数学教学的第一要务：认真研读教材

    李树臣 程强

    【摘 要】 提高数学教学质量是一个综合的工程，其中研读教材，设计教学方案，实施课堂教学是三个基本问题.研读教材是第一要务，从研读的“数量”上可以把研读教材分为三个环节：粗读浏览整体感知全套教材，仔细阅读和深入探究每一章教材，反复阅读精心推敲每一节教材.

    【关键词】 研读教材;整體感知;阅读探究;精心推敲

    数学教材是进行教学活动的主要“蓝本”，是实现《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[1]的重要载体.无论使用哪个版本的教材，采取怎样的教学方法，教师首要的任务就是研读教材，其次是设计教学方案，最后才是实施课堂教学.

    本文谈谈研读教材的问题，对数学教材的研读从“研读量”上可分为三个环节：1 粗读浏览，整体感知——宏观上统领全套教材

    研读教材的第一个环节就是通过对全套教材进行粗略的阅读，快速浏览一遍，达到对全套教材整体感知的目的.这个环节的主要任务就是从宏观上把握整套教材的内容、编排意图、顺序、组织结构，掌握各阶段教材体系之间的内在联系.通过整体感知能对教材的知识从线上进行排列、梳理，跳过纵横交错的各个章节，把握知识体系的本来面目，形成知识系列，明确一些核心知识特别是《课标（2011年版）》界定的“十个”核心概念在教材中的地位和作用[2].

    例如，通过粗读青岛版《义务教育教科书·数学》（七—九）教材（以下简称《青岛版教材》），可以得到对该套教材的整体感知如下：

    1.1 总体设计

    《青岛版教材》对《课标（2011年版）》提出的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四个部分的内容，采用混编的形式，共分六册计33章，其中“数与代数”15章，“图形与几何”15章，“统计与概率”4章（以每章标题内容所在“部分”为准），“综合与实践”活动7个.具体安排如表1.

    1.2 章节的基本结构

    （1）每一章的基本结构如图1所示：

    （2）每一节的基本结构如图2所示：

    1.3 具体栏目

    《青岛版教材》设置的具体栏目主要有：

    （1）章头图

    教材在每一章的开始，都根据内容选取了一个章头图（彩色画面）.每个章头图都附有两个问题：

    ①内容提要;②情境导航.

    （2）三个板块

    每节课的内容基本上都是由“观察与思考”“实验与探究”“交流与发现”三个板块组成的.每一个板块都是由一些真实的问题情境、鲜活的实例或数学自身的素材构成的问题系列，用这些问题（串）引导学生进入学习状态，学生围绕这些问题（串），将积极进行“观察、实验、猜测、计算、推理、验证”[1]等数学活动，在活动的过程中，掌握《课标（2011年版）》提出的数学基础知识，形成数学基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，逐步实现课程目标.

    （3）挑战自我

    在部分课文之后，提供一两个需要进一步探究和思索的问题，为学生提供展示自我的平台.

    （4）加油站和小资料

    加油站和小资料是根据课文内容和学习需要安排的，是由数学知识和背景资料构成的.目的是帮助学生进一步学习、理解有关知识，拓宽学生的知识面.

    （5）“广角镜”“智趣园”“史海漫游”

    教材中利用“广角镜”“智趣园”“史海漫游”给出的阅读材料，都是为了配合相关学习内容而设计的，放在有关课文之后.其中“广角镜”选取的是与学习内容有关的数学知识及其应用的素材，意在开阔学生的视野;“智趣园”提供的数学趣闻、名题、趣题，目的是激发学生对数学文化的兴趣;“史海漫游”提供了相应数学知识的史料和数学家介绍，旨在帮助学生了解数学的发展和人类为构建数学大厦而付出的创造性劳动，让学生感受数学的魅力.

    1.4 教材的突出特点

    《课标（2011年版）》提出的课程基本理念、确定的课程目标、界定的课程内容以及六条“教材编写建议”等是教材编写的重要依据.每套教材都是按照这些建议（原则）编写的，具体落实时又体现出各自的风格，从而形成各自的特点.关于《青岛版教材》的编写原则或特点请参考文[3]—[8].

    例如，《青岛版教材》在有关方程知识的设计、编排上就充分体现了“逐级递进、螺旋上升”的原则.大家知道，方程是《课标（2011年版）》界定的“数与代数”领域的重要内容，粗读六册教材可以发现，教材在三个年级都涉及到方程的知识：一元一次方程、一次方程组（七年级）、分式方程（八年级）、一元二次方程（九年级）.不管那种方程（组），其基本的学习流程都可以用图3所示的框图简单表示：

    从这个学习流程可以看出，无论是学习哪种方程，都始于实际问题，也落脚于解决实际问题.这种设计一方面反映出方程的本质;另一方面符合《课标（2011年版）》在“课程内容”中提出的“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”[1]的要求.这对于培养学生的数感、符合意识、模型思想，应用意识、创新意识等数学素养都具有重要的意义.

    教师只有经历这个阅读过程，才能从整体上、宏观上高屋建瓴的统领全套教材，把握整个教学内容，从而制定出切实可行的三年数学教学计划.2 仔细阅读，深入探究——中观上整体把握每一章教材

    研读教材的第二个环节就是阅读教材的每一章内容.在制定一章的学习计划前，应对本章的内容仔细阅读，明确本章的知识结构，本章教材的特点，找出与本章有联系的知识和贯穿其中的主线，从数学思想方法的高度上把握全章的教学内容，明确本章的教学要求，正确地把握本章的教学重点、难点以及突破难点的方法.

    通过仔细阅读、深入探究《青岛版教材》八（上）第1章“全等三角形”，我们可以从下面几个方面把握本章的教材.

    2.1 章头图照片是一副斜拉式大桥的效果图，图中有许多三角形，这些三角形中有大小、形状都相同的，也有不相同的.这向学生提出了学习全等三角形的必要性.

    2.2 本章包括全等三角形、怎样判定三角形全等和尺规作图三节内容，知识结构如图4所示[9]：

    2.3 本章主要体现了符号思想、演绎思想和转化思想

    2.4 本章教材的主要特点是[10]：

    （1）素材的选取体现了“现实性”;

    （2）突出了学生的探索活动;

    （3）以实验几何为主，注重培养学生的合情推理能力;

    （4）突出了尺规作图的教育教学价值.

    2.5 教学目标

    有了上面的认识，我们不难制定出本章的教学目标[11]：

    （1）通过具体事例，认识图形的全等，能够辨认全等形.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.

    （2）探索判定两个三角形全等的方法，初步运用这些方法说明两个三角形全等的理由.

    （3）了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性.

    （4）在学习全等形和全等三角形的过程中，体会特殊与一般的关系.

    （5）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角.

    （6）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形.

    （7）在尺规作图中，了解作图的道理，形成基本的作图技能.

    （8）在多种形式的数学活动中，体会通过合情推理探索数学结论的过程，积累数学活动的经验，发展合情推理的能力.

    （9）会利用全等三角形的性质解决简单的实际问题，进一步体验数学与生活密切相关的联系.

    2.6 教学重点

    本章的教学重点是引导学生探究三角形全等的判定方法.

    突破难点的基本思路是：充分发挥学生学习的积极性，引发数学思考，教师应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，引导学生积极主动地进行探究活动，在探究的过程中理解和掌握三角形全等的判定方法.

    我们认为，对于教材的每一章内容只有做到“细读深究”，才能准确把握教材每一章的内容，确定出一章的教学目标、教学重点，找到解决重点的方法，从而“科学”的做出一章（单元）的教学设计，这样的单元教学设计才具有“实用性”，不是为了应付领导检查的.3 反复阅读，精心推敲——微观上深入理解每一节教材

    研读教材的第三个环节就是反复阅读，精心推敲每一节（请注意：不是一课时的）教材，把握一节课的主要内容，确定出一节课的教学目标、教学重点，只有通过这个环节的阅读，才能深入理解每一节教材，这是数学教学的第二个要务——制定课时教学方案的基础.

    例如，我们对《青岛版教材》七（上）第4节“一元一次方程的应用”的反复研读，可以从五个方面认识这节课的内容：

    3.1 教材内容简介

    本节共安排了一个引例和七个例题.引例是本章“情境导航”中的问题，这是一个有趣的古代问题.通过对这个问题的思考与分析，得到一个方程x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381.之后，教材给出了数学模型的概念.例1是“科普知识竞赛”问题，对题目中已知量和未知量的分析过程，体现在一张待填的表格中，学生填完表格后，能对题目所涉及的量一目了然.例2是涉及到两个仓库存放化肥质量的应用题.题目所涉及的量全部填写在一张表格中，根据等量关系对照表格可直接列出方程.例3是關于行程问题的应用题.这个题目首先让学生根据题意，将有关的量填入一张表格内，把等量关系用填空的形式留给学生完成，进而完成解答.然后教材又引导学生用设间接未知数的方法列方程，并用线型图表示题目中的各种数量关系，便于直观的得到题目所包含的等量关系.例4属于工程问题，这类问题通常不给出工程的总工作量.教材利用小博士给出提示：“‘抽完一池水没有具体的工作量，通常把这种工作量看做整体‘1”.例5属于银行存款问题，贴近生活现实.目的是为了让学生能尽早接触社会问题.例6属于市场营销问题，这类问题与经济活动有关，有助于培养和提高学生参与经济活动的能力.例7属于等积变形问题，在一个较大容器内放入一个较小金属圆柱体，有两种情况：（1）容器内的水升高后不淹没小金属圆柱体;（2）容器内的水升高后淹没小金属圆柱.针对这两种情况，建立方程并求出方程的解.由于是实际问题，所以求出的解应与实际情况相符，从而可知第（1）种情况不符合题意.这样的题目对于学生养成全面细致、严格的学习品质具有重要的作用.

    本节内容的选取、编排体现了《课标（2011年版）》提出的“呈现内容的素材应贴近学生现实[1]”的要求，这些问题有利于培养学生的运算能力、模型思想、应用意识等数学素养.

    本节教材最后设计了18道习题，这些习题分三个层次，其中“复习与巩固”10道，“拓展与延伸”6道，“探索与创新”2道.“复习与巩固”“拓展与延伸”两组问题供全体学生使用，而“探索与创新”中的问题是供学有余力的同学选用的.这种设计体现了《课标（2011年版）》提出的“面向全体学生，适应学生个性发展的需要[1]”的基本理念.

    通过本节内容的学习，让学生掌握图5所示的建立数学模型解决实际问题的基本过程[12]：

    3.2 及时穿插了多个栏目

    例6是商品营销问题，解决这类问题，必须弄清楚进价、原价（标价）、售价、打折和利润等有关概念以及它们之间的关系.对于这些问题，教材是用“加油站”栏目给出的.类似这样的栏目，本节教材还有五个：其中两个智趣园栏目，三个挑战自我栏目.这些栏目一方面适当拓展了课文中的有关知识，另一方面显的版面大方.增强了教材的可读性，有助于激发学生学习兴趣，调动积极性，引发数学思考.

    3.3 教学目标

    （1）经历从现实生活或数学情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程表示数学问题中数量关系的过程，发展学生的应用意识，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.

    （2）能找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，通过列出一元一次方程加以解决，并总结出运用方程解决实际问题的一般步骤.

    （3）通过列一元一次方程解决实际问题，经历思考、探究、交流、反思等活动过程，积累数学活动的经验，提高分析问题、解决问题的能力.

    3.4 本节内容分6课时完成

    教材每一课时的后面都设计了一个练习，这样便于教师把握.

    3.5 教学的重点

    对于运用方程解决实际问题，要把教学重点放在引导学生分析问题的题意上，要使学生能借助图表整体把握和分析题意;能从多角度思考问题，寻找等量关系;能注意检验、解释方程解的合理性.教师要引导学生总结运用方程解决实际问题的过程.不宜将应用问题人为地进行分类.教师要引导学生总结建立一元一次方程模型解决实际问题的过程，让学生明确用方程解决实际问题需要经历“审题—分析—建模—解模—还原—反思”等下面的六个环节[12].

    （1）审题——通过认真审题，提取实际问题中的数量信息.

    （2）分析——搞清楚问题中的数量关系.

    （3）建模——适当引进字母，将实际问题抽象概括为数学模型.

    （4）解模——求解数学模型，即数学问题的解决过程.

    （5）还原——由（数学问题）的解，回答实际问题的答案.这个过程是解决实际问题不可缺少的重要一环，数学问题的解与实际问题的解既有联系又有区别.

    （6）反思——问题解决后的回顾与思考.

    从而加深对图5所示过程的理解，并能正确建立一元一次方程模型解答简单的实际问题.

    只有经历了上面的“深究细研”，才能在微观上全面掌握每一节教材，也才能设计出每一课时的教学方案（我们将另文探究）.

    以上我们论述了研读教材的三个环节，我们认为，教师只有经历研读教材的这三个环节，才能真正把握教材，进而做出有价值的教学计划、单元设计和教学方案，也才能在课堂教学中落实好教学方案，不断提高学生的数学素养.

    参考文献

    [1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

    [2]李树臣等.精心设计数学课堂，努力上好每一节课[J].中学数学杂志，2015（12）.

    [3]李树臣.充分体现课标理念，促进学生全面发展——《义务教育教科书·数学》编写的主要原则[J].中学数学杂志，2015（8）.

    [4]李樹臣.突出数学思想主线，优化教材知识结构——青岛版《义务教育教科书·数学》（七—九）编写的原则之一[J].中学数学（湖北），2016（12）.

    [5]李树臣.精心设计数学活动，促进学生自主发展——青岛版《义务教育教材·数学》（七—九）编写的原则之二[J].中学数学（湖北），2017（3）.

    [6]李树臣.突出核心内容，注重实质联系——青岛版《义务教育教材·数学》（七—九）编写的原则之三[J].中学数学（湖北），2017（6）.

    [7]李树臣.积极开展数学实验，培养学生综合能力——青岛版《义务教育教材·数学》（七—九）编写的原则之四[J].中学数学（湖北），2017（8）.

    [8]李树臣.弹性处理课程内容，促进全体学生发展——青岛版《义务教育教材·数学》（七—九）编写的原则之五[J].中学数学（湖北），2017（10）.

    [9]李树臣.重视实验几何教学，培养学生推理能力——青岛版《义务教育教科书·数学》八年级上册第一章“全等三角形”简介[J].中学数学（湖北），2015（9）.

    [10]李树臣.深入研究课程标准，精心选取课程内容——青岛版《义务教育教科书·数学》中课程内容选取的主要原则[J].《中学数学杂志》2014（2）;后被人民大学报刊复印资料《初中数学教与学》2014年第5期全文转载.

    [11]展涛.义务教育教科书·数学教师教学用书（八年级上册）[M].济南：青岛出版社，2013.

    [12]李树臣.渗透模型思想，强化应用意识——青岛版义务教育教科书·数学七年级上册第七章“一元一次方程”介绍[J].中学数学（湖北），2018（4）.