基于Polar插值改进的结构振动信号压缩采样正交匹配追踪恢复算法
康杰 段忠东
摘要：压缩感知是近年来出现的采样和信号处理方法，它利用了信号中普遍存在的稀疏特性，从而可以以远低于奈奎斯特频率的采样速率采集压缩样本，并依概率恢复得到真实信号。结构振动信号具有一定的稀疏性。对其进行压缩采样并进行信号重构，离散傅里叶原子的频率往往与信号实际频率不匹配，造成频率泄漏，降低信号重构精度。针对离散原子库存在的缺陷，采用Polar插值对正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法进行了改进。以OMP算法选择的最优原子为基础，利用Polar插值在最优原子临近构建频域连续原子库，构建了信号重构的优化模型，通过凸优化算法获得实际频率的最优估计。改进算法以较小的计算量实现对OMP算法得到的离散原子频率的修正。通过对结构振动的数值模拟和对模型试验压缩信号的重构，结果表明，与常规算法相比，改进算法可有效提高信号重构精度，特别是在压缩观测值数量较少的情况下，精度提升效果更加明显。
关键词：结构振动;压缩感知;OMP算法;Polar插值;连续原子库
中图分类号：O327;TN911.7文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0450-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.002
引言
压缩感知（Compressed Sensing，CS）是近年来出现的一种新的信号采集和处理理论。CS理论指出，对于在信号本身或者在某种变换下具有稀疏性的信号，仅需采集少量压缩观测值（相比奈奎斯特采样样本）即可高精度地重构出原始信号。与奈奎斯特采样定理相比，CS理论充分利用了信号稀疏性，能够极大地减少信号的采集与传输。此外压缩观测值具有均等性，在数据传输过程中，丢失部分观测值对信号重构几乎没有影响。基于以上优势，国内外针对CS理论开展了大量研究工作，其应用领域涉及单像素相机成像，医学核磁共振成像，雷达成像，数据通信，无线传感网络，结构健康监测等。
信号稀疏性是压缩感知理论应用的重要前提。对于频域稀疏信号，一般通过离散傅里叶原子库对其分解来获取稀疏性。然而离散傅里叶原子库包含的频率信息十分有限，僅对应频域范围内一组离散点，无法与信号中任意分布的频率成分精确匹配，这在一定程度上损害了信号的稀疏性。增加原子数量可使原子库包含更多频率信息，能够有效提高信号稀疏分解质量，但原子之间的强相关性对CS重构算法挑选原子产生负面影响。一些改进方法随之产生，Dai等在原子选择过程中通过回溯思想来优化原子挑选质量;Duarte等提出采用受限联合子空间信号模型来提高选择原子准确性。虽然这些方法恢复信号精度有所增加，但依然受到离散原子库频率信息不足的影响。
一些研究人员开始探讨在频域连续区间上寻找原子进行压缩感知信号重构。Ekanadham等通过Polar插值圆弧近似构建频域连续原子库，并在此基础上与BP算法结合提出了CBP算法。Polar插值连续原子库可以有效覆盖信号包含的频率成分，因此CBP算法重构信号精度较高。Tang等基于原子范数概念提出了SDP算法，将稀疏信号重构问题转化为求解半正定方程，彻底摆脱了离散原子库的束缚，从而获取了较高的信号恢复精度。值得注意的是，无论CBP算法还是SDP算法，在信号重构过程中都会产生巨大计算量，在处理大规模信号重构问题时存在较大困难。
本文出发点在于探讨如何以较小的计算量获取高质量的重构信号。OMP算法在重构信号过程中具有复杂度低、效率高等特点，但算法精度受到离散原子库的限制。而Polar插值能够在频率参数点附近构建连续原子库，具有较好的灵活性与可操作性。因此采用Polar插值对OMP算法进行改进，增加较小的计算量来提高信号重构精度。在基于离散原子库重构信号过程中，OMP算法所挑选出的原子频率参数与信号频率成分存在一定误差，采用Polar插值在已挑选原子频率参数附近构建连续原子库，通过凸优化算法对挑选的原子频率参数进行校正，提高信号重构精度。本文利用结构振动信号的频域稀疏性，通过数值模拟和模型试验获得压缩观测值，采用本文提出的改进算法进行信号重构，结果表明，对于理想频域稀疏信号，改进算法可有效提高信号重构精度，特别是在压缩观测值数量较少的情况下，精度提升效果更加明显。而对于近似稀疏信号，改进算法也能在一定程度上提升信号重构精度。
1 基于Polar插值改进的OMP算法
压缩感知理论中，压缩矩阵φ为扁平矩阵，即其行数远小于列数。按式（2）得到的压缩信号y的观测值数要远小于信号x的维数，即对信号x进行了压缩。这个压缩过程在物理实现上一般是在模拟信号阶段实现的。在对x进行压缩采样后，目标就是如何通过压缩观测值y重构原信号x。下面通过构建基于Polar插值的连续字典库，结合OMP算法来提高信号重构的精度。
式（1）中信号模型易采用函数sin（2πfdt）与COS（27πfdt）生成加密原子库Ds与Dc：
2 数值实验
下面通过数值实验对采用Polar改进的OMP算法（这里称之为IOMP算法）进行测试。一个3自由度阻尼系统用于生成结构振动信号，如图2所示。
系统质量块之间以及质量块与边界之间采用弹簧阻尼单元连接。系统的质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵如下所示：
激励荷载由6条正弦信号叠加而成，其频率分别为f1=0.1699Hz，f2=0.7144Hz，fa=1.0498Hz，f4=0.73Hz，f5=2.6579Hz与f6=2.7199Hz。其中f1，f2和f3对应于体系的前3阶自然频率。激励荷载施加于m1，从m2采集振动信号。采样频率设置为10Hz，采样点数为1000.
2.1 原子数量及噪声水平对IOMP算法重构信号精度的影响
表1对比了不同原子数量与噪声水平下IOMP算法重构信号精度，各工况观测矩阵φ均采用随机伯努利矩阵，即该矩阵的元素随机取1或者-1，信号混入的噪声为高斯白噪声，Polar插值连续区间参数△选为0.1Hz。本文采用相对误差ξ来衡量重构信号精度。相对误差是对重构信号质量进行整体描述，相对误差越小，则重构信号精度越高。相对误差计算公式如下
由表1可知，原子数量和噪声水平对IOMP算法重构信号的精度有重要影响。当噪声水平较高或原子数量较少时，IOMP算法重构信号误差较大。这是由于OMP算法初选原子的频率参数精度过低，致使Polar插值连续原子库无法覆盖到信号的真实频率。增加观测值和原子数量可以提高信号恢复的精度，如噪声水平为20%，IOMP算法在原子数量为5000，压缩值数量为10%条件下重构信号精度要明显高于原子数量1000，压缩观测值5%条件下重构信号精度。
2.2 Polar插值连续△对IOMP算法重构信号精度的影响
图3对比了△不同取值下IOMP算法重构信号的精度，信号噪声水平为10%，压缩矩阵φ采用隨机伯努利矩阵，观测信号压缩比为5%。图4对比了原始信号和重构信号的时程。
图3（a）显示当原子数量为1000，IOMP算法重构信号误差在△=0.4Hz时最小。这是由于原子数量过少导致OMP算法初选原子频率参数存在较大误差，需要Polar插值连续原子库在大范围内对原子频率参数进行调整，因此当厶增加至0.4Hz时IOMP算法重构信号误差最小。当原子数量为2000-4000，OMP算法初选原子频率参数精度较高，只需Polar插值连续原子库在较小的范围内对频率参数进行调整即可，此时IOMP算法在△=0.1Hz时达到了较高的重构精度。此外，当△=0.7Hz时IOMP算法重构误差均较大。这是由于原子de（f）=ei2πft频率参数f在△上变化时，其运动轨迹为多维球面上一段曲线，厶越大则曲线段越长，此时以Po-lar插值圆弧近似相应曲线段存在较大误差，从而降低了算法重构信号精度。基于以上分析，IOMP算法重构信号需要合理选取原子数量与参数△值，一般情况下原子数量不少于4倍信号长度，△值不易大于10倍采样频率与采样点数的比值。图4中信号时程显示，恢复的信号与原信号吻合很好。
3 模型试验
此节采用模型试验数据对IOMP算法进行测试。如图5所示，模型层高为0.48m，总高度为1.56m，每层板重量为20.272kg，模型总重量为67.44kg，模型底部与台面固接。在模型第3层沿x轴向施加锤击荷载，加速度传感器在模型第2层板采集x轴向结构振动信号。图5中，①为荷载施加位置，②为传感器位置。振动信号时程共采集1000个加速度样点，采样频率设置为50Hz。
3.1IOMP算法与其他主要压缩感知算法重构信号精度比较
目前压缩感知理论已发展了大量压缩信号重构算法，然而在重构频域稀疏信号时，多数重构算法易受离散傅里叶原子影响产生重构误差。表2对比了IOMP算法与其他主要压缩感知算法重构信号精度，表中计各工况压缩矩阵φ同样为随机伯努利矩
贪婪迭代算法与凸优化算法是两大类压缩感知重构算法。贪婪算法复杂度低、计算效率高，而凸优化算法需要求解优化方程，因此算法复杂度、高计算效率低。图8对比了各算法计算平均时间，OMP算法与CoSaMP算法属于贪婪算法，计算耗时较少。BP算法属于凸优化算法，计算耗时较多。IOMP算法在OMP算法基础上需要求解一个规模较小的凸优化方程，因此计算时间介于CoSaMP算法与BP算法之间。
阵，Polar插值参数△取值为0.2Hz。
对于图6中的频域稀疏信号，IOMP算法重构信号精度优于其他主要压缩感知重构算法。当原子数量为5000，IOMP算法重构信号误差为0.1718，OMP算法与BP算法重构信号误差均较大，分别为0.2916与0.2868.而基于OMP算法改进的Co-SaMP算法重构信号精度与IOMP算法接近，其为0.2019.
信号重构误差大小影响其傅里叶谱的精度，原始信号和恢复信号的傅里叶谱如图7所示。IOMP算法与CoSaMP算法重构信号频谱较为光滑且与原始信号谱吻合较好，频谱出现的3个峰值与原始信号谱准确对应。相比之下，OMP算法与BP算法重构信号频谱在原始信号第二个峰值处出现较大偏差，此外BP算法重构信号频谱还存在较多毛刺。
3.2 基于重构信号进行模态参数识别
以图7中的重构信号作为输入，采用EAR（Eigensystem Realization Algrithm）算法来识别模态参数。模型阶次确定如图9所示，IOMP算法与CoSaMP算法重构信号随着模型阶次增加奇异值出现明显跳跃，因此模型阶次确定为7.而OMP算法与BP算法重构信号此现象并不明显，模型阶次选为10.
采用重构后的信号对结构模态参数进行识别，结果如表3所示。IOMP算法与CoSaMP重构信号误差较小，ERA提取的模态频率精度较高;OMP算法与BP算法信号重构误差较大，导致EAR提取模态参数不仅精度低且存在虚假模态。然而，阻尼参数对恢复信号的误差更敏感。如表3所示，用恢复后的信号对阻尼比识别结果不理想，特别是基于CoSaMP算法重构信号获取的第3阶模态阻尼比高达7.33%。
4 结论
本文采用Polar插值连续原子库对OMP算法进行改进，达到了以增加适当计算量较大程度地提高重构信号精度的效果。本文针对振动压缩采样信号，建立了基于Polar插值的OMP信号重构的凸优化模型，并采用凸优化算法进行求解。通过数值模拟和模型试验对该算法进行了验证。结果表明，相比常规压缩感知算法，IOMP算法能够以较少的观测值高精度地重构频域稀疏信号;利用重构信号进行模态参数识别，避免了虚假模态的出现，提高了模态参数识别结果的精度。
