随机行人荷载下结构动力可靠度分析
贾宇婷 杨娜 白凡 吕佐超
摘要：基于概率密度演化理论（PDEM），提出一种通过动力可靠度对简支梁在随机行人荷载下的响应进行评估的方法。选取步频、步长、体重以及各行人的到达时间为随机变量，确定性结构动力响应由显式Newmark法计算给出，通过PDEM理论可以方便地计算出行人通过简支梁时任意时刻响应的概率信息，以及不同舒适度阈值水平下跨中加速度的动力可靠度。算例验证表明，简谐荷载下分布参数体系的概率密度演化分析结果与统计结果吻合良好。通过对单人以及多人荷载下响应随机演化过程的分析表明，行人荷载随机性对结构响应具有显著影响，建议利用动力可靠度对结构进行振动响应分析以及人致振动舒适度评价。
关键词：行人荷载;随机动力系统;概率密度演化方法;动力可靠度;舒适度
中图分类号：TU312+。1;TU311.3文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0509-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.009
引言
随着轻质、低阻尼材料的发展，以及现代人们对美学的要求，建筑结构逐渐向大跨、轻柔的方向发展，人群荷载下结构的振动响应也逐渐成为近年来的研究热点。当振动加速度超过某一适用性限值时，就可能会引起人们的不良反应甚至恐慌。在适用性评价方面，中国规范仅对结构的自振频率提出了限值要求，国内外规范普遍采用自振频率阈值法和动力响应阈值法相结合，通过对某一响应指标值的限制达到舒适度要求。在行人荷载模型研究及动力响应计算方面，学者大都假定步行力为确定性的周期荷载，QIN等采用生物力学模型模拟单个行人荷载，研究了简支梁与行走行人的精细化相互作用模型。陈隽等采用无线测力鞋垫实测步行荷载，对大跨结构竖向振动反应谱进行了研究。宋志刚等从社会力模型角度和人桥相互作用的机理出发探索了人桥相互作用的动力放大系数。人群荷载作为一种极为复杂的荷载形式，行人在结构中的分布以及个体的行走特征差异都会引起人群荷载的不确定性，从而造成结构响应的随机性。
鉴于人群荷载的不确定性，考虑从概率的角度对人群荷载下结构的振动响应进行评估。近年来，李杰等提出了随机结构反应的概率密度演化方法（Probability Density Evolution Method，PDEM），直接获取随机结构反应的概率密度函数及其随时间变化的演化过程，这一基本思想为随机结构动力响应分析和动力可靠度问题提供了新的途径，并成功用于地震、波浪、高速铁路等动力荷载下结构的随机反应分析和可靠度计算中。
本文基于概率密度演化理论，提出一种结构在随机人群荷载下动力可靠度的计算方法。该方法综合考虑了行人质量、各行人到达时间以及步频、步长的随机分布，得到响应随时间变化的概率密度函数，从而得到结构响应的动力可靠度，以及任意时刻响应相对于某一限值的超越概率，实现结构在随机人群荷载下的振动响应评估。
1 人致振动响应的概率密度演化分析
随机行人荷载下结构振动响应概率密度函数（PDF）分析主要分成两部分，第一部分对结构在每一随机变量组下进行确定性响应分析，其中变量组通过在随机参数域内的选点技术得到;第二部分利用差分技术计算响应与随机参数的联合概率密度，并在安全域内积分得到结构动力可靠度。
1.1 确定性分析
评价人致振动通常以结构加速度响应为标准，根据概率密度演化理论，以加速度变化率Y（θq，t）作为确定性响应分析的待求未知量。
1.2 荷载响应的概率密度分析及可靠度评价
2 行人步行荷载随机性特征
个体的行走特征以及行人在结构中的分布都存在一定的不确定性，本文考虑将行人步频、步长、体重和各行人的上桥时间间隔作为随机变量。
2.1 步频、步长分布特征
对于行走特征参数分布，Zivanovi6提出应该考虑个体间和个体内部的差异性，个体间的差异性体现在每个人的步频、步长存在差异，个体内部的差异体现在同一个人的每一步都是不同的。步频和步长可以看作是两个相互独立的随机变量，且服从均值和标准差的正态分布，如图1所示。
2.2 行人到达时间和体重分布
Matsumoto等提出行人到达步行桥的时间服从参数为λ的泊松分布，λ表示单位时间在结构单位宽度内的行人数量，即可以认为行人上桥的时间间隔服从指数分布
根据中国2010年国民体质监测公报，中国人的体重服从均值为62.8kg，标准差为10.9kg的正态分布，本文采用这一行人体重分布，表示为W-N（62.8，10.92）。
3 数值计算过程
4 方法验证
为验证方法的有效性，类似于单人单步的简谐荷载形式，分别采用Newmark法与概率密度演化方法计算简支梁在跨中作用单一简谐荷载时的动力响应。
某简支梁跨长11m，横截面宽1.25m，高0.35m。梁的材料属性为：刚度EI=2×108N·m2，单位长度的质量m=1.364×103kg/m，梁的模態阻尼比为ξ=0.3%，如图2所示。在跨中作用简谐荷载F（t）=A·102。sinnt，其中振幅A服从均匀分布U（50，350）N，荷载持时为20s。
利用Newmark法计算，当A分别取50，100，150，200，250，300，350N时，得到跨中加速度、位移响应分别如图3（a）和（b）所示;图4为采用概率密度演化方法得到的以概率密度为Z轴的动力响应PDF演化曲面。
两种方法得到的0-20s动力响应峰值计算结果对比如表1所示。两者响应差值均较小，说明PDEM理论适用于分布参数体系承受简谐荷载，且相比于Newmark确定性响应分析，基于PDEM理论的方法可直接计算出任意时刻、任意响应大小的发生概率。
5 行人荷载随机性影响分析
分析上述简支梁在随机单人荷载和随机人群荷载下的振动响应，其中随机人群荷载又分为考虑行人上桥时间随机性和不考虑其随机性两种工况。步行特征随机变量的概率分布信息如表2所示。
5.1 单人荷载
通过基于PDEM理论的人致振动响应概率分析，可得到任意时刻行人荷载下结构跨中加速度响应的概率密度分布。
行人从t=时刻开始作用于简支梁上一端，利用显式Newmark法和差分法求解加速度响应变化率。以简支梁前三阶响应作为Y（θ，t），代入式（8）-（12）计算响应概率密度演化及结构动力可靠度。
对于单人荷载情况，采用选点技术对步频、步长及体重选取代表点，进行随机动力响应分析，得到响应随时间变化而形成的PDF演化曲面如图5所示。
图6表示典型时刻结构响应的概率密度函数，分别对应时刻2.1，3.5，4.0和7.0s。可以看出，在各步行特征随机变量均服从正态分布时，简支梁各时刻响应并不一定服从正态分布，如t=3.5s时简支梁响应为非传统分布类型。
EN03人行桥设计标准认为，人行桥的舒适度是否满足要求应根据人行桥设计等级和使用者希望达到的舒适度共同决定。给出不同舒适度限值标准下的动力可靠度，如图7所示，可以看出随着阈值“Threshold”降低，可靠度值逐渐下降，且可靠度值随时间变化呈现阶梯状的单向下降过程，符合吸收边界条件使可靠度值“单向流失”的现象。
5.2 多人荷载
本文考虑两种人群荷载工况，一种为各行人上桥时间为确定量，将行人步频、步长、体重作为人群荷载模型随机变量;另一种设行人开始作用于简支梁的时间间隔为随机变量，且服从指数分布，同时考虑步频、步长、体重以及行人到达时间的随机性。分别对简支梁跨中加速度响应以及动力可靠度进行分析：
5.2.1 到达时间确定
假设行人间隔指定时间上桥，如图8所示。取单人步频、步长和体重为随机变量，并认为采用选点技术对变量随机取值所得到的概率密度演化函数，包含了人与人之间特征参数差异所造成的影响。
基于PDEM理论以及提出的随机人群荷载模型，得到在指定时间上桥的人群作用下，简支梁跨中加速度响应PDF演化曲面如图9所示。
图10为多人作用下结构反应典型时刻的概率密度曲线，分别对应时刻3.5，4.0，7.0和10.0s。可以看出，跨中加速度响应PDF较单人作用复杂，t=3.5s时为双峰值，且不同于正态分布、对数正态、指数分布和Gama分布等传统概率分布形式，响应是随时间变化的复杂的随机演化过程。
图11为各加速度限值条件下的动力可靠度，可靠度值随时间变化同样呈现出阶梯型的下降过程。且在t=13s后趋于稳定，即在第5人上桥之后4s，响应不会再出现相对于各限值的新的超越峰值，结构在阻尼作用下响应逐渐减小;且阈值越大可靠度趋于稳定的时间越早，即限值越大响应的超越概率相对越小。
5.2.2 到达时间随机
单位时间内的到达人数服从泊松分布，即认为人群到达简支梁的时间间隔服从指数分布式中 λ表示单位时间内的到达人数，假设λ=0.5.
图12为t=5s到t=25s响应PDF演化曲面，可以看出，在行人逐渐离开后，简支梁将发生自由振动，且在阻尼的作用下响应逐渐降为0.由图12（b）可以看出，t=5-25s处响应的概率取值不断增大，即随着自由振动衰减，随机变量对响应的影响逐渐减小，响应随机性降低。
图13表示行人到达时间为随机变量时，各典型时刻的结构响应概率密度曲线，分别对应时刻5.0，6.0，6.5，9.0，15.0和20.0s。相比于图6单人作用，简支梁跨中加速度响应PDF曲线分布范围更广，人群荷载下响应的不确定性更大;同样地，相比于图10行人开始作用于结构的时间为确定量，人群荷载随机变量的增多使得响应的不确定性更显著。
图14为不同加速度限值条件下的结构动力可靠度，在相同阈值“Threshold=0.05”，多人作用的动力可靠度相比于图7单人作用，下降速度更快。在相同阈值“Threshold=0.10”，增加行人到达时间随机变量后，结构动力可靠度稳定值R=0.3165，小于图11特定时间多人作用时的稳定值R=0.4474，响应不确定性增加导致结构动力可靠度稳定值减小。
6 结论
本文基于PDEM理论提出一种计算随机人群荷载下结构动力可靠度的方法，将其应用于结构随机振动评估中，并得到以下结论：
（1）综合考虑了多重随机人群荷载参数对结构动力响应及可靠度的影响，参数包括行人步频、步长、体重以及各行人的到达时间，得到结构响应PDF演化曲面，可直观分析任意时刻、任意响应大小的发生概率，以及响应相对于不同阈值的超越概率;
（2）相比于人群荷載，单人荷载下各典型时刻的PDF曲线分布更集中，动力响应的不确定性更小;人群荷载下动力响应是随时间变化的更为复杂的随机演化过程，将行人开始作用于结构的间隔时间设为随机变量时，各典型时刻的PDF曲线较不考虑间隔时间随机性时离散性更大，响应的不确定性也更大;
（3）不同阈值条件下的结构动力可靠度均呈现阶梯状下降过程，且阈值越大曲线趋于稳定的时间越早;相比于单人荷载，同一阈值下，多人作用的动力可靠度呈现出更陡的下降过程;增加随机变量个数动力可靠度的稳定值减小。
考虑步频、步长、体重，以及行人到达时间等参数随机性的荷载模型更接近实际步行荷载，有必要对结构在随机人群荷载下的振动响应以及舒适度问题进行研究。
