基于改进灰色马尔科夫模型的自由现金流预测
李攀艺 曹奥臣 张玉红
【摘 要】 随着我国资本市场发展和会计披露要求的进一步完善，自由现金流折现法在企业价值评估中得到广泛应用，但如何更为科学、合理地预测企业自由现金流仍是一项关键且充满挑战的课题。为尽力规避评估实务中可能面临的主观噪声，获取相较精准的预测值，文章将新陈代谢思想引入灰色预测模型中，采用Fisher最优分割法对马尔科夫链的状态区间进行划分，试图以上述改进方法为基础预测企业自由现金流。试验结果表明在“小样本、贫信息”的情境下，改进后的组合预测模型相较灰色预测、灰色马尔科夫模型及灰色新陈代谢模型在预测精度上有所提升。
【关键词】 收益法; 新陈代谢; 灰色预测; 马尔科夫链; Fisher最优分割法
【中图分类号】 F275? 【文献标识码】 A? 【文章编号】 1004-5937（2020）23-0144-07
一、问题的提出
随着我国资本市场发展和会计披露要求的进一步完善，基于自由现金流量的评估方法在企业价值评估中得到广泛应用。自由现金流折现法作为评估企业价值的主流方法之一，其关键环节是如何预测企业的预期收益。自由现金流量预测方法是在企业持续经营的前提下，通过合理预测企业预期获利能力并选择适当折现率，从而测算出企业的价值。如何把握预测的不确定性，构建一个更加科学合理的自由现金流量预测模型，对更加准确地进行企业估值具有决定性意义。
既有研究中，收益法的技术发展呈现多元化、创新化的新态势，大量数理模型与方法被引入到收益额的预测环节。陈蕾等[ 1 ]利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法对周期性企业进行估值，通过测度历史数据概率分布進而模拟未来的收益区间，附带范围波动的预测值使得评估结果更具说服力及可信度;刘晓煜[ 2 ]从逻辑推理的视角出发将蒙特卡洛模拟到评估中，试图探索预测系统的因果反馈关系及运行机制，从而扩大以企业现金流量作为收益法评估参数的适用范围;王晶等[ 3 ]基于系统思想，提出了嵌入知识的人机交互式综合集成预测方法框架，并将其应用于智能化决策支持系统的预测环节。各类预测方法均对应其适用的评估情境，但实际研究中仍须结合特定的评估环境充分把握预测理论与方法[ 4 ]，进而提高预测的科学性及准确性。
目前，我国评估实务中常面临标的企业成立时间短、数据信息稀缺等现象，类似“小样本、贫信息”式的非确定系统同样广泛存在于现实中，诸多学者试图借助灰色系统理论攻克实际问题。其中，当属灰色预测模型的多学科应用场景最为丰富，但此模型对高波动型序列的拟合效果不佳，难以满足收益法中预测精度的要求，而马尔科夫模型则适合高波动型序列的预测，通过将以上二者有机组合，不仅可发挥前者对小样本及趋势预测的优势，而且可有效弥补灰色预测对高波动型数据拟合效果不佳的缺陷[ 5 ]。研究证明，此组合模型对“经营波动大、数据信息少”的评估标的展现出良好的预测精度[ 6 ]。张喜才等[ 7 ]通过灰色马尔科夫模型对京津冀农产品冷链需求量进行分析，证实该方法的预测误差相较指数平滑法、模糊线性回归模型与灰色预测模型均有大幅降低。但是，现有的灰色马尔科夫模型在应用历史数据预测未来时并没有考虑到数据的时效性对预测精度的影响。根据新信息优先原则，信息效度会随时间推移而改变，越临近当前时点的新信息对研究系统走势往往越有价值，即新信息对预测的参考作用最高。因此，一些文献通过对经典的灰色马尔科夫模型进行改进，剔除低价值的旧数据，引入高价值的新数据，以提升预测精度。如丁建[ 8 ]在灰色马尔科夫链模型中结合新陈代谢思想对军队物资消耗进行研究，拟合值与真实数据的对比结果充分证明了引入新陈代谢思想的科学性。张朝飞等[ 9 ]通过引入衰减记忆最小二乘法对新旧信息进行加权处理，剔除时间序列中陈旧的低价值信息，并将新测得的预测数据添至原始序列集中，依此方法预测的激光IMU数据与实际标的数据偏差降低。上述研究表明，新陈代谢思想与预测模型的结合，可使预测结果实时反映研究系统的状态特性，有利于充分把握系统的发展走势。还有一些研究基于模型对马尔科夫链简单的等距划分缺乏科学性的认识，对马尔科夫模型进行了改进。如王艳等[ 10 ]在进行降雨量预测时，利用Fisher最优分割法建立降雨量数据的分级标准，增强了马尔科夫模型中状态划分的效率。Fisher最优分割法综合考虑多因子指标，且能科学地展现分期数目变化对计算结果的影响趋势，从而确定最优的分期数目。莫崇勋等[ 11 ]在对汛期分期研究时证明该方法在状态划分时表现出较强的优势。
本研究立足既有的研究成果，试图对适用于“小样本、贫信息”环境的灰色马尔科夫模型进行两方面改进：一是将新陈代谢思想引入灰色预测模型;二是采用Fisher最优分割法对状态进行科学划分，将改进后的模型应用于自由现金流预测。最后通过案例，将改进的模型与灰色预测模型、灰色马尔科夫模型、灰色新陈代谢模型进行预测效果的比较，凸显了改进模型的预测优势。
二、模型的构建
（一）灰色预测模型
邓聚龙教授于1982年首创灰色系统理论，该理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控，并在经济、工业、农业等领域获得了广泛应用。在经济领域中，由于企业历年现金流信息作为典型的时间序列数据，受宏观环境、行业等不确定性因素波动的影响，属于典型的“小样本、贫信息”不确定的灰色系统，适合使用灰色模型建模来预测，灰色预测模型普遍应用于价值评估。其中，GM（1，1）模型作为灰色预测理论中的核心，其建模过程主要包括如下步骤：
1.级比检验
为了保证灰色预测建模的可行性，需要对已知的数据序列进行级比检验。设原始非负序列为X =[x （1），x （2），…，x （n）]，计算序列的级比：
若（n-1）项级比值λ（k）均落在可容覆盖区？专=? [e ，e ]中，则表示数据序列X（0）通过级比检验，可对该序列进行GM（1，1）建模。否则需要对数据序列进行变换处理，常用的方法有平移变换、对数变换和方根变换等，即通过对原始序列进行以下处理：
2.模型建立
（1）对原始序列或经过变换处理后的序列进行一次累加生成处理（1-AGO），即：
（2）构建微分方程：
相应的白化微分方程为：
于是解得白化微分方程：
3.误差检验
（1）残差检验。令残差为？着（k），计算：
其中，x （k）为实际值，? （k）为拟合值，？着（k）表示实际值与拟合值之差。
（2）相对误差检验。首先计算残差的绝对值？着（k），再用？着（k）比实际值x （k）得到相对误差值，数学表达式为：
k数值越小，表示模型预测误差越小，反之则表示预测误差越大。
GM（1，1）模型作为灰色预测理论的基础，已经被众多学者广泛应用和深入研究，不仅提高了灰色预测模型的精度，而且进一步完善了灰色系统理论。李梦婉等[ 12 ]基于求解优化和多项式拟合优化相结合的改进灰色等维动态预测方法，通过美国两百年的人口统计数据验证了改进模型较传统模型的可靠性;黎洋等[ 13 ]将傅里叶级数应用于动态GM（1，1）模型修正，并将修正后的模型误差与传统模型进行比较，得出预测精度提高的结论;边国兴等[ 14 ]提出了xk/ka（a>0）的數据变换方法，提高了原始数据的光滑度，从而提高了传统GM（1，1）模型的精度，且基于xk/ka（a>0）的灰色预测模型进一步提高了该模型针对“小样本、贫信息”预测的优势。
（二）马尔科夫模型
虽然目前针对灰色预测GM（1，1）模型的修正方法多种多样，使其有了进一步的发展和应用，但是该模型在对高波动性数据的处理上仍然存在缺陷，故本文将适合高波动性数据预测的马尔科夫模型与GM（1，1）模型有机结合。
马尔科夫链最早由俄国数学家安德雷·马尔科夫于1906年提出，该模型是一个随时间或区间变化而随机变化的序列，目前大量采用长序列，高波动数据预测的研究建立于马尔科夫模型上，因此被广泛应用于市场需求、生产管理、自然科学等领域。He等[ 15 ]建立了滑动灰色加权马尔科夫模型预测扬州降水量，预测结果显示相对误差较传统灰色预测降低。Sun Wei等[ 16 ]将扩展灰色模型替换为传统的灰色模型，并将模糊理论和代谢原理引入马尔科夫链中，提出了一种基于小波变换改进的灰色马尔科夫模型，较准确地分析了能源供需缺口的趋势以及利用香农维纳（Shannon-Wiener）指数的能源结构。上述研究从不同应用领域说明了灰色预测与马尔科夫链结合的可行性。
1.马尔科夫链
马尔科夫链表示具有参数和离散性质的随机过程。数学定义为：给定过去的状态X0，X1，…，Xn-1及现在的状态Xn，将来的状态Xn+1的条件分布与过去的状态独立，只依赖于现在的状态。即对任意的n≥0，及任意状态i，j，i0，i1，…，in-1，有：
上述随机过程{Xn，n∈N}称为马尔科夫链。
2.转移概率矩阵
条件概率P{Xn+1=j│Xn=i}表示马尔科夫链{Xn，n=0，1，2，…}的一步转移概率，记为pij，表示处于状态i的过程下一步转移到状态j的概率。随机马尔科夫链转移概率仅与状态i，j有关。
马尔科夫链的n步转移概率可表示为：
显然，n步转移概率pij（n ）指的是系统从状态i经过n步后转移到状态j的概率，对中间的（n-1）步转移所经过的状态无要求。其中，对于任意m，n≥0，pij（n）与pij的关系为：
由此可得：n步转移概率pij（n）为一步转移概率pij（1）的k次方。
灰色马尔科夫模型在时间序列数据大幅波动时与GM（1，1）模型相比较更具有优势，但是Hu等[ 17 ]将神经网络系统与灰色马尔科夫模型结合应用于预测旅游需求，预测结果表明基于两个神经网络的灰色马尔科夫模型进一步调整了预测结果的准确性。为提高灰色马尔科夫模型预测精度，本文研究采用以下方法对其进行改进。
（三）改进方法
在建立灰色马尔科夫模型的过程中，需要以给定过去状态即预测未来现金流所需的历史数据为基础。传统灰色预测理论中，GM（1，1）模型基于t=n时刻之前的全体数据预测t=n+1时刻的值，该方法未考虑基于历史数据预测未来的时效性，即在企业价值评估中预测新一期自由现金流时，与研究时点间隔较长的历史数据对预测的参考作用可能降低，因此对预测结果产生一定的偏差。而新陈代谢理论通过将灰色预测所获得的最新数据信息x （0 ）（n+1）添加到原始数据中，同时剔除原始数据中最陈旧的数据信息，利用新的数据序列重复进行GM（1，1）模型预测步骤，以达到新信息时效性对提高灰色马尔科夫模型精确度的目的。
1.灰色新陈代谢模型
新信息优先原理认为，新信息对认知的作用要强于老信息（邓聚龙，1985）。该原理是信息时效性的具体体现，赋予新信息较高的权重能够有效提升模型的预测精度。李子龙等[ 18 ]结合加权马尔科夫理论和新陈代谢思想，证实其预测状态和原始数据的状态前后相关性很强，呈现出顺延原始数据的趋势，证实将新陈代谢思想引入GM（1，1）模型中具有可行性。其操作步骤为：
设原始非负序列X =[x （1），x （2），…，x （n）]，利用该序列预测得到x （n+1）后，对后续数据进一步预测时，去掉最旧的数据x （1），添加最新的数据x （n+1），后续的数据序列将不断获得更新。其表达式分别为：
利用不断更新的序列X1 ，X2 ，…，Xk 建立的预测模型即灰色新陈代谢模型。
2.Fisher最优分割法
建立马尔科夫链的关键在于制定合理的状态划分标准，目前广泛采用的状态划分方法包括样本均值—标准差状态划分法和K-means算法。其中样本均值—标准差法是以数理统计为基础，将样本均值、标准差作为划分标准，该方法仅考虑从统计角度简单地将样本均值作为指标中心，没有考虑研究对象本身对数据的影响。K-means算法是指定类别数为k，对样本集合进行聚类，而类别数的制定具有一定的主观性。考虑上述状态划分方法存在的不足，本研究尝试将Fisher最优分割法引入马尔科夫模型状态划分中。
Fisher最优分割是指将n个有序样本数据分割为k类，使得段内样本数据差异最小而段间差异最大的一种聚类方法。具体步骤为：
定义状态数据M={m1，m2，…，mn}
假设{mi，mi+1，…，mj}表示其中一个类别，其状态数据的均值为：
类别{mi，mi+1，…，mj}的变差为：
当分割后每段变差和最小时，即达到最优分割。将n个状态数据划分为k类，即第一类为{1，2，…，p}，第二类为{p+1，p+2，…，q}，…，第k-1类为{r，r+1，…，s}，第k类为{s+1，s+2，…，n}。
定义k个类别的总变差和为S（k）。
当总变差和S（k）的值最小时，即达到Fisher最优分割。
首先计算D（s+1，n）最小值，解出分段点tk，从而得出第k类为[tk，mn]。按上述方法依次类推得到其余k-2个分段点tk-1，tk-2，…。
从理论视角出发，利用该方法对马尔科夫模型进行状态划分相较等距划分法更具科学性。
三、案例分析
上述方法对自由现金流折现模型的改进可能具有一定的借鉴作用，在评估实务中，还需结合具体的评估情境、评估标的等进行分析，本文尝试以案例的形式，将改进的灰色马尔科夫方法引入自由现金流折现模型中，对该改进方法的适用性及可行性进行系统论证。
本研究选取AJ公司2007—2018年的自由现金流（单位：万元）作为模型预测的样本，利用前8年（2007—2014年）的数据进行改进的灰色马尔科夫建模，而后4年（2015—2018年）的数据作为模型预测精度的参照标准。具体可分为以下四个步骤：第一，利用GM（1，1）模型预测公司后4年的自由现金流;第二，利用马爾科夫模型对预测值进行修正;第三，将改进方法引入灰色马尔科夫模型中作进一步优化;第四，利用灰色预测模型、灰色马尔科夫模型以及改进的灰色马尔科夫模型对公司后4年自由现金流的预测精度进行对比分析。
（一）构建GM（1，1）模型
1.级比检验
原始序列（2007—2014年AJ公司自由现金流）为：
对原始序列进行级比检验可得：
所有数值均落在可容覆盖区？专=[0.80，1.25]内，故该序列适合灰色预测建模。
2.模型建立
（1）对原始序列进行一次累加生成处理（1-AGO），得到序列：
（2）构建微分方程：X（0）（k）+az（1）（k）=b，k=2，3，…，n
其中，Y和B分别为：
根据最小二乘法使J（？滋）=（Y-B？滋）T（Y-B？滋）达到最小值？滋的估计值为：
最终解得白化微分方程为：
原始序列的预测值为：
由上式可预测得到AJ公司2015—2018年的自由现金流分别为：
（二）构建马尔科夫修正模型
通过GM（1，1）模型得出AJ公司2007—2014年自由现金流的拟合值，具体如表1所示。
1.状态划分
按照GM（1，1）模型所拟合的AJ公司自由现金流与实际值的比值？椎，将2007—2014年的数值序列划分为三种状态M1，M2和M3。本研究利用最常用的等距分割法对状态区间进行划分，得到：
M1[0.89，0.96]，M2[0.96，1.02]，M3（1.02，1.09]
由此可得AJ公司2007—2014年的状态分别为：
M={M2，M1，M2，M3，M2，M3，M2，M1}
2.状态转移矩阵
（1）根据AJ公司2007—2014年的状态划分，可得到状态转移矩阵P为：
（2）预测值修正。因AJ公司2014年自由现金流处于状态M1，故对GM（1，1）模型测算的预测值进行修正，分别得到X （9）*，X （10）*，X （11）*，X （12）*。具体计算过程为：
（三）改进方法的引入
下面将上述提出的针对灰色马尔科夫模型改进方法引入案例中进行对比分析，通过案例预测结果精度对比改进方法的优劣。
1.灰色新陈代谢模型
通过X（0）序列预测得到X （9）的值为6 217.03，通过此方法依次将预测新数据引入，分别得到序列X1 ，X2 ，X3 ，X4 ：
最终，利用灰色新陈代谢模型测算得到AJ公司2015—2018年的自由现金流X （9）**，X （10）**，X （11）**，X （12）**分别为6 217.03，6 156.16，6 154.82和6 263.24万元。
2.Fisher最优分割法
状态数据为M={0.89，0.95，0.96，1.00，1.01，1.01， 1.08，1.09}
本案例的状态数据n为8，拟将其划分为三个类别，并确保每一类别中至少包含两个数据。首先，根据变差值确定第三类的分段点t3，测算得到：
经比较可得D（7，8）<D（6，8）<D（5，8），故第三类的最佳分段点为m7，即1.08。
同理，再确定第二类得分段点t2，测算得到：
经比较可得D（4，6）<D（3，6），故第二类的最佳分段点为m4，即1.00。剩余三個状态样本则归为一类。综上所述，三类状态的划分结果分别为：
第一类：[0.89，0.95，0.96];第二类：[1.00，1.01，1.01];第三类：[1.08，1.09]
由此得到状态转移矩阵P1为：
3.预测值修正
本研究采用Fisher最优分割法优化后的状态转移矩阵对灰色新陈代谢模型的预测结果进行修正，分别得出X（0）（9）***，X（0）（10）***，X（0）（11）***，X（0）（12）***，具体计算过程为：
四、案例结果
为了更直观地呈现试验过程中各模型的预测精度，本研究采用两种方式对效果进行表征：第一，将各模型预测得到的AJ公司2015—2018年的自由现金流数值与实际值进行对比分析;第二，将各模型2015—2018年预测值的相对误差？驻k与4年平均相对误差？驻k进行对比分析，具体如表2、表3、图1、图2所示。
由表2、表3、图1、图2可知：第一，从纵向来看，灰色预测模型、灰色马尔科夫模型、灰色新陈代谢模型及改进的灰色马尔科夫模型的平均相对误差？驻k分别为9.22%，8.13%，6.60%和5.94%。从试验结果来看，通过对预测方法进行科学合理的改进后，拟合值与实际值间的误差得到有效缓解，研究表明改进的灰色马尔科夫模型在预测精度上存在较大优势。第二，从横向来看，改进的灰色马尔科夫模型相较回归分析、蒙特卡洛模拟等方法包容性更强。例如经典回归分析中存在苛刻的高斯—马尔科夫假定，蒙特卡洛模拟则须历史数据依特定概率分布，这两类方法对样本量均存在较高要求，而改进的灰色马尔科夫模型在预测中所需的样本数量相对较少，能够满足现实中信息量匮乏的评估标的。
五、结论与展望
本文通过引入新陈代谢理论和Fisher最优分割法，构建了改进的灰色马尔科夫模型，并将其应用于企业自由现金流预测环节。通过案例分析发现改进后的灰色马尔科夫模型平均相对误差较灰色预测模型、灰色马尔科夫模型和灰色新陈代谢模型更小，分别降低了3.28%，2.19%和0.66%，即预测精度更高。因此，该方法对企业自由现金流预测、评估企业价值具有较大的应用空间。
本文虽对灰色马尔科夫模型进行了改进，但仅考虑了自由现金流数据的历史序列，未引入行业属性、宏观经济等因素进行综合分析，未来可进一步在预测模型中添加外部变量，将GM（1，1）模型拓展为GM（1，n）模型。本文通过案例分析的形式证明了改进灰色马尔科夫模型在预测精度和样本数量两个维度上的优越性，但利用该模型尝试指导评估实务时，仍需对模型的适用性及适用范围进行进一步验证，如针对企业不同业务所产生的现金流。因方法选择、实地调研、分析估计上存在较大差异，后续研究可深入剖解自由现金流结构，根据实际特征调整预测模型，进一步加强预测的科学性和准确性。
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