学前儿童几何图形组合能力的发展研究
常宏
【摘要】本研究以180名学前儿童为研究对象，采用学前儿童几何图形组合能力测查工具，探究学前儿童几何图形组合能力的发展状况。结果表明，几何图形组合能力处于图像阶段到形状组合阶段过渡期的学前儿童占比最高;学前儿童的几何图形组合能力存在显著的年龄差异，不存在显著的性别和园所差异;已有图形组合操作经验对学前儿童的几何图形组合能力存在影响，有图形组合操作经验的儿童表现出更多高水平阶段的特征。研究者据此提出相关建议。
【关键词】学前儿童;几何图形组合能力;发展阶段
几何经验对于儿童来说十分重要。几何经验不仅为儿童提供了联结数学与真实世界的机会，培养了儿童理解和解释世界所必需的空间能力，而且也是儿童其他数学能力发展的桥梁和基础。在学前阶段，儿童已经拥有大量获得几何经验的机会，学前儿童的几何能力主要体现在图形的辨认与比较、图形的组合与拆分等方面。 几何图形组合能力是指把多个图形组合起来，形成一个更大的图形或者形成一个几何图案的能力。〔1，2〕在儿童早期的数学学习中，几何图形组合能力的发展尤为重要。全美数学教师协会（National Council of Teachers of Mathematics，简称NCTM）在《学校数学的原则和标准》（Principles and standards for school mathematics）中将探索和预测二维或三维图形组合和拆分后的结果作为学前到小学二年级的儿童在几何领域的三项发展目标之一。〔3〕我国《3～6岁儿童学习与发展指南》中将“感知形状和空间关系”作为学前儿童数学认知发展的三大目标之一。
以往对学前儿童几何能力的研究，在内容上较为狭窄，主要集中在几何图形的辨认方面;在研究工具上较为单一，主要有七巧板和几何形状积木两类。因此，以往研究无法帮助我们系统地了解学前儿童几何图形组合能力的发展状况和年龄特点。克莱门茨等人第一次对学前儿童的几何图形组合能力进行了系统的研究，提出了学前儿童完成几何图形组合任务应当具备的能力以及关于儿童几何图形组合能力发展阶段的假设。〔4，5〕然而，克莱门茨等人的研究的样本量较少，并且未具体分析不同年龄段学前儿童的几何图形组合能力，也未阐述学前儿童完成不同类型图形组合任务的情况。基于此，本研究拟探讨不同年龄段学前儿童图形组合能力的发展状况及影响因素，以期为促进学前儿童几何能力的发展提供参考。
一、研究設计
（一）研究对象
采用随机抽样法，从某一线城市随机选取两所幼儿园中的180名学前儿童作为研究对象。两所幼儿园的规模大致相同，均属于中等水平幼儿园，服务对象均以社区中的工薪家庭为主。研究对象基本信息见表1。
（二）研究工具
1.几何图形组合能力测查工具
本研究采用的几何图形组合能力测查工具是根据克莱门茨等人（Clements， Wilson & Sarama， 2004）的儿童几何图形组合能力测查工具改编的。克莱门茨等人的测查工具以儿童的图形组合能力发展阶段假设为基础，用于测查学前期到学龄初期儿童的几何图形组合水平。该测查工具共包括7个水平和17个测查项目。7个水平包括前组合阶段、零散组合阶段、图像阶段、形状组合阶段以及这4个阶段之间的过渡期;17个测查项目主要包括三种类型的任务，分别是几何形状积木组合任务、自制图形组合任务和图形组合的心理表征任务。几何形状积木组合任务主要测查儿童使用几何形状积木进行图形组合的能力，自制图形组合任务主要测查儿童使用自制的图形块进行图形组合的能力，图形组合的心理表征任务主要测查儿童通过心理表征进行图形组合的能力。该测查工具的内部一致性α系数为0.945，内部一致性效度为0.88，具有较高的信度和效度。
根据本研究的具体研究问题和预测查的结果，本研究采用的几何图形组合能力测查工具对原测查工具进行了几项修改。一是修改了部分指导语，使其更加适合学前儿童的理解水平。二是在保证测查内容和目的不变的情况下对相关项目进行了调整，使其更加适合中国儿童理解和操作。三是根据测查的内容，设计了观察记录手册，用于记录儿童在每个项目上的回答情况和操作过程。修改后的测查工具的评价者间一致性信度处于0.812～1.000之间，内部一致性α系数在0.559～0.840之间，具有较好的信度和效度。
2.材料
（1）几何形状积木
几何形状积木包括六种不同颜色的图形，分别为绿色的三角形、橙色的正方形、红色的梯形、蓝色的大菱形（对角度数分别为60度和120度）、粉色的小菱形（对角度数分别为30度和150度）、黄色的六边形。所有图形的边长均为1英寸（约2.5cm），梯形下底边长为2英寸（约5cm）。六种图形之间具有多种组合关系，如1个六边形=2个梯形=3个大菱形=6个三角形，1个梯形=1个大菱形+1个三角形等。此外，小菱形和正方形之间还存在面积关系，1个正方形的面积=2个小菱形的面积（见图1）。
（2）自制几何图形块
正方形、等腰直角三角形、直角三角形各2 个。正方形的边长约为4.13cm，等腰直角三角形的直角边长约为5.83cm，直角三角形的两直角边长分别约为4.13cm、8.23cm。
（3）测试纸
测试纸上包括15个需要儿童在测试纸上操作或选择的项目。
（三）研究过程
本研究在正式测查前进行了预测查。预测查结果显示，测查项目的难度和指导语对各年龄段儿童都是比较合适的。此外，大班儿童操作速度快，所以花费时间比中、小班儿童少，而小班儿童因为能够完成的项目相对较少，所以花费的时间也比中班儿童少。因此，在正式测查中，中班儿童在测查中间需要统一休息5分钟，大班、小班儿童根据实际情况决定是否休息。考虑到学期初小班儿童入园适应的问题，所以正式测查按照大、中、小班的顺序进行。 两所幼儿园的测查时间相隔1个月。 测查采用一对一的形式进行，测查地点为幼儿园内的安静房间，每次测查时间为20～35分钟。 每名儿童的测查结果都由主试记录在观察记录手册上。
研究者采用SPSS16.0软件对所得数据进行处理和分析。
二、研究结果与分析
（一）学前儿童几何图形组合能力的总体特点
由表2可知，36.8%的儿童的几何图形组合能力处于图像阶段到形状组合阶段的过渡期;处于图像阶段、零散组合阶段到图像阶段过渡期的儿童也占比很高，分别为20.0%和17.8%;处于其他几个阶段的儿童人数相对较少。
处于前组合阶段的儿童不能组合图形来完成任务，在进行图形组合任务时，他们通常随意摆放图形，将图形堆叠起来或者摆放在图案的外围（见图2）。 处于前组合阶段到零散组合阶段过渡期的儿童则会在部分项目上表现出零散组合阶段的特点。
处于零散组合阶段的儿童能够用图形来填充简单的图案，或能完成图案中呈现出图形轮廓的部分，却很难完成需要组合图形的部分（见图3）。在图形组合的心理表征任务中，由于缺乏心理图式，儿童通常只能注意到单独的图形，不能进行图形组合的心理表征。处于零散组合阶段到图像阶段过渡期的儿童则能在部分项目中尝试组合图形，但他们的组合水平有限，通常只能进行部分图形的组合。
处于图像阶段的儿童能够通过图案的整体轮廓线或轮廓线的长度找到相应的图形，并尝试旋转和翻转图形（见图4）。他们在进行图形组合任务时，由于不能很好地预期图形组合的结果，缺乏图形组合的策略，所以通常需要较长时间完成任务。在圖形组合的心理表征任务中，虽然儿童的心理表征结果与正确结果很相似，但是在细节上存在许多错误。处于图像阶段到形状组合阶段过渡期的儿童在完成部分图形组合任务时，能够使用心理表征来对图形的选择和操作情况进行预期，如有目的地翻转和旋转图形。然而，儿童表现出的能力并不稳定，心理表征的水平有限，大部分儿童仍然会使用试误的策略来选择和操作图形。
处于形状组合阶段的儿童在绝大部分项目中能够对图形组合进行预期，在进行图形组合任务时会采取一些有效策略，如选择对称图案，根据图案面积大小选择图形等（见图5）。在图形组合的心理表征任务中，儿童能注意到图形的边和角的细节，能较为准确地预期图形组合或拆分后的结果。
（二）学前儿童几何图形组合能力的年龄、性别和园所差异
以年龄班（小班、中班、大班）、性别（男、女）、园所（A园、B园）为自变量，儿童的几何图形组合能力得分为因变量进行三因素多元方差分析，结果见表3。
由表3可知，儿童的几何图形组合能力在年龄上存在显著差异（p<0.001），在性别和园所上不存在显著差异。进一步进行多重比较发现，三个年龄班之间在图形组合能力各个阶段上都存在显著差异。
结合表2的数据可知，处于零散组合阶段到图像阶段过渡期的小班儿童所占百分比最高，为28.8%。 小班儿童均未达到形状组合阶段。44.1%的中班儿童的几何图形组合能力处于图像阶段到形状组合阶段的过渡期。没有中班儿童处于前组合阶段。 59.7%的大班儿童处于图像阶段到形状组合阶段的过渡期，24.2%的儿童达到了形状组合阶段。没有大班儿童处于前组合阶段、零散组合阶段及前组合阶段到零散组合阶段的过渡期。
（三）经验对学前儿童几何图形组合能力的影响
本研究对有、无图形组合操作经验的中大班儿童的几何图形组合能力所属阶段情况进行了描述性统计，结果见表4（只呈现阶段2～3至阶段4的情况）。
从总体上看，有图形组合操作经验的儿童与无图形组合操作经验的儿童在图形组合能力上存在差异，有图形组合操作经验的中大班儿童表现出更多高水平阶段的特征。
三、讨论
（一）学前儿童几何图形组合能力发展的总体趋势
1.从尝试错误到通过心理表征来进行图形组合
相关研究指出，儿童最初通过尝试错误的策略来完成图形组合任务，然后逐渐能对图形组合进行心理表征。〔6〕本研究结果表明，处于图像阶段到形状组合阶段过渡期的学前儿童占比最高，其余大部分儿童的几何图形组合能力还处在图像阶段及之前的水平，基本上不具备通过预期心理表征来完成图形组合任务的能力。不过，表现出形状组合阶段特征的人数随年龄增长日益增加，到大班时已有约四分之一的儿童达到形状组合阶段，即能够比较稳定地通过预期心理表征来解决图形组合问题。由此可见，学前儿童图形组合的心理表征能力随着年龄的增长不断发展，图形组合策略也从尝试错误逐渐发展为通过心理表征来预期图形的组合。
2.从根据图形的整体视觉到考虑图形边和角的特征来进行图形组合
克莱门茨等人的研究指出，儿童在进行图形组合任务时，开始注意到图形的边和角的特征，并能够根据图案的轮廓线来选择和匹配图形，是儿童图形组合能力达到图像阶段的特征之一，而既通过边也通过角来选择和匹配图形是儿童图形组合能力达到形状组合阶段的特征。〔7〕本研究结果发现，小班儿童在图形组合任务中以图形的整体视觉形象作为选择图形的主要依据，部分小班儿童能够根据图形的边、图案的轮廓线来进行图形的选择和判断。 部分中大班儿童开始结合图形的边和角的特征来进行图形的选择和判断。由此可见，在图形组合任务中，学前儿童最初是根据图形的整体视觉特征对图形进行判断的，然后逐步根据图形的边和角的特征来判断图形。
（二）学前儿童几何图形组合能力的年龄特点
本研究结果表明，学前儿童的几何图形组合能力存在年龄差异。处于零散组合阶段到图像阶段过渡期的小班儿童占比最高，他们主要通过试误来完成简单图案轮廓的图形组合，并根据图形的整体视觉特征来选择和判断图形。部分儿童开始尝试通过图案的轮廓线或轮廓线的长度来匹配图形，并尝试旋转和翻转图形。处于图像阶段到形状组合阶段过渡期的中班儿童占比最高，他们主要通过图案的轮廓线或轮廓线的长度来匹配图形，能够尝试旋转和翻转图形。部分中班儿童能够通过心理表征来完成简单的图形组合任务，在选择和操作图形时开始表现出目的性。处于图像阶段到形状组合阶段过渡期的大班儿童占比最高，有约四分之一的儿童达到形状组合阶段，他们能够通过心理表征来解决部分图形组合任务，能够通过有目的地旋转和翻转图形进行图形组合，并且可以既通过边也通过角来辨认和选择图形。
（三）学前儿童进行不同类型图形组合任务的特点
本研究发现，学前儿童完成带有图形轮廓的拼图任务较不带有图形轮廓的拼图任务更为容易;在同类型的图形组合任务中，儿童通过操作图形来完成任务比通过心理表征来完成任务更为容易，且目标图案越简单，需要儿童完成图形组合的次数越少，儿童越容易将图形组合成目标图案;在同类型的图形组合的心理表征任务中，儿童对熟悉图形的心理表征水平高于不熟悉的图形;儿童在完成图形替代关系任务时存在困难，小、中班儿童基本不具备完成这类任务的能力，大班儿童在反复操作过程中能逐步发现图形之间的替代关系。
（四）学前儿童几何图形组合能力存在经验差异
以往有研究者在儿童几何能力的驱动力问题上持有不同意见。皮亚杰和英海尔德认为，儿童几何思维的发展主要受儿童在成熟过程中的认知发展水平的驱动，与经验和教育的关系较小。〔8〕克莱门茨则指出，儿童的几何能力是年龄发展和教育因素共同作用的结果。〔9〕本研究发现，经验对学前儿童的几何图形组合能力存在影响。有相关图形组合操作经验的儿童在几何图形组合能力测查中表现出更多高水平阶段的行为。有图形组合操作经验的儿童选择图形的目的性更强，试误较少，更多地使用心理表征来预期图形组合的结果，能更有效地翻转和旋转图形。
四、教育建议
（一）提供不同类型的图形组合任务，丰富儿童的经验
本研究结果表明，儿童的几何图形组合能力与其已有操作经验有关。 因此，教师应当为儿童提供充足的图形组合操作的机会，这有助于儿童掌握图形组合的策略，也有助于儿童探索和发现图形之间的关系。需要注意的是，图形组合操作的机会应当指向不同类型的图形组合任务，以全面发展儿童的几何图形组合能力。 例如，固定图形组合任务有助于提高儿童根据图案的边和角的特征来知觉所需要的图形以及旋转和翻转图形的能力，图形的自由组合任务有助于儿童理解图形之间的关系，图形组合的心理表征任务有助于儿童对图形组合的过程和结果进行有目的、有意识地预期。
（二）根据儿童的年龄特点，提供适宜的指导
针对小班儿童，教师提供的图形组合操作任务应当由易到难，可以从带有图形轮廓的图案逐渐过渡到不带图形轮廓的简单图案，如对称图案等。教师可以鼓励和帮助小班儿童发现和使用一些简单的图形组合策略，如组合图形时将图形的边与边连接在一起，对称的位置可以用一样的图形等。针对中班儿童，教师可以提供不带图形轮廓的简单拼图、多种形状的自由组合材料，同时可以增加部分图形组合的心理表征任务，如鼓励儿童推测图形被拆分后会变成哪些形状等。此外，教师还可以有意识地扩充中班儿童的图形组合策略，如结合图案边和角的特征推测需要的图形，有目的地旋转和翻转图形以与目标图形匹配等。针对大班儿童，教师可以为其提供更为复杂的图形组合操作材料、图形组合的心理表征材料，还可以提供一些能够帮助儿童探索图形之间关系的材料，鼓励儿童发现图形之间的关系。
（三）提供具有难度梯度的图形组合操作任务，满足儿童的个别需求
学前儿童的几何图形组合能力存在个体差异。教师可以为儿童提供具有难度梯度的图形组合操作任务，以便于不同水平的儿童选择不同任务难度的材料进行操作。例如，在图形组合的心理表征任务中，教师可以鼓励不同水平的儿童分别对2个、3个、4個图形的组合结果进行预期等。
参考文献：
〔1〕CLEMENTS D H，SARAMA J.Young childrensideas about geometric shapes〔J〕.Teaching Children Mathematics，2000，（6）.
〔2〕王忠民.幼儿教育辞典〔M〕.北京：中国大百科全书出版社，2004：719-720.
〔3〕NCTM.Principles and standards for school mathematics〔EB/OL〕.〔2019-10-03〕.http：//standards.nctm.org.
〔4〕〔6〕CLEMENTS D H，WILSON D C，SARAMA J.Young childrens composition of geometric figures：A learning trajectory〔J〕.Mathematical Thinking and Learning，2004，（6）.
〔5〕CLEMENTS D H，SARAMA J.Summary research on the building blocks project〔EB/OL〕.〔2019-09-21〕.http：//www.gse.buffalo.edu.
〔7〕CLEMENTS D H，BATTISTA M T.Logo and geometry〔J〕.Journal for Research in Mathematics Education，2001，（10）.
〔8〕PIAGET J，INHELDER B.The childs conception of space〔M〕.New York：Humanities Press，1956.
〔9〕CLEMENTS D H.Geometric and spatial thinking in young children〔M〕//DAVID C，WENDY C.Mathematics in the early years.London：Routledge，1999：66-79.
