天地古今一“π”

【摘 要】 2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的3月14日设定为“圆周率日”，缘何如此对待这么一个普通的日子，原来它与一个叫“圆周率”的“π”有关.思想π的历史内涵，回想π的前世今生，念想π的人文意蕴，畅想π的现代价值.π这个古怪的精灵，伴随着数学发展的历史，促进了数学体系的完整.人类将进一步探索其奥秘，不久的将来，人们一定会冲破只用π来检验人的记忆力和考验计算机的计算能力与完整性的束缚，有新的发现，为华美的乐章增添更优雅的旋律，真是天地古今一“π”！
【关键词】 圆周率；历史内涵；人文意蕴；现代价值
1 π的纪念日
3月14日，一个普通的日子！然而2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的3月14日设定为“圆周率日”.决议认为，“鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分，而学习有关π的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式……因此3月14日是纪念圆周率最合适的日子”.什么时刻最好呢？有三种选择：下午1点59分，下午15点09分，凌晨1点59分.有的国家在3月1日下午4点15分开始庆贺，总之就是围绕3.14159“折腾”.匪夷所思的是，那么多国家，那么长时间，那么多人，却为一个“数”而庆贺，到底有什么耐人寻味的意蕴呢？
2 π的历史内涵
π是什么？是圆周率.圆周率是什么？圆周率就是圆的周长与其直径的比值，是刻画圆这类图形最重要的数据.在人类的历史长河中，常常要求一个封闭图形的面积，矩形的面积是长×宽，梯形的面积是12（上底+下底）×高……，那么以某点为圆心，以某个长度为半径旋转一周，所得到的圆的面积是多少呢？其中有一个“比值”很重要，它到底是多少？为了这个答案，古人进行了几千年的苦苦探索，直到“韦达公式”：2π=22·2+22·2+2+22·…出现，标志着人类可以把圆周率精确到任意位数，这要感谢法国数学家韦达，是他第一个给出π的表达式的.
π还有什么用？π仅仅只能用来求圆的面积吗？显然不是，还可以求圆的周长，还可以求球的体积、表面积、扇形的弧长……后来人们体会到，探讨任何物体的形状和运动，只要涉及“弯曲”、“转动”、“角度”等，都要用到圆周率.另外，因为圆有许多重要的性质，人类很早就认识了圆，使用了圆.如车轮做成圆形的，车子行驶起来，才能平稳且省力；碗、盆做成圆的，好拿，且不易损坏，同样多的的材料，数圆形的碗装的东西最多……
π有时还会和其他数字联袂上演，并且精彩纷呈，欧拉公式eiπ+1=0就是一个真正的经典，这个公式看上去一目了然，但却深奥得难以置信.它包括五个最重要的数字常数——0（加法恒等元）、1（乘法恒等元）、e和π（两个最常见的超越数）以及i（虚数单位）.另外公式还包括三个最基本的算术元算——加法、减法和次方.当代世界数学及其应用研究所的戴维·玻西教授表示：“鉴于e、π与i都非常复杂且看似极不相关，他们能通过这个简洁的公式联系起来真的很惊人.一开始你可能没有意识到他所带来的影响力，这是一个渐近的影响.或许就像听一首乐曲那样，当你了解到乐曲的全部潜能后，突然间它变得非常了不起.”他还说，数学美是“灵感”的源泉，它让你有探索未知事物的热情.
圆周率的重要性和普遍性可想而知，问题在于怎样求出它的准确值.
3 π的前世今生
据史学家考证，人类最早是用树杈来划圆的.我国的《墨经》大约是公元前4世纪——3世纪的自评.在这本书中最在给出料圆的定义：圜，一种同长也.这个“圜”，就是“圆”，意思是说：圆就是圆周上的点到圆心的距离都相等.这个定义后人现代圆的定义基本相同.
π到底是多少？现在我们知道了，π是一个无限不循环小数，在计算中，一般取3.14作为它的近似值.早在三千五百年前，巴比伦人就知道取直径的三倍为圆周长，他们取得的π是3，在公元前2世纪问世的我国天文学专著《周髀算经》中提出“径一周三”，意思说直径一个单位时，圆周长为三个单位.也取π为3，古埃及人使用的圆周率是3.16.古罗马人使用的圆周率是3.12.著名的古希腊学者阿基米德，曾取π为317.我国魏晋时期的刘徽（公元263年）创造的用割圆术求圆周率的方法，影响很大，割圆术具有工具论和认识论的双重价值，是一座永不枯竭的宝矿.
刘徽是如何割圆的呢？首先在圆内作一个正六边形，由于内接正六边形的每条边长都等于半径，因此，六边形的周长等于三倍的直径.这显然过于粗糙，他把圆内正六边形每边所对的弧平分——割圆，将割到的六个点与原来的六个点顺次链接，得到一个圆内接正十二边形，正十二边形更接近圆的周长，如此再割，一直算到圆内接正一百九十二边形，算得的圆周率的近似值是3.14.刘徽的割圆术是可行的，其貢献不只是提供了更精确的圆周率，还在于它为计算圆周率提供了正确的方法.原理如下：
如果把从正六边形开始，逐次加倍的正多边形的边长记为数列an，则
如图，O是圆心.根据垂径分弦定理，OB′⊥AB，记垂足为M，并记第n个内接正多边形的边长为an.则在等腰△AOB′中，AM是腰上的高，其长度等于an2.△AMB′和△AMO都是直角三角形.容易得到
an+1=AM2+MB′2=2R2-R4R2-a2n .
又“第一个”正多边形是正六边形，其边长等于R，即a1=R.
a1=R，
an+1=2R2-R4R2-a2n，……
注意到，第n个多边形的边数为6×2n-1，此多边形的周长为Cn=6×2n-1an.用这个多边形，可计算出圆周率的值为πn=Cn2R=3×2n-1anR.如果能求出an的通项公式，则可把π用n表示，而得到一个数列πn，求极限即可得到π值（即刘徽所言“割之弥细，所失弥少，割而又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”）.
刘徽之后，研究圆周率最有名的的是我国南北朝时期的祖冲之在公元480年左右计算的圆周率，准确到小数点后七位：3.1415926<π<3.1415927.他使用的是一种叫“缀术”的方法，可惜这种方法早已失传，无从查考.用这个圆周率计算一个半径为10千米的圆面积，误差不超过几平方米.祖冲之是世界上第一个把圆周率算到小数点后七位的数学家，差不多过了800年，西方才有人把圆周率计算得更为精确.人们把3.1415926叫做“祖率”.
人们希望算出更为精确的圆周率，于是16世纪德国有个叫卢道夫的数学家，花费了毕生精力，把圆周率算到了小数点后35位.
3.14159265358979323846264338327950288.他去世后，按照他的遗嘱，这个数字被刻在他的墓碑上.
1841年，英国的威廉·卢瑟福计算到208位；后来发现只有前152位是正确的；
1844年，德国的达瑟把π值算到400位小数；
……
1949年，马利兰德使用计算机，计算到2037位；
……
2002年，日本东京大学信息基础中心宣布，他们已将圆周率計算到了小数点后12411亿位，假设1秒钟读4位，读完这个圆周率需要花费1万年.
……
计算π的最为稀奇的方法之一，要数法国博物学家C·蒲丰的投针实验了.1777年的一天，C·蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请到家中，做了一个叫人感到奇怪的试验，他把事先画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上，又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一半的小针，请客人把小针一根一根的随便地仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记着数，投完后统一计数，共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一个简单的除法，2212÷704=3.142然后宣布：“这就是圆周率的近似值”，所有的宾朋都惊呆了，这简直是不可思议！这就是著名的蒲丰投针试验.1901年，意大利人拉查尼投了3408次，得出估计值是3.1415929，已很接近祖冲之的密率.
除了用实验法和几何法以外，16世纪的科学家们开始利用无穷级数或无穷连乘积来计算π，产生了许多十分惊人的优雅公式，除了前面提到的韦达公式，1650年，英国数学家J·沃利斯将π表示为
π2=2·2·4·4·6·6·8·8·10·10·12·12…1·3·3·5·5·7·7·9·9·11·11·13…
他是最早用解析法研究π的英国人，他被称为“代数之父”.其实，用现代的积分知识，就是
∫101-x2dx=π4.更妙的是欧拉利用有限与无限的类比求得：
π6=1+14+19+116+125+136+…
这个公式的证明具有十分重要的方法论意义.
再后来，人们开始利用计算机计算π的值，这得感谢对数学充满热情的数学家拉马努金（1887—1920），是他给出来了关于π的计算公式.数学家为什么没完没了地去计算圆周率的值呢？说不清，只能慢慢品味.更有趣的是，还有许多多人以能记住圆周率的多少位感到自豪，还经常比赛，真是有趣！
4 π的人文意蕴
如果一个数等于除它本身以外的全部因子之和，则称之为完全数，如6（=1+2+3），28（=1+2+4+7+14），496（=1+2+4+8+31+124+248），812833550336（前四千万个正整数中才有五个）等，从第四个到第五个完全数的发现经过了一千多年，到1999年，借助于计算机，也只还发现了38个完全数.然而令人感到惊奇的是π数值取小数点后面三位数相加是第一个完全数，小数点后七位数相加正好等于第二个完全数.居然有如此的联系，难道不足以令人惊讶吗？
根据圆周率π的探索过程和它所催生的数学思想以及精美表达式，我们已经领略了π在数学知识体系中的作用.圆周率是一座迷宫，让人流连往返；圆周率像一首诗，给人无限遐想；圆周率似一支歌，使人陶醉、催人奋进！数学大师陈省身先生曾讲过一个有趣的故事，说当代的数论大师 A·塞尔伯格声称他喜欢数学的一个缘由，是下面的公式打动了他：
π4=11-13+15-17+……
奇数 1、3、5、…这样的组合可以给出π，这个公式宛如一幅美丽的画和一首动人的歌，激发着一个人的情感，愿意为数学奋斗一生.
5 π的现代价值
人们对这个数字推算得如此精确，有意义吗？实践证明，π的精确可以检验超级计算机的硬件和软件的性能，其计算的方法和思路还可以引发新的概念和思想.在很长的历史时期内，π的研究代表了一个国家的数学发展水平，但凡新建立的数学学科，只要有可能，总会首先用自己的理论把π研究一番（比如概率论和计算机学科等）.这说明π仍然具有巨大的研究价值.事实上，就数学的发展而言，一个国家所得到的的π值得精确程度，可以看作衡量这个国家当时数学发展水平的一个标志.同时π也是文化的一面镜子，人们对π的精确追求是一种智力探索的激励，是人们锲而不舍精神的追求，是一种博大的奋斗之美.更重要的是，在人们的感知中，这种关于π数值无穷无尽的探索奇妙无穷.实际上，π和珠穆朗玛峰一样都是客观存在，人们精确测算出其数值，因为人们无法回避它的存在.正如数学家J·纽曼所言：“数学最抽象最无用的研究被人们发展了一段时间之后，常常被其他部分所俘获，成了解决问题的工具.”利用π的超越性解决了三大几何难题之一的“化圆为方”问题，就是明证.
π原本来自圆的几何学，但它反复出现在数学、物理、统计、工程、建筑、生物、天文，甚至艺术范畴中.在声波和海浪的节奏中，也隐藏着圆周率的身影.很多和圆无关的数学难题要靠圆周率解决；小至原子结构，大至恒星运动等自然现象的研究也要靠圆周率帮忙，神奇的π无所不在！
从有文字记载开始，圆周率就引起了古今中外学者们的兴趣.几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动，为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的.
波兰著名女诗人，诺贝尔文学奖获得者维斯拉瓦·申博尔斯卡在其题为 “π”的诗中是这样赞美的：
地球上最长的蛇不过四十英尺，
神话和传说中的蛇也无分轩轾，
组成π的数字列队行进逶迤，
它不会在页边栖息，
它会继续越过书桌，
穿过空气越过墙壁、树叶、鸟巢、云霓
直上九霄……
π，这个古怪的精灵，伴随着数学发展的历史，促进了数学体系的完整.人类将进一步探索其奥秘和规律性，不久的将来，人们会冲破只用π来检验人的记忆力和考验计算机的计算能力与完整性的束缚，也许会有新的发现，为华美的乐章增添更优雅的旋律.
π像一首朦胧的诗，像一曲悠扬的乐章，又像一座入云的高山，让人遐想，让人陶醉，人人奋进，攀登不息.
真是天地古今一“π”！
作者简介
刘权华（1967—），男，籍贯江苏盱眙，南京市教育科学研究所，科研员，中学数学高级教师，教育硕士，南京市高中数学学科带头人，江苏省“333”高层次人才工程中青年科学技术带头人，发表教育教学论文50余篇.主要研究方向：高中数学教育教学，教师发展研究.