基于Markov过程的多状态可修元件可靠性建模
李志强 徐廷学 高松 邓春饶 赵建忠
摘 要：在现有多状态可修元件完全维修建模和非完全维修建模的基础上， 应用Markov过程构建了多状态可修元件的视情维修可靠性分析模型。 从多状态元件的定义出发， 分析了多状态元件在无维修条件下的状态转移关系， 拓展构建了元件在完全维修、 非完全维修以及视情维修条件下的状态转移微分方程和关系矩阵。 以某可修系统的状态3元件和状态4元件为例进行了实例分析， 仿真结果表明， 视情维修相对于完全维修和非完全维修， 可以使元件保持更高的可靠度和可用度。
关键词： 多状态; 完全维修; 非完全维修; 视情维修; 状态转移
中图分类号：TJ760; TB114.3文献标识码：A文章编号： 1673-5048（2018）05-0079-06[SQ0]
0 引言
传统的可靠性分析方法假设元件只有正常运行与故障失效两个状态。 在现实世界中， 诸多元件、 系统都是多状态的[1-2]， 即除了正常运行与故障失效两个状态之外， 还有一个或者多个中间状态， 如机械元件的性能劣化状态、 发电机的低压输出状态等。 由于Markov过程在描述状态转移关系方面具有独特的优势， 已广泛应用于元件的多状态建模与分析中[3-4]。 刘航等[5]根据装备的维修性和劣化性能分析， 提出了基于Markov过程的维修决策优化模型， 研究了在考虑维修经费和时间条件下的最优时间点。 为了提高两级污水排放系统的可靠度， 綦法群等[6]应用Markov过程构建了系统的预防性维修模型， 以可用度最大化为目标， 优化维护频率， 确定最佳的设备维护策略。
现有研究大多都基于完全维修假设， 即元件修复如新， 最简单的例子就是换件维修。 修复如新只是理想条件下的维修方式， 实际上， 完全维修更多的是指换件维修， 以全新的元件更换故障失效的元件， 这样就实现了真正的修复如新。 王明智等[7]应用马尔科夫链蒙特卡洛仿真方法， 分析了在少样本情况下， 数控机床的非完全维修可靠性评估问题。 针对任务期内有限维修能力下的单级保障效能评估问题， 李华等[8]在维修时间短、 备件充足的假设条件下， 提出了多层级不完全修复件的可用度近似评估算法。 Liu和Cai等[9-10]应用动态贝叶斯网络研究了深海封井器在非完全维修情况下的共因失效、 系统和元件的状态转移等相关问题。 非完全维修适用于故障后维修元件， 如处于人难以介入环境中的元件， 只有当这类元件失效之后才能采取维修措施。 非完全维修的维修效果与工程实际比较吻合， 经历维修， 故障失效元件有可能直接恢复到正常运行状态， 也有可能恢复到某一中间状态。
对于时刻处于状态监测条件下的元件、 系统，如机载捷联惯导系统、 火控系统等， 适合采取更有效的维修措施， 即视情维修[11-12]（Conditional Based Maintenance，CBM）。 视情维修根据元件的故障机理影响分析， 参照传感器状态实时监测结果， 对出现了退化现象的元件采取包括换件维修在内的维修措施， 从而避免了元件发生“功能故障”， 避免
系统发生严重故障， 有效降低元件和系统的故障发生率。
1 无维修条件下多状态元件可靠性建模
1.1 多状态元件定义
多状态元件包括正常运行状态、 中间退化状态和故障失效状态。 根据不同的状态划分标准， 中间退化状态可以分为一级退化状态、 二级退化状态等多个状态。 假设某元件具有k个状态， 可表示为g={g1， g2， …， gk}， 对于任意状态等级i， 有gi+1≥gi。 假设元件当前的状态函数为G（t）， 有G（t）∈g， 性能水平函数为W（t）， W（t）∈w={w1， w2， …， wm}， 对于满足使用要求的元件， 满足条件：G（t）≥W（t）。
1.2 无维修条件下的状态转移模型
定义一个离散状态连续时间随机过程{X（t）|t≥0}， X（t）∈{1， 2， …，K}， 时间参数t连续取值， t∈[0， ∞）。 对于t0<t1<t2<…<tn-1<tn<t， 条件概率分布函數满足[13]：
Pr{X（tn）=xn|X（tn-1）=xn-1， …， X（t1）=x1，X（t0）=x0}=Pr{X（tn）=
xn|X（tn-1）=xn-1}（1）
则随机过程{X（t）|t≥0}称为Markov过程。
多状态元件发生渐变劣化和突变劣化的状态转移过程， 以λ表示失效率，如图1所示。在初始时刻， 元件处于完好无损状态k， 随着时间推移可能发生从状态k到k-1的渐变劣化过程， 或者发生从状态k到状态i（i<k-1）的突变劣化过程。
根据元件的状态转移关系， 可以建立如下的微分方程组：
dpk（t）dt=-pk（t）∑k-1e=1λk， e
dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e，
i=2， 3， …， k-1
dp1（t）dt=∑ke=2λe， 1pe（t） （2）
式中：
λi， j为元件从状态i转移到状态j的劣化密度函数;
pi（t）为元件处于状态i的概率函数。
微分方程的初始条件满足：
pk（0）=1， pk-1（0）=pk-2（0）=…=p1（0）=0（3）
2 考虑维修因素的多状态元件可靠性建模
当元件为多状态可修元件时， 除了发生渐变劣化和突变劣化的状态转移过程外， 还包括相应的最小维修和较大维修， 以μ表示维修率， 如图2所示。 最小维修， 使元件从状态i转移到状态i+1; 较大维修， 使元件从状态i转移到状态k（k>i+1）。 在任意时刻t， 元件处于状态i， 下一时刻元件可能发生到状态j（j≠i）的转移， 或者继续停留在状态i。
当元件发生故障失效时， 即处于状态1， 完全维修可以使元件通过维修从状态1回到完好状态k， 不完好维修可以使元件通过维修从状态1回到任一上级状态i（1<i≤k）。
以图2为例， 完全维修使得元件从状态1回到状态k， 非完全维修使得元件从状态1回到状态任一上级。 视情维修通过对出现性能退化的元件进行维修， 可以使元件从退化状态j恢复到较好的任一状态i（j<i≤k）。 根据元件的状态转移关系， 分别建立元件在完全维修、 非完全维修和视情维修下的微分方程组：
dpk（t）dt=μ1，kp1（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e
dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e，
i=2， 3， …，k-1
dp1（t）dt=-μ1，kp1（t）+∑ke=2λe， 1pe（t） （4）
dpk（t）dt=μ1，kp1（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e
dpi（t）dt=μ1， ip1（t）+∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e
dp1（t）dt=-p1（t）∑ke=2μ1， e+∑ke=2λe， 1pe（t） （5）
dpk（t）dt=∑k-1e=1μe，kpe（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e
dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）+∑i-1e=1μe， ipe（t）-
pi（t）（∑i-1e=1λi， e+∑ke=i+1μi， e）
dp1（t）dt=∑ke=2λe， 1pe（t）-p1（t）∑ke=2μ1， e ?（6）
式中：
μj， i为元件从状态j转移到状态i的维修密度函数。
微分方程的初始条件同式（3）。
以状态4元件为例， 根据状态间转移关系建立完全维修、 非完全维修和视情维修条件下的状态转移关系矩阵， 如表1～3所示。
3 案例分析
某系统由元件A和元件B并联构成， 元件A为状态3元件， 失效率和维修率分别为λA=5-1y， μA=85-1y;元件B为状态4元件， 失效率和维修率分别为λB=4.5-1y， μB=80-1y。 统计历次故障数据与维修信息， 可对模型作如下假设：
对于状态3元件A有：
对于元件A， 考虑元件的劣化与维修过程， 构建如图3所示的状态转移关系模型。
参照表1～3可建立状态转移微分方程， 其中视情维修条件下的微分方程为
dp3（t）dt=-（λ3， 2+λ3， 1）p3（t）+μ1， 3p1（t）+μ2， 3p2（t）
dp2（t）dt=-（λ2， 1+μ2， 3）p2（t）+λ3， 2p3（t）+μ1， 2p1（t）
dp1（t）dt=-（μ1， 2+μ1， 3）p1（t）+λ3， 1p3（t）+λ2， 1p2（t） （7）
经Laplace Stieltjes变换与反变换， 确定元件A在3种维修方式下以gA1<w≤gA2为性能水平的可靠度曲线， 如图4所示。
显然， 在采取维修措施之后， 元件A能够保持很高的可靠度水平， 完全维修条件下的可靠度指标明显高于非完全条件下的可靠度指标。 由于视情维修充分考虑了元件的性能退化过程， 对出现的“潜在故障”进行及时维修， 使得元件保持更高的水平。
对于元件B， 构建如图5所示的状态转移关系模型， 建立在视情维修条件下的状态转移微分方程， 如式（8）所示。 经Laplace Stieltjes变换与反变换， 确定元件在视情维修条件下不同性能水平下的可靠度曲线， 如图6所示。 作为对比， 以gB1<w≤gB2为性能水平， 确定元件B在3种维修方式下的可靠度曲线， 如图7所示， 可以得出与元件A类似的结论。
分系统的可靠度可以通过建立元件A和元件B并联后状态组合的微分方程组确定， 为了解算方面， 可以利用通用生成函数求解， 具体方法参见文献[14-15]， 此处不作阐述。
4 結论
由于现有研究多从完全维修和非完全维修角度出发， 进行多状态元件/系统的可靠性分析， 本文在分析元件状态转移关系的基础上建立了基于Markov过程的视情维修模型：
（1） 基于Markov过程的多状态元件视情维修模型充分考虑了元件的渐变劣化、 突变劣化等失效过程， 以及可能发生在任一退化状态的维修过程， 这正好反映了视情维修的核心思想， 即对出现“潜在故障”的元件进行及时维修;
（2） 视情维修条件下， 元件的可靠度相对于完全维修和非完全维修条件下更高， 这也正是传统维修方式逐渐向视情维修转变的原因。 对关键元件视情维修模型的构建有利于提高元件的可用度， 避免不必要的故障停机， 从而保证系统处于可用状态。 当然， 如何合理协调多个多状态元件之间的维修时机、 减少不必要的停机时间和节约维修成本是下一步的研究重点。
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Reliability Modeling for Repairable Multi StateElements
Based on Markov Process
Li Zhiqiang1，Xu Tingxue1，Gao Song2，Deng Chunrao3，Zhao Jianzhong1
（1. Navy Aeronautical University， Yantai 264001， China;2. Air Force Logistic Academy， Xuzhou 221000， China;
3.91206 of PLA， Qingdao 266108， China）
Abstract： On the basis ofperfect repair and imperfect repair of existing multi state repairable elements， the reliability analysis model of multi state repairable elements is established by using theMarkov process.
Based on the definition of multi state elements， the state transition relationship of multi state elements under without repair conditions is analyzed， and the state transition differential equation and relation matrix are developed under the condition of perfect repair， imperfect repair and conditional based maintenance. The example of state 3 elements and state 4 elements of a repairable system is given. The simulation results show that compared with to perfect repair and imperfect repair，conditional based maintenance can maintain higher reliability and availability of multi state elements.
