基于分类讨论思想的等腰三角形复习
卢浩挺
摘要：等腰三角形存在性问题是八年级学生学习特殊三角形的过程中的重、难点。通过对不同问题背景下等腰三角形存在性问题的探讨，来整体复习等腰三角形。在问题解决的过程中，明确了此类问题分类讨论的依据和标准，引导学生以点带面，突破疑难问题，提升问题解决的能力，培养学生几何直观、逻辑推理等素养。
关键词：分类讨论；等腰三角形；复习课；几何直观；逻辑推理
一、问题产生背景
“如何上好复习课”是摆在每位教师面前的一个问题。日常的复习课主要包括基础复习课和专题复习课两种类型，但是复习的针对性和效果往往并不理想。究其原因，主要在于教师对学情的把握不准确，精心准备的复习“大餐”并不符合学生的“胃口”，简单的复习学生吃不饱，拓展的问题学生吃不消。那么，学生到底需要怎样的复习来帮助他们巩固提高呢？其实，学生日常的疑难问题就为教师“烹饪”出一桌“大餐”提供了丰富的“食材”。
笔者在上课时就遇到了这样一个问题：已知△ABC是等腰三角形，∠A = 80°，求∠B的度数。很多学生的答案是∠B = 50°或20°。问其如何思考，他们还能自信满满的说是通过分类讨论，如果∠B是底角，答案就是50°；如果∠B是顶角，答案就是20°。
八年级学生已经基本具有运用分类讨论思想研究问题的意识，但是很多学生都会出现类似上面的问题，也就是分类讨论不彻底。如果∠B是底角，可能∠A是顶角，也有可能∠C是顶角，因此还要二次分类。等腰三角形分类问题中能否避免二次分类就将问题解决？学生产生错误的原因在于分类的依据往往是等腰三角形的腰和底，或者是頂角和底角。如果要一次分类完全，必须要打破学生的思维定势，重新确定分类讨论的依据。为了帮助学生解决这个疑难问题，笔者设计了“基于分类讨论思想的等腰三角形复习”这节课。
二、问题解决过程
1.提出问题
问题1：已知△ABC是等腰三角形，∠A = 80°，求∠B的度数。
生1：∠B = 50°或∠B = 20°。
师：你是如何得出这个结论的？
生1：我是通过分类讨论，如果∠B是底角，那么就是50°；如果∠B是顶角，就是20°。
师：生1提出了研究数学的一个重要方法，即分类讨论，生1的答案是否正确呢？
生2：应该是∠B = 50°或∠B = 20°或∠B = 80°。
师：说说你的理由。
生2：如果∠B是底角，可能∠A是顶角，也有可能∠C是顶角，因此还要继续分类讨论。
师：也就是说需要进行两次分类。现在以数形结合的方式将生2的想法呈献给大家，如图1所示。
师：大家观察图1中最后的三个图形，他们的顶角顶点有什么特点？给了你什么启示？
生3：这几个等腰三角形的顶角顶点分别是点A，B，C，我们是不是可以按照等腰三角形的顶角顶点进行分类呢？
师：如果按照顶角顶点分类，我们如何用符号语言描述呢？
生4：顶角顶点确定了，就意味着等腰三角形的腰确定了，可以用两腰相等去描述。例如，题中可以按照AB = AC，AB = BC，AC = BC来分类。
师：很好，老师先把你的想法写下来。
问题2：如图2，正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知点A，B是两格点，若点C也是图2中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，试找出所有的点C。
生5：若AB为腰，以点A为圆心，AB为半径画圆，与正方形网格相交于两个格点，同理以点B为圆心，AB为半径画圆，与正方形网格也相交于两个格；若AB为底边，则作AB的垂直平分线，又有四个交点，具体如图3所示。
师：你是如何进行分类的？分类的标准是什么？
生5：将AB分别作为等腰三角形的腰和底边，如果AB是腰，还得分别把点A，B作为顶角顶点进行讨论。
师：很好！生5利用两次分类把问题解决了。
生6：按照刚才角的分类，我发现对边进行分类可以通过一次分类完成，就是分别以点A，B，C作为顶角顶点来进行分类讨论。
师：非常好！对于等腰三角形的分类讨论问题，无论是已知一个角还是一条边，都可以用同一个标准进行分类讨论。
【设计意图】引导学生利用已有经验去尝试解决问题，并且不让学生止于问题的解决，而是去寻找不同问题的内在规律。在等腰三角形的相关问题中，分类讨论是一类常见的问题，无论是角的分类，还是边的分类，两者都有内在联系——相同的分类标准（如图4），让学生充分感受分类的过程，经历不同方法的思维碰撞。
2.形成方法
师：老师把刚才两个问题的两种不同方法展现给大家，大家比较前后两种分类方法，你更喜欢哪一种？为什么？
生7：我更喜欢第二种，也就是以等腰三角形的顶角顶点作为分类依据，因为只要进行一次分类就可以了，而且不重不漏。
师：在研究等腰三角形的边角分类问题时，我们的确经常按照等腰三角形的顶角顶点，从两腰相等进行分类讨论，可以简化我们的思考过程，并做到不重不漏。我们今天就用这种方法来解决一些问题。
【设计意图】让学生经历不同方法的形成过程，并对两种方法进行比较和优化，得出适合自己的最佳方法。罗增儒教授认为，数学课堂应该在目标的引领下，通过任务驱动，让学生用自己的方法去经历学习的过程。相信通过已知和新知的碰撞，能够助推学生数学能力的提升。等腰三角形分类讨论问题中的分类标准的确立，为后续的实践应用奠定了良好的基础。
3.实践应用
应用1：若以点A为原点建立平面直角坐标系，点A，B位置如图5所示，试在坐标轴上找一点P，使△ABP是一个等腰三角形，这样的点P有几个？试画出来。
生8：这里两个点是确定的，先以点A为顶角顶点，即AB = AC，此时以点A为圆心，AB长为半径画圆，与坐标轴有4个交点；再以点B为顶角顶点，即AB = BC，此时以点B为圆心，AB长为半径画圆，与坐标轴有2个交点。以点C为顶角顶点时，即AC = BC，点C是在AB的中垂线上，作出中垂线后发现与坐标轴分别又有2个交点，所以一共有8个交点。
师：非常好！同学们现在可以准确应用分类讨论的思想，利用“两圆一线”模型来解决问题。老师现在对这个问题稍加处理，你们看看还能解决吗？
师：生9将这个过程分析得很透彻，这个问题的本质与前面的问题相同，也就是有两个点是定点，一个点不确定（动点）时，依然要用到按照等腰三角形的頂角顶点，从两腰相等的角度进行分类讨论。如果让两个点动起来会怎么样？
应用3：如图6，点P，Q分别是线段AC，AB上的动点，连接PQ。点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点A匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发向点B匀速运动，当点P运动到点A后两点同时停止运动。试问多少秒后△APQ为等腰三角形？
师：在只有一个定点的情况下，我们该怎么办？
生10：还是要分情况讨论。
师：还能用“两圆一线”模型吗？
生11：不能，但是依然可以按照我们之前确定的分类依据进行讨论。
师：谁来试试？
师：生12利用分类讨论思想，结合方程思想解决了这个看起来有些复杂的双动点问题。这样看来，只要我们抓住问题的本质，合理选择分类的依据，这种看似高不可攀的难题也能快速形成思路，后续的计算等学习了二次根式以后会更简单。
【设计意图】分类讨论思想在不同的知识背景下均有涉及，如格点、直角坐标系、两定一动、两动一定等，通过三个递进的应用题目让学生感受无论问题怎么变，数学本质始终没有变，分类讨论的核心是分类标准始终没有变。在不同的问题情境中，学生巩固了等腰三角形的基础知识，进一步渗透了分类讨论思想、方程思想和数形结合思想.
三、反思
1.复习课接地气，疑难问题巧成素材
一节复习课所承载的内容毕竟有限，需要教师更加用心地去挑选学生喜爱的“食材”。因此，课堂所呈现的内容必须接地气，能够帮助学生解决他们的疑难和困惑。在日常教学中，教师要多留心学生的问题，多注意难点和易错点，将这些问题巧妙地融入到复习课中。例如，分类讨论是等腰三角形中常见的一类问题，也是热门考点。如何进行分类讨论是思维上的难点，学生常常因为没有合适的分类标准而出现漏解、错解。学生日常的分类角度并不能准确地解决现阶段的数学问题，因此需要打破学生的思维定势，重新研究和发现分类标准，指导学生方便、快速地解决等腰三角形中常见的分类讨论问题，这样的复习课学生才有兴趣，课堂才有效率。
2.复习课显灵气，以点带面帮助提升
一节成熟的复习课，不仅需要选择合适的切入点，而且需要整合相当的资源，照顾不同层次学生的不同需求。尽管笔者举例的这节课是以分类讨论为主线展开的，但是里面结合了等腰三角形的性质、判定，两圆一线，两定一动，两动一定，方程和二次根式等问题，内容丰富，有一定的思维含量。帮助学生梳理出分类讨论的标准后，学生显得非常有灵气，一些平时让学生“闻风丧胆”的问题也变得相对容易，以分类讨论这个点带动等腰三角形整个面的复习、巩固，最终提高了学生解决问题的能力。
3.复习课攒底气，方法迁移所向披靡
对于很多学生而言，有时复习课上与不上没有区别，会的本来就会，不会的还是不会，复习课没有起到应有的作用。复习课往往是题目的堆砌，内容广而散，不能有效带动学生主动学习，自然谈不上高效。复习课所承载的作用应该是为学生后续解决问题攒足底气。一节高效的复习课会促进学生思维质的飞跃，能够切实提升学生解决问题的能力，同时帮助学生利用所学内容进行知识和方法的迁移，最终让学生能在数学的天地中自由翱翔，在数学问题的洗礼中所向披靡。
参考文献：
[1]章建跃.章建跃数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017.
[2]李淑杰.初中数学课堂教学的“三把尺”：以“等腰三角形”复习课为例[J].中学数学教学参考（中旬），2019（8）.
[3]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]朱爱雅.例谈分类讨论思想在等腰三角形中的应用[J].考试（中考版），2012（1）.
