函数知识引领与题型点击
摘要：函数既是中学数学各主干知识的交汇点，是数学思想、方法的综合点，也是初等数学与高等数学的衔接点，更是中学数学联系实际的切入点。所以，函数便理所当然地成为历年来高考的重点和热点。以下笔者谈谈函数的热点题型。
关键词：函数;向量知识;信息迁移
中图分类号：G633.6 ? 文献标识码：A ? 文章编号：1992-7711（2019）11-0123
一、以三次函数为主线的问题
三次函数交汇了不等式、方程、解析几何等众多知识点，以它为载体的试题背景新颖、独特，选拔功能强。由于三次函数的导数为二次函数，因此以导数为工具，可用二次函数知识对三次函数的形态进行研究。
例1：已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-[23]与x=1时都取得极值。
1. 求a，b的值;
2. 若对x∈[-1，2]，f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
思路分析：因为函数在x=-[23]与x=1时都取得极值，所以其导数值为0，可求得a=-[12]，b=-2于是f（x）=x3-[12]x2-2x+c，
且当x∈[-1，-[23]]，f（x）>0，x∈[-[23]，1]，f（x）<0。
所以当x=-[23]时，f（x）有极大值为[f（-23）]=[2227+c]，
因f（2）=2+c>[f（-23）]。
所以当x∈[-1，2]，f（x）的最大值为f（2）=2+c。
因为x∈[-1，2]，f（x）<c2恒成立，
所以c2>2+c，c<-1，或者c>2故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）。
友情提醒：
（1）考查三次函数的单调性、极值与最值等问题，要通过对三次函数的求导，可将“三次”变为“二次”，于是转化为考查熟悉的二次函数、二次方程及相关问题。
（2）对于恒成立问题，例如x∈[-1，2]，f（x）<c2恒成立，总有：
x∈[-1，2]，f（x）的最大值<c2，因而问题转化为求x∈[-1，2]，f（x）的最大值。
例2：求过点P（0，0）且与曲线y=f（x）=-[23]x3+x2+4x相切的切线方程。
思路分析：因为点P（0，0）在曲线上，它可以是切点，也可能不是切点。当点P（0，0）是切点时，由k=f ′（0）=4，求得切线方程为y=4x，当点P（0，0）不是切点时，另设切点Q（x0，y0），（x0≠0），则以Q为切点的切线的斜率为k1=-2x0+2x0+4，又k1=kPQ=[y0x0]=-[23x20]+x0+4，解得x0=[34]，k1=[358]，得切线方程为y=[358x]。故过点P（0，0）且与曲线y=f（x）=-[23]x3+x2+4x相切的切线方程有两条，其方程为y=4x和y=[358x]。此时，一个切点是P（0，0），另一个切点是Q（[34，10532]）。
友情提醒：
1. 求过一点P（x0，y0）的曲线y=f（x）的切线方程与求过曲线y=f（x）上一点P（x0，y0）的切线方程，虽然是同一类问题，但有所不同。前者曲线的切线其切点可以是P（x0，y0），也可以是曲线上其余的点;切线可以存在，也可不存在。若存在，切线可以不唯一。而后者一般情况下，点P（x0，y0）是曲线的切点，以P（x0，y0）为切点的切线是唯一存在的。
2. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，直线和曲线相切，有且只有一个公共点。这种观点对一般的曲线不一定正确，上例正说明了这一点。
拓展引申：（1）已知抛物线C1∶y=x2+2x和抛物线C2∶y=-x2+a，当a取什么值时，C1，C2有且仅有一条公切线？写出公切线l的方程。
解析：设公切线L切于C1于点P1（x1，y1），切C2于点P2（x2，y2），则L的方程有两种表达方式：y-y1=（2x1+2）（x-x1）…①y-y2=-2x2（x-x2）…②，y1=[x21]+2x1，y2=[x22]+a，①②分别是y=（2x1+2）x-[x21]，y=-2x2x+[x22]+a，
∴[2x1+2=-2x2-x21=x22+a]<e：＼雜志＼2019＼11下＼11下6-12＼06教学反思＼韦忠文（孟宪玲）函数复习要111-两个版-119＼image37.pdf>消x2得2[x21]+2x1+1+a=0，
由题意知：Δ=4-8（1+a）=0，a=-[12]，x1=x2=-[12]，y1=y2=-[34]，
所以P1，P2重合，故当a=-[12]时，C1，C2有且仅有一条公切线，其方程为y=x-[14]。
（2）已知函数①若函数f（x）=x3-[12]x2+bx+c的图像有与x轴平行的切线，求b的取值范围;②若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）<c2恒成立，求c的取值范围;
解析：①f ′（x）=3x2-x+b，设切点P（x0，y0），则f（x）在点P的切线的斜率k=f ′（0）=3x0-x0+b，由题意，k=f ′（0）=3x0-x0+b=0有解，故有Δ=1-12b≥0，∴b≤12。
②因为f（x）在x=1时取得极值，所以x=1为方程f ?′（x）=3x2-x+b=0的一个根，
∴b=-2 由3x2-x-2=0可得f ′（x）=0的另一个根x2=-[23]当x<-[23]或x>1，f ′（x）>0，
所以当x∈[-1，2]，时，f（x）在[-1，-[23]]上是增函数，
在（-[23]，1）是减函数，在[1，2]上是增函数。
所以f（x）有极大值f（-[23]）=[2227+c]又f（2）=2+c。
所以当x∈[-1，2]时f（x） 有最大值f（2）=2+c，
因为f（x）<c2恒成立，
∴2+c<c2恒成立，c2。
反思：本题第（1）题利用了导数的几何意义将问题转化为二次方程有解问题。第（2）题为恒成立问题，实质是求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值。
二、以抽象函数为主线的问题
这里所谓的抽象函数，是指只给出函数的一些性质，而未给出函数解析式的一类函数。抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景，且构思新颖、条件隐蔽、技巧性强、解法灵活。因此抽象函数在近几年的各种考试中，成为考查的重点。
例3：定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
（1）对任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（[x+y1+xy]）;
（2）当x∈（-1，0），时，有f（x）>0，
求证：f（[15]）+f（[111]）+…+f（[1n2+3n+1]）>f（[12]）。
思路分析：先赋值判断奇偶性，令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，得f（x）+f（-x）=0，所以f（x）是奇函数。再利用定义证明f（x）在x∈（-1，0）时是减函数，则在x∈（0，1）上仍然是减函数，且f（x）<0。最后将f（[1n2+3n+1]）裂项为f（[1n+1]）-f（[1n+2]），于是f（[15]）+f（[111]）+…+f（[1n2+3n+1]）=[f（[12]）-f（[13]）]+[f（[13]）-f（[14]）]+…+[f（[1n+1]）-f（[1n+2]）]=f（[12]）-f（[1n+2]）>f（[12]）。
友情提醒：
（1）本题先确定函数的奇偶性和单调性，利用裂项求和进行化简，再根据条件用放缩法证明不等式;在解题过程中，利用题设充分挖掘隐含条件，开拓解题思路，使问题得到解决。
（2）解决抽象函数问题的关键是挖掘函数的特征，考虑特殊值的代入、类比、推理等方法，或脱去抽象函数中的记号f，化为具体函数解决。
拓展引申：
1. 设a是常数，函数f（x）对一切x∈R都满足f（a-x）=-f（a+x）。
求证：函数f（x）的图像关于点（a，0）成中心对称图形。
解析：证明一个函数图像的对称性问题，只需在此函数图像上任取一点P，证明它的对称点Q也在其图像上。
证明：∵f（a-x）=-f（a+x）对一切x∈R都成立，
∴f（x）=f[a-（a-x）]=-f[a+（a-x）]=-f（2a-x）]，所以在f（x）的图像上任取一点（x0，y0），则其关于（a，0）的对称点（2a-x0，-y0）也在其图像上，所以函数f（x）的图像关于点（a，0）成中心对称图形。
2. 已知函数f（x）对于一切实数x满足f（x）=f（12-x），若方程f（x）=0有n个不同的实数根，这n个实数根的和是48，求n的值。
解析：由方程根的意义及等式f（x）=f（12-x）的意义知，方程的根是成对出现的，且成对两根之和是12。
由方程f（x）=f（12-x）知，如果x0是方程的根，那么12-x0也是方程的根，且x0≠12-x0，x0+（12-x0）=12，由48=12×4，可知方程f（x）=0有四对不同的实数根，即方程f（x）=0有8个不同的实根。所以n=8。
三、以向量知识为背景的函数问题
向量由于具有几何形式和代数形式的双重身份，能容数形于一体，因此以向量的相关知识为载体，以数形转化思想方法为主线的函数问题，其设计创新力度较大、综合性较强，已成为近年高考的新热点。
例4：（2005年湖北高考题）已知向量[a]=（x2，x+1），[b]=（1-x，t），若函数f（x）=[a·b]在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
思路分析：
先求出f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，則f ′（x）=-3x2+2x+t，因为函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上f ′（x）≥0，则t≥3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立。
考虑函数g（x）=3x2-2x在（-1，1）的取值范围，有g（x）<g（-1），于是t≥g（-1）=5。
当t≥5时，函数f（x）在区间（-1，1）上满足f ′（x）>0，即函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数，故t≥5。
友情提醒：
1. 本题考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，并运用函数性质分析和解决问题。
2. 研究近几年高考试题，发现平面向量与函数知识交汇融合的创新潜力较大，已渐成高考的热点。
拓展引申：
设平面向量[a]=（[32]，-[12]），[b]=（[12]，[32]）若存在不同时为零的两个实数s，t及实数k，使[x]=[a]+（t2-k）[b]，[y]=-s[a]+t[b]，且[x]⊥[y]。
（1）求函数关系式s=f（t）;
（2）若函数s=f（t）在[1，+∞）上是单调函数，求k的取值范围。
解析：（1）∵[a]=（[32]，-[12]），[b]=（[12]，[32]），
∴|[a]|=|[b]|=1，[a]·[b]=0，又[x]⊥[y]，
∴[x]·[y]=0，即[[a]+（t2-k）[b]]·（-s[a]+t[b]=0</c2恒成立，c
∴-s+t（t2-k）=0，
∴s=f（t）=t3-kt。
（2）f ′（t）=2t2-k，∵f（t）在[1，+∞）上是单调函数，所以在[1，+∞）上有f ′（t）≥0，或f ′（t）≤0。由f ′（t）≥0，可得，k≤3t2，∴k≤（3t2）min，k≤3。由f ′（t）≤0可得k≥3t2，而y=3t2在[1，+∞）上是增函數，没有最大值。此时，不存在k使k≥3t2在[1，+∞）上恒成立。故k的取值范围是k≥3。
四、信息迁移中的函数问题
数学信息题一般取材较新，多以社会热点或最新科技动态为背景，具有浓郁的时代特征和生活气息。在题目中给出的是新情景、新结构、新概念、新函数、新运算等信息，要求学生在考试时完成现场学习，在短时间内从大量的信息中捕捉相关信息，通过分析、归纳，探索有关规律，应用联想、猜想、演绎、类比、迁移等方法将它与已有的知识结合起来，把所学的知识迁移到新的情景中，去做进一步推理、运算、证明，才能获得解决。
例5：设y=f（x）是定义在R上的偶函数，又是最小正周期为π的周期函数，而且f（x）在（0，[π2]）上是增函数，试写出函数f（x）的解析式。
思路分析：
这是结论开放型信息迁移题，由于f（x）是周期函数，故容易想到从三角函数入手进行探究。
想到函数f（x）=[sinx]符合条件;由此可得f（x）=[1-cos2x]也符合条件;由余弦函数性质可得f（x）=-cos2x符合条件，由此可得f（x）=acos2x+b，（a，b∈R，a1）也满足条件。
友情提醒：
1. 此类问题读懂题意是关键的一步。搞清题意才能确定探索方向，寻找合理的解题途径。
2. 我们常见的是已知f（x）的解析式来分析f（x），即使是求解析式也往往是已知图像或者函数的一部分解析式，这样的解答结果是唯一确定的;而本问题却是反其道而行之，给出函数奇偶性、单调性和周期性性质，反过来写出符合条件的函数，将信息逆向迁移，具有开放性。
（作者单位：江苏省怀仁中学 ? ?214196）
