因式分解应用攻略
宋扬
[摘 ?要] 因式分解的重要性，主要体现在其应用领域的广泛性和应用方式的灵活多样. 基于精心培育数学核心素养和学科能力，文章结合教学实践和专题研究，对因式分解应用的常用领域和应用方式的主要类型加以归纳整理，并通过若干典型实例及其解析，阐释了因式分解应用的总体策略、具体对策、方法和技巧.
[关键词] 因式分解;应用;综合运用
因式分解是整式与多项式乘法的逆向运用，是一种非常重要的恒等变形. 它不仅是学习后续课程（诸如分式的运算或化简、方程的求解、不等式的求解等等）必备的基础知识，而且体现了一种“化归”的思想，為数学交流、有效转化、解决问题架起了坚实的桥梁.
因式分解的应用相当广泛，数学的很多领域，往往都要用到因式分解. 另一方面，其应用方式具有较强的灵活性. 为了解决问题的需要，不必限于整体的因式分解，还可以考虑采用局部的、分段的（含配方法）、逐段的、组合型、构造型等方式的因式分解，灵活多样，不拘一格. 因式分解应用的总体策略是：以因式分解为思路主线，针对具体问题的数学表达式的特征（或特点），选择合适的因式分解方式，实施有效转化，让问题归于解决. 相应对策分别列于以下各题之后.
用于简化复杂的数值计算
例1 计算（20193+20192-2020）÷（20193-2×20192-2017）.
解答 ?设a=2019，则原式=[a3+a2-（a+1）]÷[a3-2a2-（a-2）]= = = .
类型对策：设元，让数与式相互转换.
例2 计算：
.
解答 ?因为n4+64=（n2-4n+8）（n2+4n+8）=[n（n-4）+8][n（n+4）+8]，则原式= = =337.
类型对策：采用逐段因式分解，有统一的分解表达式. 有时对分解式需做适当变形，以更好地发现规律.
例3 计算：
.
解答 ?原式=
= -1.
类型对策：分段因式分解.
用于数（或整式）的整除性研究
例4 在六位数 中，若d=a，e=b， f=c，试证：这种形式的六位数定能被7，11，13整除.
证明 ?因为d=a，e=b， f=c，所以 =105a+104b+103c+102a+10b+c=1001（100a+10b+c）=7×11×13（100a+10b+c）. 所以这种形式的六位数定能被7，11，13整除.
用于处理质数与合数问题
例5 已知n是正整数，且n4-16n2+100是质数，求n的值.
解答 ?n4-16n2+100=（n2+10）2-（6n）2=（n2+6n+10）（n2-6n+10）. 因为n是正整数，所以上式中两个因式均为整数，且有n2+6n+10>1，n2-6n+10=（n-3）2+1≥1. 又原式是质数，所以n2-6n+10=1，从而得n=3.
类型对策：既用到整体分解，又用了配方法.
用于求多项式的值
例6 已知a2（b+c）=b2（a+c）=2020，且a≠b，求c2（a+b）的值.
解答 ?由已知可得a2（b+c）-b2（a+c）=0，将上式左边因式分解，得（a-b）（ab+ac+bc）=0. 因为a≠b，所以ab+ac+bc=0. 从而有c2（a+b）-b2（a+c）=（c-b）（ab+ac+bc）=0. 所以c2（a+b）=b2（a+c）. 又b2（a+c）=2020，所以c2（a+b）=2020.
类型对策：组合型兼构造型. 本题通过移项，组合成一个整体，再作分解.
[注]例6也可构造c2（a+b）-a2（b+c），以求得结果.
用于确定多项式中的参数（字
母系数）
例7 已知x2-3x+2是x4+mx3+nx-16的因式，求m，n的值.
解答 ?由题意可设x4+mx3+nx-16=（x2-3x+2）A，其中A为整式，即x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）A. 令x=1，2，分别代入上式，得1+m+n-16=0，16+8m+2n-16=0.解之得m=-5，n=20.
类型对策：构造型. 本题使用了待定系数法中的赋值法.
用于解不定方程
例8 求方程xy-2x-3y+9=0的整数解.
解答 ?原方程可化为（x-3）（y-2）=-3，由于x，y为整数，可得x-3=-3，y-2=1或x-3=-1，y-2=3或x-3=1，y-2=-3或x-3=3，y-2=-1.所以所求整数解为x=0，y=3; x=2，y=5;x=4，y=-1;x=6，y=1.
类型对策：局部分解.
在代数相关问题推理论证中的应用
例9 求证8x2-2xy-3y2可以化为两个整系数多项式的平方差.
证明 ?由题意可设8x2-2xy-3y2=A2-B2，其中A，B为整系数多项式. 于是（2x+y）（4x-3y）=（A+B）（A-B）. 不妨取A+B=2x+y，A-B=4x-3y，解得A=3x-y，B=-x+2y.从而有8x2-2xy-3y2=（3x-y）2-（x-2y）2，得证.
类型对策：构造型，借助于待定元素法. 本题满足要求的A，B不唯一.
例10 已知x3+y3+z3=（x+y+z）3，求证：x2019+y2019+z2019=（x+y+z）2019.
证明 ?将已知条件化为[（x+y+z）3-x3]-（y3+z3）=0，于是有（y+z）[（x+y+z）2+x（x+y+z）+x2-（y2-yz+z2）]=0，整理并进一步分解因式得3（x+y）（y+z）（z+x）=0，所以x=-y或y=-z或z=-x. 不妨取x=-y，則x2019+y2019+z2019=z2019，（x+y+z）2019=（-y+y+z）2019=z2019. 原题获证.
类型对策：组合型. 通过移项，组合成一个整体，然后对整体分解因式. 本题是证明条件等式的应用实例.
在三角形等几何问题中的应用
例11 已知 a，b，c是△ABC三条边的长，且满足a2-b2=ac-bc，试判断△ABC的形状.
解答 ?原等式可化为（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，于是有（a-b）（a+b-c）=0. 因为a，b，c是△ABC三条边的长，所以a+b-c≠0，从而a-b=0，得a=b，所以△ABC是等腰三角形.
类型对策：组合型. 移项后对等式左边作整体分解.
例12 已知 a，b，c是△ABC三条边的长，且满足a2+b2≤4a+10b-29，求第三边c的长（取值范围）.
解答 ?原等式可化为a2+b2-4a-10b+29≤0，于是有（a-2）2+（b-5）2≤0，从而有（a-2）2+（b-5）2=0 ，所以a=2且b=5. 因为a，b，c是△ABC三条边的长，所以a-b<c
类型对策：组合型. 移项后，对等式左边采用配方法，这里是指化为平方和的形式，凸显非负性，以利进一步求解.
与质因数分解的综合运用
例13 a，b，c是正整数，且满足等式abc+ab+ac+bc+a+b+c=2003，试求a+b+c的最小值.
解答 ?原等式可化为（a+1）（b+1）（c+1）=22×3×167. 经分析上式中各种情形可知，左边三个因式分别取4，3，167时，其和为最小. 不妨取a+1=4，b+1=3，c+1=167，即当a=3，b=2，c=166时，a+b+c=171为所求的最小值.
类型对策：局部分解.本题方法也可用于求a+b+c的最大值，留给读者思考.
