提炼问题模型，深入解读拓展
茆华
[摘? 要] 几何模型是平面几何学习的重要内容之一，模型中的结论以及解析思路对于几何综合题的突破有着极大的帮助. 文章对一道几何问题进行思路讲解，提炼其中的几何模型，并深入解读、适度拓展，提出相应的教学建议，与读者交流.
[关键词] 对角互补模型;三角形;全等;相似;思想方法
考题呈现，思路讲解
1. 考题呈现
考题？摇 已知⊙O是△ABC的外接圆，在∠BAC所对的弧上任意取一点D，连接AD，BD，CD，已知AB=AC，试回答下列问题.
（1）如果∠BAC=α，如图1所示，请直接写出∠ADB的大小（用含有α的式子表示）;
（2）如果∠BAC=60°，如图2所示，试求证BD+CD=AD;
（3）如果∠BAC=120°，如图3所示，试判断BD+CD与AD之间的数量关系，并说明理由.
2. 思路讲解
考题为涉及圆的几何问题，探究图中的角度大小和相关线段之间的等量关系，需要综合圆、三角形等几何性质来构建，具体思考过程如下.
对于第（1）问，已知AB=AC，所以△ABC为等腰三角形. 由“等边对等角”可知∠ABC=∠ACB. 结合三角形的内角和可得∠ADB=∠ACB=■（180°-∠BAC）=90°-■，即∠ADB的大小为90°-■.
对于第（2）问，需要求证BD+CD与AD的长度相等，可以采用等边代换的方式，而代换时可以构建全等三角形，利用全等三角形的性质进行. 具体求解过程如下：延长DB至点E，使得∠EAD=∠BAC，再过点A作DE的垂线，垂足为F，如图4所示. 结合条件容易证得△EBA≌△DCA（ASA），由全等性质可得BE=CD，AE=AD. 结合（1）问可知∠ADB=60°，所以∠FAD=30°，BD+CD=BD+BE=DE. 由于AE=AD，所以△AED为等腰三角形. 结合等腰三角形“三线合一”定理可知EF=DF，即DE=2DF=2ADsin30°=AD，即BD+CD=AD，证毕.
对于第（3）问，该问将∠BAC的度数改为120°，要判断BD+CD与AD之间的数量关系，可以参考第（2）问的解题思路，首先構建全等三角形，然后利用全等性质来对线段进行等量代换，后续在三角形中利用三角函数分析. 具体求解过程如下：过点A分别作BD和DC的垂线，垂足分别为E和F，如图5所示. 因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠ADB=∠ADC=30°. 从而可证△AEB≌△AFC，△ADE≌△ADF. 所以BE=CF，DE=DF. 所以BD+CD=DE+DC+CF=DE+DF=2DE. 在Rt△ADE中使用三角函数，有cos∠ADE=■=■，所以DE=■AD. 所以BD+CD=2DE=■AD.
图形解读，深度拓展
1. 图形解读
上述几何探究题有三个小问，其中后两问的条件和结论具有相似性，尤其是条件设定时仅对∠BAC的大小做了改变. 而在求解时，均采用构建全等三角形的方式进行等边代换和转化. 需要注意的是，所构三角形具有一定的特征：拥有公共的顶角，存在角平分线或两边相等关系. 实际上，上述所提炼的模型为几何经典模型——对角互补全等模型，即对角互补全等型—90°和对角互补全等型—120°. 该模型中存在一些较为常用的结论，解析时灵活运用可以提高解题效率.
以对角互补全等型—90°为例，如图6所示，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC是∠AOB的平分线，则有如下结论：①CD=CE;②OD+OE=■OC;③S■+S■=■OC2.
对于上述三个结论，可以利用三角形全等及等量代换来完成证明，具体过程如下：
过点C分别作AO和OB的垂线，垂足分别为F和G，如图7所示.
显然四边形OFCG为矩形，由角平分线的性质可得CF=CG，则矩形OFCG为正方形. 接着，可推理出∠FCD=∠GCE，结合CF=CG，∠CFD=∠CGE=90°，可以得到△CDF≌△CEG，所以DF=EG，CD=CE（结论①得证）.
由于四边形OFCG为正方形，所以OF=OG=■OC. 又OD+OE=OD+OG+EG=OD+ OG+FD=OG+OF=2OF，所以OD+OE=2×■OC=■OC（结论②得证）.
采用面积割补法可得S■+S■=S■ =OF2=■OC2=■OC2（结论③得证）.
2. 模型拓展
从模型证明的过程来看，可将对角互补模型分为全等型和相似型，上述是对全等型模型的提炼与论证，而在实际解题时还常用到对角互补相似模型，同样以90°角为例.
如图8所示，已知∠AOB=∠DCE=90°，令∠BOC=α，则可得结论CE=CD·tanα. 求证时需要引入相似三角形，具体过程如下：过点C分别作OA和OB的垂线，垂足分别为F和G，如图9所示. 由条件容易证得△CEG∽△CDF，由相似三角形的对应边成比例可得■=■，又CF=OG，所以■=■. 所以CE=■·CD. 在Rt△COG中构建三角函数，有tanα=■，所以CE=CD·tanα.
对角互补模型的情形有很多，不过从证明的思路来看主要有全等型和相似型. 而从复合图形中提炼对角互补模型时需要关注几何初始条件，常见的包括四边形对角互补，三角形中的角平分线、几何等边关系. 解析时，可合理添加辅助线来构建全等三角形或相似三角形，通过等量代换来获得相关线段的关系.
模型应用，拓展剖析
对角互补模型隐含在众多考题中，除了常见的平面几何问题外，还常结合平面直角坐标系，以二次函数与几何综合的形式出现. 解析时，需要充分利用二次函数的性质，合理添加辅助线来提炼模型，确定模型类型，利用对应的思路来得出结论.
例题？摇 如图10所示，已知抛物线的解析式为y=-■（x-1）2+3，顶点为B，抛物线与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点C，试回答下列问题.
（1）试求图中点A的坐标以及线段OC的长.
（2）若点P是抛物线对称轴右侧上的点，作直线PQ∥BC与x轴交于点Q，连接BQ.
①如图11所示，若在图中放置一个含有45°角的直角三角板，其中直角板的直角顶点D在线段BQ上，一个顶点与点C重合，另一个顶点E在直线PQ上，试求直线BQ的函数解析式;
②如图12所示，若含有30°角的直角三角板的直角顶点D在线段BQ上，30°角的顶点与点C重合，另一个顶点E在直线PQ上，试求点P的坐标.
解析？摇 （1）因为点A是抛物线与y轴的交点，所以令y=-■（x-1）2+3中的x=0，即可得到点A的坐标为0，■. 因为点B为抛物线的顶点，所以B（1，3）. 因为点C为抛物线的对称轴与x轴的交点，所以C（1，0）. 所以OC=1.
（2）在抛物线中放入直角三角板，可以根据具体情形来构建图形.
①放入的直角三角板为含有45°角的直角三角板，分析可知图中含有对角互补全等模型，可按照图13所示来作辅助线，即过点D分别作CQ和PQ的垂线，垂足分别为M，N. 于是根据条件可证得△CDM≌△EDN，所以DM=DN. 所以矩形DMQN为正方形. 所以∠BQC=45°，即直线BQ的斜率k=-1，结合点B的坐标（1，3），可得直线BQ的函数解析式为y=-x+4.
②放入的直角三角板為含有30°角的直角三角板，由于点P位于抛物线对称轴的右侧，且在抛物线上，该模型符合对角互补相似模型，所以可以构建如图14所示的图形，即过点D分别作CQ，PQ的垂线，垂足分别为M，N，结合题干条件可证得△CDM∽△EDN，所以■=■. 因为∠DCE=30°，所以■=■. 所以■=■. 又DN=MQ，所以■=■. 因为DM∥BC，所以△DMQ∽△BCQ. 所以■=■=■. 又BC=3，所以CQ=■. 所以点Q的坐标为（1+■，0）. 所以点P的坐标为1+■，■.
上题属于二次函数与几何的综合题，其特殊之处在于结合三角板来构建模型，可从中提炼出对角互补模型，因此解析问题时可以充分利用该模型的解析思路和相关结论来加以突破. 由于该模型是在直角坐标系中构建的，因此需利用几何定理来推理线段关系，结合点坐标来求解线段长，这也是该类综合题的特点所在.
解后反思，教学思考
1. 关注几何模型，注重归纳总结
几何是初中数学十分重要的内容，由于图形类型、定理定义众多，如不注意总结思考，很容易造成学生思维混乱，不利于后续的解题应用. 在总结归纳阶段，除了需要引导学生深入剖析几何定理外，还需要关注常见的几何模型，如线段最值模型、对角互补模型、一线三等角模型等，利用“模型总结—思路探究”的教学方式来强化学生的认识，提升学生的解题思维. 以上述对角互补模型为例，教学时可以以题为引，提取模型，引导学生归纳模型特征，总结构建策略，使学生逐步掌握模型的提炼方法和结论的探究思路.
2. 关注数形结合，注重策略讲解
数形结合是几何内容教学的重要方式之一，是后续函数考题突破的基本方法，因此教学中需要教师多加引导，使学生逐步掌握该方法策略. 以上述考题为例，教学时可以分“图形构建”和“结论提取”两阶段进行，即首先结合题干信息使学生明晰图形构建的过程，然后利用图形的直观特征来探究结论，充分体会“数”“形”对照的解析优势. 使学生掌握解题策略是考题教学的意义所在，依托数形结合方法，渗透几何考题的突破思路，适度拓展考题，可以有效地提升学生的解题能力.
3. 关注模型思想，提升综合素养
几何模型具有极高的学习价值，其意义有三点：一是模型中的结论可以直接利用，二是模型的解析思路可以借鉴，三是模型中的思想方法有助于解题思维的提升. 其中第三点的思维提升对学生的长远发展极为有利. 数学模型中渗透着模型思想、化归转化思想和数形结合思想等，这些思想方法也是几何问题突破的重要策略，教学时需要教师立足几何问题，逐步引导渗透，使学生充分感悟思想方法的内涵，逐步理解其中的数学思想.
