺应时节和人性的自然生长.数学教育的价值或曰教师劳动的创造性在于，把难学的学术形态的数学变成易学的教育形态的数学，把枯燥的、刻板的数学变成生动的、活泼的数学，把抽象的数学变成直观的易于理解的数学，把让人难以亲近的数学变成平易近人的数学.启智育人是数学教育的根本使命.培育数学核心素养，教学应由“育分”为目标的知识教学、解题教学走向以“育人”为目标的思维教学、智慧教学、全人教学[2].
综观12节优秀展示课，笔者发现有兩种倾向必须引起我们的高度警觉.一是先花哨标签式的引入，然后顶着探究教学的花冠，由知识教学快速直奔例题的讲解和习题的演练.比如，HB市的一位选手，引入形成概念用时只有17分钟，而讲解例题和练习却用时30分钟，并且讲练的都是一些低层次的重复性操作.笔者认为，是快速推进直奔解题，还是精雕细刻生成概念，这涉及到执教者的教育理念：“育人”还是“育分”；二是参赛教师多从知识、思想、方法维度总结课堂，而且在时间上较吝啬，大多数选手是在临下课前5分钟不到，自己唱独角戏，打出PPT，匆忙读完的.从这些教学行为中，可以透视出“育分”的观念在参赛的青年教师心中还是挥之不去，根深蒂固.轻视“探究体验”、“课堂总结”的教育价值和教学意义，忽视引导学生总结自己的数学活动经历和有益经验.数学活动的经历和经验是数学素养的核心要素之一，是促进学生一生成长的原动力.
教育理念决定教学活动的宽度与高度，决定教学行为的品位与品质.站在促进学生可持续发展的高度，我们大声疾呼：在课堂教学中要坚定地跨出“育人”这一步.通过教师日常的、持久的教学行为，培养学生研究的习惯，求真务实的精神，自我觉察与认知的品质，进而培育学生适应个人终身发展和社会发展所需要的必备的思维品质、数学学习与反思能力.
2培育核心素养，要创新教学模式，实施探究体验式教学
教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟.”基于此，课堂教学必须要创新教学模式，实施探究体验式教学.创新教学模式，要求教师要有个性.教师的个性意识越强烈，教学创新意识就越强烈，就越能把自己的个性应用于教学艺术之中，大凡优秀的教师，都有着鲜明的教学个性.魏书生的民主，窦桂梅的激情，于永正的幽默，陶维林的深邃，独特的个性是名师大咖们的教学特征.
案例14.1曲线与方程（高二）
这是BB市的一位选手的展示课，她的教学引入给笔者留下深刻的印象.课堂简录如下：
教师：用几何画板展示一条直线和抛物线，要求学生回答它们的位置关系；
学生异口同声：“相切”；
教师：“果真如此？擦亮你们的慧眼.”要求学生把图形放大后再表态；
学生惊奇地看出：“原来是相离！”
教师：看来仅靠图形直观是有风险的，还需要数量关系的支撑.接着，用几何画板展示笛卡尔心形曲线.学生体会图形的直观，图形美，数学美.
【我的点评】 “简约，不简单.”教学设计个性鲜明，教学引入新颖别致，教学情境引人入胜.情境激活起学生的思维，搅动起课堂的气氛.学生充分体会到形缺数时难入微，认识到数形结合的重要性，对“曲线与方程”的学习产生强烈的心向.
案例2 3.1双曲线及其标准方程（高二）.
这是BB市的一位选手的展示课，“合作探究，形成概念”教学过程如下：
1.教具展示：定点F1、F2是两个图钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在图钉上且穿过套管.点M移动时，形成了什么曲线？这时|MF1|与|MF2|的什么是定值呢？
2.动态演示，再现双曲线的形成过程；
3.提出问题：一定能形成两支曲线吗？请学生操作教具画图，引导学生总结规律；
4.让学生类比椭圆定义归纳双曲线定义.
【我的点评】在本环节教学中，通过实际操作让学生体会双曲线上点的运动规律，同时应用几何画板动态演示，加深学生对双曲线定义的认同和理解，最终通过类比归纳，概括出双曲线定义.学生积极主动地参与概念的探究与形成过程，提高了数学思维能力、数学语言概括和表达能力，培育了学生严谨求真的数学素养.教学建议：（1）“|MF1|与|MF2|的什么是定值呢？”有牵引学生的嫌疑，禁锢了学生的思维，限制了学生尝试体验的空间.可以这样进行探究体验式设计，教学品味就更高：点M移动时，图形中有定值吗？定值是什么？（2）质疑是理性思维的核心.能否让学生发现并提出“问题3”，教师适时适度引导，学生自主解决问题.事实上，学生类比椭圆，是完全有这个能力的.
“学以致用，巩固知识”教学过程如下：
1.两道例题：求双曲线的标准方程（题略）；
2.一道练习题：证明椭圆x225+y29=1与双曲线x2-15y2=15有相同的焦点.
章建跃先生指出：“要从总体上把握好教学内容，使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识.”因此，笔者认为，不沟通双曲线与椭圆、圆之间的内在联系，那么学生课堂获得的知识就是碎片化的，不利于构建概念网络，不利于构建前后贯通的知识链，不利于学生有效地学习.建议将练习题调整为：“已知曲线方程x2m+y2=1，当m取什么值时，方程表示双曲线？”事实上，该题营养丰富、开发价值高，教师引导学生设置层层递进的“问题串”，通过变式与引申，就能很好地沟通圆、椭圆、双曲线之间的关系，不仅能实现“智慧课堂”的教学愿景，又能培育学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
培育数学核心素养必须要实施探究体验式教学，积累数学基本活动经验.数学活动是渗透数学核心素养的主渠道，发展思维是指向数学核心素养的主目标.通过实施探究体验式教学，体验过程、感悟方法、浸润思想，能有效地提升学习能力、思维品质和理性精神，促进学生数学核心素养的形成.
3培育核心素养，要改变学习方式，倡导协作学习与深度学习
基于数学核心素养观，笔者认为，数学学习的根本任务在于，促进学生掌握具有普遍意义和广泛迁移价值的策略性知识与方法，形成自己的观点和个性技能.培育数学核心素养，要改变学生的学习方式，倡导协作环境下的深度学习.深度学习是指学习主体源于自身内部动机的迫切需要，对有价值的学习对象或内容展开完整的、准确的、丰富的、深刻的、心甘情愿的学习.深度学习意义下的认知活动，要求学生能夠借助媒体，查阅资料，拓展知识，并且能够根据学习动机和目标，自我觉察，自我调控，直至获得目标知识和相应的技能.
南京师范大学喻平教授提出以知识为核心素养的生成本源[3].章建跃先生在“京师数学教育论坛”上也指出：“离开知识的理解和应用，核心素养的发展将成为一句空话.”概念是数学知识和方法的重要载体，数学概念的教学重在对象意义的解构与建构，也即从“数学的视角”与“教学的视角”来理解概念，形成螺旋上升的概念结构体系[4].在此过程中，教师要稚化自己的思维，引导学生，依循数学家的思维，展开对目标知识的探究、获取、体验过程.因而，教师要做“胸中有书”、“目中有人”的教学设计.
案例34.4单位圆的对称性与诱导公式（高一）
本课题由BZ市的一位参赛老师执教，课堂简录如下：
1.教学引入：播放周杰伦歌曲《青花瓷》，展示青花瓷图案，体会图案的对称美.
2.复习回顾：（1）三角函数定义；（2）具有相同终边角的表达形式：（3）2kπ+α（k∈Z）的诱导公式，并分析它的作用与功能.
3.探究新知：已知角α，请分别画出-α，π-α，π+α.学生动手分别画这三个角，展示学生成果.
4.推导公式：结合学生成果推导公式sin（-α），cos（-α）=cosα；教师用几何画板展示：对α∈R公式都成立.
5.学生展示成果：两位男生结合实物投影，介绍自己的研究成果：π+α的诱导公式.教师用几何画板展示：对α∈R公式都成立.
6.教师结合PPT，总结-α，π-α，π+α的诱导公式；讲解例题，学生完成练习题.
【我的点评】海尔集团总裁张瑞敏先生言：把简单的事情做好就是不简单.“单位圆的对称性与诱导公式”属于“简单课”，怎样把简单课教得有深度、有灵性、有思想，是一门高深的学问.本节课由学生知识的“最近发展区”出发，师生共同推导出-α的诱导公式，然后由学生小组合作，展开协作学习，展示研究成果，得出π-α、π+α的诱导公式.集体的力量是强大的，协作学习的过程中，学生情绪饱满，课堂合作气氛浓.
教学建议：宿州市宿城第一中学是安徽省A类省级示范高中，学生基础好，对新知的接受速度快，合作学习意识强.另外，在教科书的练习题中，除了“已知角，求三角函数值”的题目外，还有其他类型的习题，如：“已知sinx=22，写出角x的取值集合.”理解教材、理解学生是教好数学的前提.因此，本节课的教学中，在完成三组诱导公式的推导和练习后，教师还要引领学生展开对知识的深度学习.通过解决问题“已知sinx=22，写出角x的取值集合.”进一步理解诱导公式的本质——单位圆的对称性，深刻体会转化与化归的数学思想和方法，初步形成应用“单位圆的对称性”解决问题的技能.
教育的刚需是教育学生学会学习，形成优良的学习品质，学会从本质上认识事物，形成数学意识和数学推理能力，不断地发展和完善自我.再说，学生的学习路径、学生的学习策略、学生的成长特征，教师都应该将其视为教育的“富矿”，如果我们能潜心研究、梳理、总结，就能容易将其变成自己的教育智慧，真可谓“教学相长”.
4培育核心素养，要拓宽评价形式，促进学生全面协调发展
德国教育家第斯多惠指出：“教育的艺术不在于传授知识，而在于唤醒、激励和鼓舞.”如何唤醒、激发学生内在的学习原动力，教学评价是一个有力的抓手，一味优良的催化剂.但是长期以来，我们的教学评价极其“贵族化”，热衷于新解、奇解（美其名曰：创新解法）的评价，教学评价仅限于“对”或“错”的判断.这样的教学评价，不利于全体学生的发展，不利于学生全面发展和协调发展，有悖于“全人教育”.实际上在学习数学时，学生表现出的快乐心情，求知的欲望，独特的思考方式，解决问题的方案（不成熟的甚至错误的），刨根问底的精神等，都可以作为课堂教学的评价项目.拓宽评价形式，能张扬学生优良的个性，能促进学生品格的健全与发展，能孕育学生的创新意识.
在“1.1命题（高一）”的教学中，有学生提出“反命题”，教师未作任何回应.根据这个生成，教师应当首先赞扬这位学生敢于提出问题的精神，然后询问学生：老师非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗？这里“反”你指的是什么，是“否定”的意思，还是“反过来”的意思，最后再根据学生的内心所想进行调控，组织课堂教学.
在“3.1双曲线及其标准方程（高二）”的教学中，有参赛教师通过对椭圆定义数学表达式的变式，提出问题组织教学.可以把“+”号改成“-”号，但是有学生提出“改变常数”，教师未作任何评价.不可否认，在40分钟时间内完成本節课的教学任务，实属不易，但是学生提出“改变常数”后，教师必须要面对，否则对这位学生就是一种不公.建议教师可这样评价：咦，这位同学的提法很有创意，我们先把这个想法保存下来，课下思考，下一节课共同解决.探究活动要舍得花时间，数学探究可以从课堂延续至课下.
课堂教学中，教师要重视对学生思考成果的反馈与展示，并及时进行评价.学生的问题往往可以激发教师的灵感，学生的迷茫也可以给教师带来新的挑战，没有与学生的深度交往，就不会产生站在教学与学术制高点的教师.
5结束语
日本数学教育家米山国藏曾说：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学精神，数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益.”教育无痕，教学需要体验、感悟、浸润.培育数学核心素养，要慢工出细活，静待花开.培育数学核心素养，要研究教材寻根，研究学生寻源，研究教法寻道.研磨实招，收获干货，防止出现“伪培育”、“假培育”现象.
参考文献
[1]胡浩，张永超.立足教材，探数学核心素养落地生根[J].数学通讯（教师），2017（10）：30-34.
[2]李昌官.布鲁姆认知目标新分类指导下的数学教学设计[J].数学教育学报，2012，21（3）：67-71.
[3]赵弘.关注数学课堂教学 促进学生数学学习[J].数学通报，2017，56（9）：60-62.
[4]朱成万.函数概念的教学解构与建构[J].数学教育学报，2011，20（4）：100-102.
【关键词】核心素养；优秀课；教学模式；学习方式；评价形式
笔者在文[1]中，提出：基于学生，根扎课堂，立足教材，充分挖掘教学内容中的营养成分和教育价值，让数学核心素养落地生根.培育学生的数学核心素养，是每一位数学教育工作者的责任与担当.那么，课堂教学要做哪些变革或创新，才能达到数学核心素养引领下的数学教学要求，实现课程标准倡导的探究发现、持续发展理念.带着“培育核心素养，寻根教材教学”的教研课题，笔者近期参加了2017年安徽省高中数学青年教师优秀课展示评比活动，观摩了12位选手的优秀课.大会组委会依据协办学校宿州市宿城第一中学的教学进度，从北师大版高中数学教材中确定课题，采用借班上课的形式开展课堂教学评比活动.课题分别是：（1）3.1双曲线及其标准方程（高二）；（2）4.4单位圆的对称性与诱导公式（高一）；（3）4.1曲线与方程（高二）；（4）1.1命题（高一）.
站在培育数学核心素养、促进学生可持续发展的高度，审思这12节省级优秀展示课，感想颇多.“立德树人”是新时代国家教育发展战略，是核心素养观的顶层设计.史宁中教授指出：“要培养学生的核心素养，在数学教育中至少应当遵循两个原则，即一是把握数学知识的本质，二是设计并实施合理的教学活动.”结合教学实践，笔者认为，课堂教学是培育数学核心素养的主阵地，数学活动是渗透数学核心素养的主渠道，发展思维是指向数学核心素养的主目标.进而，笔者又认为，教育的刚需是教育学生学会如何学习.通过学会如何学习，成为一名终身学习者，进而自我觉察、自我认知，最终使自己一生受益.
1培育核心素养，要革新教育理念，实现由“育分”向“育人”转变
叶圣陶先生说：“教育是农业.”教育是一种顺应时节和人性的自然生长.数学教育的价值或曰教师劳动的创造性在于，把难学的学术形态的数学变成易学的教育形态的数学，把枯燥的、刻板的数学变成生动的、活泼的数学，把抽象的数学变成直观的易于理解的数学，把让人难以亲近的数学变成平易近人的数学.启智育人是数学教育的根本使命.培育数学核心素养，教学应由“育分”为目标的知识教学、解题教学走向以“育人”为目标的思维教学、智慧教学、全人教学[2].
综观12节优秀展示课，笔者发现有兩种倾向必须引起我们的高度警觉.一是先花哨标签式的引入，然后顶着探究教学的花冠，由知识教学快速直奔例题的讲解和习题的演练.比如，HB市的一位选手，引入形成概念用时只有17分钟，而讲解例题和练习却用时30分钟，并且讲练的都是一些低层次的重复性操作.笔者认为，是快速推进直奔解题，还是精雕细刻生成概念，这涉及到执教者的教育理念：“育人”还是“育分”；二是参赛教师多从知识、思想、方法维度总结课堂，而且在时间上较吝啬，大多数选手是在临下课前5分钟不到，自己唱独角戏，打出PPT，匆忙读完的.从这些教学行为中，可以透视出“育分”的观念在参赛的青年教师心中还是挥之不去，根深蒂固.轻视“探究体验”、“课堂总结”的教育价值和教学意义，忽视引导学生总结自己的数学活动经历和有益经验.数学活动的经历和经验是数学素养的核心要素之一，是促进学生一生成长的原动力.
教育理念决定教学活动的宽度与高度，决定教学行为的品位与品质.站在促进学生可持续发展的高度，我们大声疾呼：在课堂教学中要坚定地跨出“育人”这一步.通过教师日常的、持久的教学行为，培养学生研究的习惯，求真务实的精神，自我觉察与认知的品质，进而培育学生适应个人终身发展和社会发展所需要的必备的思维品质、数学学习与反思能力.
2培育核心素养，要创新教学模式，实施探究体验式教学
教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟.”基于此，课堂教学必须要创新教学模式，实施探究体验式教学.创新教学模式，要求教师要有个性.教师的个性意识越强烈，教学创新意识就越强烈，就越能把自己的个性应用于教学艺术之中，大凡优秀的教师，都有着鲜明的教学个性.魏书生的民主，窦桂梅的激情，于永正的幽默，陶维林的深邃，独特的个性是名师大咖们的教学特征.
案例14.1曲线与方程（高二）
这是BB市的一位选手的展示课，她的教学引入给笔者留下深刻的印象.课堂简录如下：
教师：用几何画板展示一条直线和抛物线，要求学生回答它们的位置关系；
学生异口同声：“相切”；
教师：“果真如此？擦亮你们的慧眼.”要求学生把图形放大后再表态；
学生惊奇地看出：“原来是相离！”
教师：看来仅靠图形直观是有风险的，还需要数量关系的支撑.接着，用几何画板展示笛卡尔心形曲线.学生体会图形的直观，图形美，数学美.
【我的点评】 “简约，不简单.”教学设计个性鲜明，教学引入新颖别致，教学情境引人入胜.情境激活起学生的思维，搅动起课堂的气氛.学生充分体会到形缺数时难入微，认识到数形结合的重要性，对“曲线与方程”的学习产生强烈的心向.
案例2 3.1双曲线及其标准方程（高二）.
这是BB市的一位选手的展示课，“合作探究，形成概念”教学过程如下：
1.教具展示：定点F1、F2是两个图钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在图钉上且穿过套管.点M移动时，形成了什么曲线？这时|MF1|与|MF2|的什么是定值呢？
2.动态演示，再现双曲线的形成过程；
3.提出问题：一定能形成两支曲线吗？请学生操作教具画图，引导学生总结规律；
4.让学生类比椭圆定义归纳双曲线定义.
【我的点评】在本环节教学中，通过实际操作让学生体会双曲线上点的运动规律，同时应用几何画板动态演示，加深学生对双曲线定义的认同和理解，最终通过类比归纳，概括出双曲线定义.学生积极主动地参与概念的探究与形成过程，提高了数学思维能力、数学语言概括和表达能力，培育了学生严谨求真的数学素养.教学建议：（1）“|MF1|与|MF2|的什么是定值呢？”有牵引学生的嫌疑，禁锢了学生的思维，限制了学生尝试体验的空间.可以这样进行探究体验式设计，教学品味就更高：点M移动时，图形中有定值吗？定值是什么？（2）质疑是理性思维的核心.能否让学生发现并提出“问题3”，教师适时适度引导，学生自主解决问题.事实上，学生类比椭圆，是完全有这个能力的.
“学以致用，巩固知识”教学过程如下：
1.两道例题：求双曲线的标准方程（题略）；
2.一道练习题：证明椭圆x225+y29=1与双曲线x2-15y2=15有相同的焦点.
章建跃先生指出：“要从总体上把握好教学内容，使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识.”因此，笔者认为，不沟通双曲线与椭圆、圆之间的内在联系，那么学生课堂获得的知识就是碎片化的，不利于构建概念网络，不利于构建前后贯通的知识链，不利于学生有效地学习.建议将练习题调整为：“已知曲线方程x2m+y2=1，当m取什么值时，方程表示双曲线？”事实上，该题营养丰富、开发价值高，教师引导学生设置层层递进的“问题串”，通过变式与引申，就能很好地沟通圆、椭圆、双曲线之间的关系，不仅能实现“智慧课堂”的教学愿景，又能培育学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
培育数学核心素养必须要实施探究体验式教学，积累数学基本活动经验.数学活动是渗透数学核心素养的主渠道，发展思维是指向数学核心素养的主目标.通过实施探究体验式教学，体验过程、感悟方法、浸润思想，能有效地提升学习能力、思维品质和理性精神，促进学生数学核心素养的形成.
3培育核心素养，要改变学习方式，倡导协作学习与深度学习
基于数学核心素养观，笔者认为，数学学习的根本任务在于，促进学生掌握具有普遍意义和广泛迁移价值的策略性知识与方法，形成自己的观点和个性技能.培育数学核心素养，要改变学生的学习方式，倡导协作环境下的深度学习.深度学习是指学习主体源于自身内部动机的迫切需要，对有价值的学习对象或内容展开完整的、准确的、丰富的、深刻的、心甘情愿的学习.深度学习意义下的认知活动，要求学生能夠借助媒体，查阅资料，拓展知识，并且能够根据学习动机和目标，自我觉察，自我调控，直至获得目标知识和相应的技能.
南京师范大学喻平教授提出以知识为核心素养的生成本源[3].章建跃先生在“京师数学教育论坛”上也指出：“离开知识的理解和应用，核心素养的发展将成为一句空话.”概念是数学知识和方法的重要载体，数学概念的教学重在对象意义的解构与建构，也即从“数学的视角”与“教学的视角”来理解概念，形成螺旋上升的概念结构体系[4].在此过程中，教师要稚化自己的思维，引导学生，依循数学家的思维，展开对目标知识的探究、获取、体验过程.因而，教师要做“胸中有书”、“目中有人”的教学设计.
案例34.4单位圆的对称性与诱导公式（高一）
本课题由BZ市的一位参赛老师执教，课堂简录如下：
1.教学引入：播放周杰伦歌曲《青花瓷》，展示青花瓷图案，体会图案的对称美.
2.复习回顾：（1）三角函数定义；（2）具有相同终边角的表达形式：（3）2kπ+α（k∈Z）的诱导公式，并分析它的作用与功能.
3.探究新知：已知角α，请分别画出-α，π-α，π+α.学生动手分别画这三个角，展示学生成果.
4.推导公式：结合学生成果推导公式sin（-α），cos（-α）=cosα；教师用几何画板展示：对α∈R公式都成立.
5.学生展示成果：两位男生结合实物投影，介绍自己的研究成果：π+α的诱导公式.教师用几何画板展示：对α∈R公式都成立.
6.教师结合PPT，总结-α，π-α，π+α的诱导公式；讲解例题，学生完成练习题.
【我的点评】海尔集团总裁张瑞敏先生言：把简单的事情做好就是不简单.“单位圆的对称性与诱导公式”属于“简单课”，怎样把简单课教得有深度、有灵性、有思想，是一门高深的学问.本节课由学生知识的“最近发展区”出发，师生共同推导出-α的诱导公式，然后由学生小组合作，展开协作学习，展示研究成果，得出π-α、π+α的诱导公式.集体的力量是强大的，协作学习的过程中，学生情绪饱满，课堂合作气氛浓.
教学建议：宿州市宿城第一中学是安徽省A类省级示范高中，学生基础好，对新知的接受速度快，合作学习意识强.另外，在教科书的练习题中，除了“已知角，求三角函数值”的题目外，还有其他类型的习题，如：“已知sinx=22，写出角x的取值集合.”理解教材、理解学生是教好数学的前提.因此，本节课的教学中，在完成三组诱导公式的推导和练习后，教师还要引领学生展开对知识的深度学习.通过解决问题“已知sinx=22，写出角x的取值集合.”进一步理解诱导公式的本质——单位圆的对称性，深刻体会转化与化归的数学思想和方法，初步形成应用“单位圆的对称性”解决问题的技能.
教育的刚需是教育学生学会学习，形成优良的学习品质，学会从本质上认识事物，形成数学意识和数学推理能力，不断地发展和完善自我.再说，学生的学习路径、学生的学习策略、学生的成长特征，教师都应该将其视为教育的“富矿”，如果我们能潜心研究、梳理、总结，就能容易将其变成自己的教育智慧，真可谓“教学相长”.
4培育核心素养，要拓宽评价形式，促进学生全面协调发展
德国教育家第斯多惠指出：“教育的艺术不在于传授知识，而在于唤醒、激励和鼓舞.”如何唤醒、激发学生内在的学习原动力，教学评价是一个有力的抓手，一味优良的催化剂.但是长期以来，我们的教学评价极其“贵族化”，热衷于新解、奇解（美其名曰：创新解法）的评价，教学评价仅限于“对”或“错”的判断.这样的教学评价，不利于全体学生的发展，不利于学生全面发展和协调发展，有悖于“全人教育”.实际上在学习数学时，学生表现出的快乐心情，求知的欲望，独特的思考方式，解决问题的方案（不成熟的甚至错误的），刨根问底的精神等，都可以作为课堂教学的评价项目.拓宽评价形式，能张扬学生优良的个性，能促进学生品格的健全与发展，能孕育学生的创新意识.
在“1.1命题（高一）”的教学中，有学生提出“反命题”，教师未作任何回应.根据这个生成，教师应当首先赞扬这位学生敢于提出问题的精神，然后询问学生：老师非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗？这里“反”你指的是什么，是“否定”的意思，还是“反过来”的意思，最后再根据学生的内心所想进行调控，组织课堂教学.
在“3.1双曲线及其标准方程（高二）”的教学中，有参赛教师通过对椭圆定义数学表达式的变式，提出问题组织教学.可以把“+”号改成“-”号，但是有学生提出“改变常数”，教师未作任何评价.不可否认，在40分钟时间内完成本節课的教学任务，实属不易，但是学生提出“改变常数”后，教师必须要面对，否则对这位学生就是一种不公.建议教师可这样评价：咦，这位同学的提法很有创意，我们先把这个想法保存下来，课下思考，下一节课共同解决.探究活动要舍得花时间，数学探究可以从课堂延续至课下.
课堂教学中，教师要重视对学生思考成果的反馈与展示，并及时进行评价.学生的问题往往可以激发教师的灵感，学生的迷茫也可以给教师带来新的挑战，没有与学生的深度交往，就不会产生站在教学与学术制高点的教师.
5结束语
日本数学教育家米山国藏曾说：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学精神，数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益.”教育无痕，教学需要体验、感悟、浸润.培育数学核心素养，要慢工出细活，静待花开.培育数学核心素养，要研究教材寻根，研究学生寻源，研究教法寻道.研磨实招，收获干货，防止出现“伪培育”、“假培育”现象.
参考文献
[1]胡浩，张永超.立足教材，探数学核心素养落地生根[J].数学通讯（教师），2017（10）：30-34.
[2]李昌官.布鲁姆认知目标新分类指导下的数学教学设计[J].数学教育学报，2012，21（3）：67-71.
[3]赵弘.关注数学课堂教学 促进学生数学学习[J].数学通报，2017，56（9）：60-62.
[4]朱成万.函数概念的教学解构与建构[J].数学教育学报，2011，20（4）：100-102.
