研究生课程中常用函数空间的讲解探索

    谢素英　王阳

    

    

    

    摘 ?要：研究生阶段的分析类课程大部分与本科阶段的数学分析相联系。这些分析类课程主要以数学分析为基础，拓展了数学分析中的连续函数空间到一些更复杂的函数空间。而这些复杂函数空间理论非常抽象难于理解，对于初学者掌握带来了很大困扰。文章针对研究生分析类课程常用函数空间如何结合数学分析中的连续函数来讲解做了初步研究和探索， 给出了一些讲解技巧和方法，使同学更容易理解和掌握。

    关键词：连续函数;函数空间;讲解探索

    中图分类号：G642 ? ? ? ?文献标志码：A ? ? ? ? 文章编号：2096-000X（2021）13-0071-05

    Abstract： Most of the analysis courses in graduate stage are related to Mathematical Analysis in undergraduate stage. These analysis courses are mainly based on Mathematical Analysis， expanding the continuous function space in Mathematical Analysis to some more complex function spaces. But these complex function space theories are very abstract and difficult to understand， which brings great trouble to beginners. A preliminary study and exploration on how to explain the common function space of analysis courses in graduate stage by combining the continuous functions in Mathematical Analysis is given， some explanation skills and methods are shown in this paper， so that students can understand and master it more easily.

    Keywords： continuous functions; function space; explanation and exploration

    研究生階段分析类课程有很多，主要包括实分析、复分析、泛函分析、微分方程、非线性分析等课程。而这些分析类课程的本科基础课主要是数学分析[1-3]、实变函数和泛函分析[4]等。我们在研究和讲解这些分析类课程时主要从函数空间入手。本科阶段对数学分析的学习主要在连续函数空间，各种定义、定理以及运算基本都是在连续函数空间进行的。但随着实际研究的需要和课程的深入仅仅停留在连续函数空间是不够的，因此本科的高年级以及研究生阶段会用到很多函数空间理论，例如：Hlder连续空间，Lipschitz连续空间，Lebesgue可积空间，L1，Lp（0<p<+∞），本性有界函数空间L∞，弱可微函数的Sobolev空间，有界平均震荡空间BMO，消失平均震荡空间VMO空间等。这些函数空间理论非常抽象难于理解，但又是研究生阶段的必备课程。如何从本科阶段的数学分析入手逐步讲解这些函数空间，使同学们从最熟悉的连续函数空间逐步理解以上各类函数空间成为研究生阶段分析类课程的讲解难点。为了更好地理解这些抽象的函数空间，本文通过对复杂空间的分析以及与连续函数空间的对比给出了一些讲解技巧，有助于同学理解和掌握抽象函数空间的本质，从而在后续的课程学习和课题研究中能够灵活运用。

    一、从连续函数空间到Lebesgue可积函数空间

    数学分析中最常用的函数空间分别为C0，C1，C2，Cn，C∞，即分别对应函数连续，一阶导函数连续，二阶导函数连续，n阶导函数连续，任意阶导函数连续。数学分析的学习阶段我们主要在以上这些空间中进行微积分的运算。而数学分析阶段对函数空间要求的条件较强。例如：一些不定积分和定积分以及重积分和曲线、曲面积分存在常用的“充分条件”是被积函数连续， 关于积分的题目主要是针对连续函数设计的。而尤其一些函数运算需要更强的光滑性质即导函数连续，例如： 关于函数的泰勒展开的运算，不仅需要函数连续还需要函数的任意阶导数也连续。在泰勒展开中常用的函数ex，sinx，cosx等都属于C∞类的充分光滑的函数。综上可知，数学分析阶段主要研究一些“好”函数，即连续函数或其导函数仍连续的函数。我们还发现关于数学分析中的定积分，在有限闭区间上连续的被积函数都有很好的Riemann可积性（以下简称R-可积），而且R-可积的“必要条件”是被积函数在积分区间上必须“有界”。但是处处不连续的狄里克莱函数D（x）=1，x∈Q0，x∈Qc，x∈[0，1]，尽管在[0，1]区间有界，但根据Riemann积分的定义可知R-积分D（x）dx是不存在的。而且这个有界非黎曼可积的狄里克莱函数经常作为数学分析中的反例来说明“有界”仅仅是可积的必要条件而非充分条件。显然在给定的区间内狄里克莱函数是一个处处不连续，处处不可导的函数，也就是数学分析中的“好”函数所对应的“坏”函数。但研究中发现这样的“坏”函数是大量存在的，为了研究这类函数，因此出现了后续课程实变函数。

    在实变函数中引入了Lebesgue测度和可测的概念，通过测度可以研究一类处处不连续，处处不可导的“坏”函数的测度。有了测度的概念之后，为了研究这类函数的积分，引出了Lebesgue可积函数空间（以下简称L-可积）。从“好”函数的黎曼积分过度到“坏”函数的勒贝格积分，需要在讲解时让同学真正理解二者在概念上的差异。我们已经知道定义在R1上的狄里克莱函数是Riemann不可积的最典型的例子，但在实变函数中它在R1的任意可测子集上的Lebesgue积分为零。在学习和讲解过程中同学最难理解Riemann定积分和Lebesgue积分的区别，往往把二者相混淆。下面以狄里克莱函数为例讨论Riemann定积分和Lebesgue积分的本质，以及两种积分在应用中的差异。

    对比R-积分和L-积分，我们发现二者不仅在定义方式上有很大区别，而且在后续应用中存在很大的不同。在数学分析阶段我们经常遇到极限与极限换续、极限与级数符号换续、极限与积分号换续、级数符号与积分号的换续题目， 而这些换续的条件都要求函数列或函数项级数“一致收敛”[1-3]。我们发现在有界函数范围内R-积分存在以下缺陷：首先R-积分与极限可交换的条件要求太强，即要求一致收敛;而L-积分比R-积分要求的条件要“弱”很多，对于非负函数项级数几乎无条件地逐项可积分[4]，即级数符号与L-积分号的换续不再需要逐一验证一致收敛了。而常用的Lebesgue-控制收敛定理只需找到一个控制函数g（x），使得|f（x）|<g（x），而控制函数g（x）的L-积分存在即可。因此在极限换续上L-積分比R-积分灵活很多，不需要很强的“一致收敛”条件。其次，R-积分下二重积分化成累次积分计算时，要求很“强”的条件，即被积函数在积分区域上连续。而对于非负可测函数L-积分下的二重积分可“无条件”地化成累次积分，不再需要被积函数在积分区域“连续”了。

    此外，若有界函数f（x）在[a，b]上R-可积，则f（x）在[a，b]上也L-可积。显然L-积分比R-积分应用更广。我们还发现在R-积分中，f（x）可积，则有|f（x）|也可积，但反之不然，例如f（x）=1， x∈Q-1，x∈Qc，x∈[0，1]，f（x）在[0，1]的R-积分是不存在的，但|f（x）|=1，其在[0，1]上是R-可积的，且积分值为1。而L-积分中存在比R-积分更好的结论，即f（x）在集合E上可测，f（x）是L-可积的充要条件是|f（x）|是L-可积的。当然对有兴趣的研究者还可以更深入地进行剖析两种积分的优缺点。通过对比R-积分和L-积分的优缺点，不仅使同学对这两种积分的认识更加深刻，而且在使用两种积分时能够更加灵活。

    我们从连续函数空间入手，通过“好”函数和“坏”函数逐步引出R-积分和L-积分的本质区别，由浅入深使同学从本科阶段的数学分析层次逐步过渡到研究生阶段的实分析层次。

    H1和BMO的出现不仅有自身的理论价值，而且为研究算子在其他空间上的作用带来了方便。BMO和VMO的引入不仅促进了复分析、奇异积分算子、曲线上的Cauchy积分算子领域的飞速发展，而且对Ap权理论和微分方程领域的发展也产生了很大的促进作用。

    五、结束语

    研究生阶段分析类课程中常用的函数空间讲解一定要立足于数学分析的内容，由浅入深地讲解，把各种现代复杂的函数空间与数学分析中的连续、可导、R-可积等知识点挂钩，分析异同点、优缺点，通过分析对比和应用举例让学生很好地掌握和运用。

    参考文献：

    [1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

    [2]陈传璋，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

    [3]陈纪修，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

    [4]郭懋正.实变函数与泛函分析[M].北京：北京大学出版社，2015.

    [5]Robert A. Adams and John J. F. Fournier. ?Sobolev Spaces 2nd ed [M].北京：世界图书出版公司北京公司，2009.

    [6]William P. Ziemer. Weakly Differentiable Functions[M].北京：世界图书出版公司北京公司，1999.

    [7]王明心.数学物理方程[M].北京：清华大学出版社，2005.

    [8]David Gilbarg and Neil S. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order[M].北京：世界图书出版公司北京公司，1998.

    [9]程民德，邓东皋，龙瑞麟.实分析[M].北京：高等教育出版社，1993.

    [10]Sarason D. Functions of vanishing mean oscillation[J]. Transactions of the American Mathematical Society，1975，207（1）：391-405.

    基金项目：杭州电子科技大学研究生教育教学改革项目课题“研究生分析类课程的教学难点研究”（编号：JXGG2019YB007）

    作者简介：谢素英（1966-），女，汉族，河北保定人，博士，副教授，研究方向：偏微分方程与复分析。