构造图形是求“非特殊角”三角函数值利器

    王淼生 叶志娟

    高中学习了任意角三角函数概念及三角恒等变换，因此高中生从代数上求解tan75°并不困难.比如利用两角和正切公式、正切半角公式、同角三角函数关系与两角和正弦、余弦公式结合、互余关系与两角差正弦、余弦公式都可以解决.以下借助两角和正切公式可得

    4 构造图形培养直观想象与数学抽象素养

    4.1 构造法及构造图形

    构造法思路就是转化，构造法核心就是构造，构造法突破就是创新，构造法本质就是模型.当构造的辅助模型为图形时，称之为构造图形法.图形越简单越能凸显其威力，因此构造直角三角形、等腰三角形、矩形、圆成为最优先的几何模型.构造法是建立在已有的知识基础上的，它生成于认知结构的最顶端，因而构造法是一种富有创新思维的解题策略.必须指出的是，构造辅助模型既没有固定的程序可循，也没有现成的模式套用，但构造法不是"凭空臆造"，而是以掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以细腻的观察为先导，以透彻的分析为武器，因此构造法需要敏锐的观察力，丰富的联想力，高超的创造力.

    4.2 构造图形培养直观想象与数学抽象素养

    有些纯代数问题，如果考究其数量关系，观察其外形结构，并对条件及结论剖析就会发现这些问题其实与几何密不可分，此时构造恰当图形，将深奥、抽象的代数问题转化为直观、形象的几何問题，比如文[2]、文[3]通过巧妙构造矩形、长方体并利用其基本性质将很多高难度的高考、竞赛乃至国际奥赛试题简捷解决.文[4]提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六大数学核心素养，其中提升直观想象素养中的“直观”就是借助经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而不需要经过充分逻辑推理，正如史宁中指出，在大多数情况下，数学的结果是“看”出来，而不是“证”出来的.在教学过程中有意识实施构造法，尤其构造图形，有利于优化数学思维品质，培养直观想象能力，提升数学核心素养，逐步形成适合学生个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，这才是数学教育的出发点，更是数学教育的终极目标.

    参考文献

    [1]朱际生.在简约中彰显深度——一道三角函数问题模型引发的思考[J].中学数学教学参考（中旬），2018（10）：24—25.

    [2]王淼生.再谈矩形一个性质的应用[J].数学教学，2016（12）：14—17.

    [3]王淼生.构造长方体 巧证不等式[J].数学通讯（下半月），2012（5）：60—61.

    [4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：4—7.